1. lösa differentialekvationer (DE) och system av DE med konstanta koefficienter

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "1. lösa differentialekvationer (DE) och system av DE med konstanta koefficienter"

Ellinor Åkesson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr APACETRANSFORMER plcrnormr nvän bl nn ör lö irnilkvionr DE och ym v DE m konn koicinr lö någr ypr v ingrlkvionr bämm bili ho linjär ym Diniion å vr inir ör plcrnormn ill unkionn bckn F och inir v ingrln konvrgrr F Kmnr I ovnån iniionn brkr vi prmrn illräcklig or l å ingrln konvrgrr Kmnr Vi brkr rnorm F n unkion v Bckning F bcknr plcrnormn v är F Invrn Om F å ägr vi är invrn ill F och bcknr F Nor invrn är in nyig bäm Exmplvi, unkionr och g ig i änlig mång punkr liggr i [, å är F=G ro g Funkionrn och F kn brk pr I någr böckr bckn r rlion F byr F och kvivln F ============================================================ Diniion: En unkion är v xponnill orningn c inn konnr c c och M >, å M, ör ll > kiljr v 7

2 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr I öljn ngr vi illräcklig villkor ör xinn v plcrnormn: S Exinn v plcrnormn Om är yckvi koninurlig på [, och är v xponnill orningn c å, ör > c, xirr plcrnormn Bvi: c c M M Er M c M c c M M c c konvrgrr å konvrgrr ockå nlig jämörl n Därm är ockå konvrgn nlig n i nvriblnly VSB ============================================================= Uppgi Använ iniionn ör bämm, b,, ör övrig öning F Nor lim Svr : b F Svr b: v 7

3 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr v 7 Uppgi Använ iniionn ör bämm b, c ör övrig, öning: F Nor lim Svr : b BETA llr pr in F Nor lim och lim rgl 'Hopil, lim lim Svr b: c BETA llr pr in F Svr c: Uppgi Använ iniionn ör bämm

4 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr in b co öning F in co in Svr : Svr b: Hvii gunkion Uni p uncion i bokn bckn U i BETA, i någr böckr H inir nlig öljn:, U, Härv öljr irk, U, och, b U U b, ör övrig Uppgi Använ iniionn ör bämm, U, b c, U,, b U U b, ör övrig öning: F v 7

5 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr Nor U > b F c F b b b b IMPUSFUNKTION llr DIRACS DETAFUNKTION I knik illämpningr nvänr mn ibln impulunkion llr Dirc lunkion Cickn run nmn r ån objk in är rikig unkionr un k iribuionr Brk n yrknig ignl ymrik kring origo, m n lin b och n or höj= S grn:, [, ] ör övrig Då är rn v rkngln lik m och ärör Dirc lunkionn kn brk gränll v Allå lim och hr öljn gnkpr: E:,, E:, E: E: E: v 7

6 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr För kunn hnr n pcill unkion, k Dirc - unkion llr impulunkionn, inirr mn plcrnormn nlig öljn F Ingrln inir m vå gränvärn Från E och iniionn hr vi Allå är lim lim A A På liknn ä, rån E, år vi ========================================================= plcrnormr v öljn unkionr nvän o och kn vr nyig kunn un ill unr kurn gång U llr, Hvii unkion n! n n in co Dirc l-unkion Flr ormlr inn i BETA n=,, RÄKNEREGER 6 v 7

7 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr När vi plcrnormrr n unkion nvänr vi o ärig ormlr x BETA ör någr o örkmn unkionr och någr räknlgr Ibln kll nn mo ör lxikonmon R INEARITET AV APACETRANSFORMEN bg F bg Bvi: Sn öljr rån ingrln linjär gnkpr: bg bg bg F bg VSB Uppgi Använ linri ör bämm in8 co öning: Vi nvänr linri och ärig ormlr rån BETA llr rån ovnån bll F! 8 8 Uppgi 6 Använ linri ör bämm F 8 8 öning: Innn vi bämmr invrn, krivr vi någr lr å vi kn irk nvän ärig ormlr inn i BETA llr i blln ovn F!! 8 8 Nu hr vi in8 co R DÄMPNINGSSATSEN kll i kurbokn För rnlionn å F vr plcrnormn v Då gällr 7 v 7

8 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr = F Bvi: = F Uppgi 7 Använ ämpningn ör bämm co b c in öning: För co Nu nvänr vi ämpningn = F gr co b För! Nu nvänr vi ämpningn = F gr! c Svr: in! Svr Uppgi 8 Använ ämpningn ör bämm g G b G c G G 7! öning: G! 8 v 7

9 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr För!!! Nu nvänr vi ämpningn gr!!! 6 Nor änringn rån ill + i -rumm gr korn i -rumm b För in Nu nvänr vi ämpningn gr in Nor änringn rån ill + i -rumm gr korn i -rumm c För in Nu nvänr vi ämpningn gr in Nor änringn rån ill i -rumm gr korn i -rumm För kvrkplrr vi nämnrn och ärr krivr ln å ämpningn kn illämp: G l i vå lr nlig A B C A C B C Nu nvänr vi ämpningn på vrj rm och år G co in Svr: 6 b in c in 9 v 7

10 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr co in R FÖRDRÖJNINGSSATSEN kll i kurbokn nr rnlionn å F vr plcrnormn v Då gällr U F är Bvi: U, U = r U, = = ubiuionn x, x x x = x x = x x F VSB Uppgi 9 Använ örröjningn ör bämm in U b U öning: För in Härv, nlig örröjningn, in U b För!! Härv, nlig örröjningn, U Uppgi Använ örröjningn ör bämm g G b 8 öning: v 7

11 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr För!!! Härv, nlig örröjningn, U! b co 8 Härv, nlig örröjningn, co U R plcrnormion v rivor å F vr plcrnormn v F Då gällr F F Vi bvir F Vi nr bå och är v xponnill orningn och yckvi koninurlig = pr in = = [lim lim ] F = F = F VSB Anmärkning: Vi nr lim ör or Exmpl: å Bräkn gn rivr unkionn och irk bräkn = b m hjälp v ormln F v 7

12 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr öning: j inir = Därm b F Nor F = och högrgränvär är Ovnån ormlr ör rnormring v rivor nvänr vi vi nvänr plcrnormr ör lö n DE llr DE-ym Exmpl: Använ plcrnormr ör lö öljn DE: y y U U, y öning: Sg För rnormrr vi bå ln och örnklr ärr nor vi år n nkl linjär kvion på Y : Y y Y, llr Y Y Sg Vi lör u Y : Y Y llr Y Sg Invrrnormr: Tip nvän BETA ör invrrnormr ärr örröjningn och v 7

13 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr y U U Anmärkning Om uppgin innhållr Dirc lunkion å nvän öljn ormlr: F F F x i BETA R plcrnormionr v ingrlr FATNINGEN convoluion v vå unkionr ör vå yckvi koninurlig unkionr på inrvll [, inir g Flningn bckn ibln * g, llå * g g I ormlmling BETA ng lningn g, är, g är kik mm g r, och g R plcrnormion v lningn: g F G Bvi: Inormiv, j obligorik; inn in i kurbokn v 7

14 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr v 7 g g ] [ D g vi änrr ingrionorningn g g ] [ ] [ ubiuionn x =x ] ] [ G F x x g x x g x x VSB Uppgi Bäm plcrnormr ill öljn lningingrlr in b öning: Bckn och in g Nor g vrr mo n ln är unkion v Då är! F och G Därm, nlig lningormln, 9! in G F b Bckn och g Då är F och! G Då är G F =!

15 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr R6 plcrnormring v ingrln Om vi krivr år vi m hjälp v lningormln F F Exmpl: Bäm in xx, öning: in x x Anmärkning: Flr räknlgr inn i BETA ======================================== v 7

16 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr Smmnning v räknlgr ör plcrnormr iknn ormlr inn i ormlmling BETA: F bg F bg F F Kll ör rnlionn llr ämpningn, U = F Kll nr rnlionn llr örröjningn 6 n n F n n=,, 7 y Y y 8 y 9 y Y y y Y x x F x g x x F G Prioik unkion m prion T v T T T y y y Anmärkning: Om mn hr Dirc lunkion i uppgin å rä ormlrn 7,8,9 m 7 y Y y 8 y 9 y Y y y Y y y y 6 v 7

17 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr Uppgi Bln uppgir Bäm plcrnormn F in b c U in in g co7 h *in Svr: b 6 c 6 g 9 h Uppgi Bln uppgir Bäm ör givn F 7 b 7 c g h Svr: co 7 b in 7 c in U g co h U 6 7 v 7

Relevanta dokument

TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor ENAMEN HF9 Mmik EN Skrivid : 7: Frdgn jnuri nmn bsår v sidor Hjälpmdl: Udl ormlbld Räkndos j illån nmn bsår v uppgir som ol kn g poäng F är undrkän bg mn md möjligh ill komplring Komplringn kn nds görs