Räta linjer: RÄTA. Därför PM. Eftersom. x y z. (ekv1) Sida 1 av 11

Transkript

1 RÄTA LINJER OCH PLAN Rä linje: Lå L den ä linjen genom punkenn P om ä pllell med ekon 0. Lå M= enn godcklig punk på linjen L. Punkenn M ligge på linjen L om och end om PM ä pllell med ikningekonn. Däfö PM Lå ide O=000. Då gälle OM OP PM e lle OM OP * Efeom OM OP och kn i ki * om ** elle ekilen Ekionen ** ä linjen ekoekion på pmeefom. Rä linjen ekoekion på pmeefom ek E nn kiä linjen ekion medd kolonnekoe ek Sid

2 Sid Noe punken M och eko OM h mm koodine. Däfö kn i uppf ek om en ekion om ä eled ill koodine fö en punk M på linjen L. Om pmeen ie genom ll eell l få i ll punke på linjen L. Dämed kn i uppf linjen L om mängden ll punke dä ie genom ll eell l. De kn i nge molik enlig följnde } : { R L elle } : { R L. elle } { R L Om i idenifie koodine i onående ekoekion få i e klä ekione: Rä linjen e klä ekione på pmeefom: På mm ä få i linjen ekion i R och i R n Rä linjen ekoekion på pmeefom i R i R 4 w w i R 4 Eempel: Beäm ekionen fö den ä linje om gå genom punken P =.4 och om om ä pllell med ekon 0. Lå M= e =============================================== Pln: Lå plne genom punken P om h nomlekon 0 C B A N ; lå ide M en godcklig punk i plne. Då ä PM inkelä mo nomlekon N. Däfö h i följnde ekione: P M N

3 Sid Plne ekion på ekofom: 0 N dä OM OP och O=000 Plne ekion om kll punk-noml ekion poin-noml equion : 0 C B A Efe föenkling h i Plne ekion på nddfom elle llmän fom: D C B A Lå e pln om gå genom punken P och om ä pllell med å icke-pllell ekoe och kild fån 0. Då kn plne definie med en ekoekion elle dä pmen och ä godcklig eell l. Ann kiä med kolonnekoe Plne kn ockå nge om mängden ll punke om ligge i plne: } { R } { R. Onående ekoekion ä ekilen med e klä ekione: om kll plne ekione på pmeefom. ===============================================

4 ÖVNINGSUPPGIFTER: Uppgif. En ä linje gå genom punken A= och B=40. Beäm linjen ekoekion. Beäm linjen ekione på pmee fom d e klä ekione. c Beäm om någon punken P=567 och Q=4 ligge på linjen. Löning: AB 7 ä en ikningeko. Linjen ekion på pmeefom ä =+7 Vi idenifie koodine och få e ekione: 7 c En punk ligge på linjen om punken koodine ifie linjen ekione fö någo äde på pmee. i Vi uiue P: koodine i ekionen och koll om de finn å ll ekione ä uppflld: Vi h eme om ge = = uppflle ll e ekione! Dämed ligge punken P på linjen. Konoll om = få i =+7=567 d i få punken P om i uiue = i linjen ekion. ii Vi uiue Q: koodine i ekionen och få 4 7 Fö ek ge =. Om i uiue = i nd få i 4=+ OK men uiuionen = i den edje ek. ge =+7 om ä omöjlig. Med nd od kn em löning på. Däfö ligge ine punken Q på linjen. S: =+7 7 c P ligge på linjen. Q ligge ine på linjen. Uppgif. En ä linje i R gå genom punken A= och B=. Beäm linjen ekione på pmeefom. Elimine pmeen och ki ekionen på fomen =+. Löning: Sid 4

5 AB ä en ikningeko. Linjen ekoekion på pmeefom ä =+ om i kn ki om å klä ekione Fån den nd ekionen h i om i uiue i och få. Hä 4 elle 5 5 Sluligen S: 5 Uppgif. E pln gå genom punken R=. Vekon 0 Beäm plne ekion. Beäm om punken P=5 ligge i plne. ä inkelä mo plne. Löning: Plne punk-noml ekion ä A B C 0 dä A B och C ä koodine en nomleko i å fll en nomleko ä 0 d 0 0. Om i föenkl ekionen få i 0 elle 5 Punken koodine uiue i ekionen 5. Vi få 5 5 om ine ä n. Punken ligge INTE i plne. Uppgif. Fån nddfom ill pmeefom Plne h följnde ekion 4 6. Beäm plne ekione på pmeefom. Löning: Vi infö eeckn och. De uiue i ekionen 4 6. Däefe löe i u : 6 4 Dämed h i 6 4 = = om ä plne ekione på pmeefom. Sid 5

6 Anmäkning: Vi kn eki mm pln med en ekoekion 6 4. S: 6 4 = = Uppgif 4. Fån nddfom ill pmeefom Plne h följnde ekion Beäm plne ekione på pmeefom. Löning: Vi infö eeckn och om i uiue i ekionen och få Hä Dämed h i 4 = = om ä plne ekione på pmeefom: S: 5 4 = =. Uppgif 5. E pln gå genom punken P=. Plne ä pllell med ekoen u och. Beäm en ekoekion med å pme plne ekione på pmeefom e klä ekione plne ekion på den llmänn fomen A B C D. Löning: En eko ekion ä =++ Vi idenifie koodine och få e ekione d. plne ekione på pmeefom: N u Sid 6

7 c Meod. Vi elimine pme och och få en ekion på fomen A B C D. Fån den fö ekionen de e pmeik ekione h i. De uiue i följnde å ekione. Vi få Vi föenkl ill Vi uiue i i ek. och få om föenkl ill Meod. Anmäkning: Denn meod kn du nänd efe du h lä dig eäkning ekopoduken u om ä inkelä mo åde u och. N u. Plne ekion: A B C elle S: 0 Uppgif 6. A:=[];B:=[];C:=[4]; E pln gå genom punken A= och B= och C=4. Beäm En ekoekion fö plne Plne pmeeekione c Plne ekion på den llmänn fomen A B C D. Löning: Sid 7

8 Plne ä pllell med ekoen AB 0 och AC och gå genom punken A= En eko ekion fö plne ä =+0+ Vi idenifie koodine och få e ekione d. plne ekione på pmeefom: c Vi elimine pme i onående ekione. Fån ek h i om i u i följnde å ek. Vi få elle Vi uiue i den i ek. och få elle S: =+0+ c Uppgif 7. E pln gå genom punken A= och B=. Plne ä pllell med linjen 45 Beäm en eko ekion med å pme fö plne. Löning: Vekoen u AB 0 och linjen ikningeko En eko ekion fö plne ä =+0+ ä pllell med plne S: =+0+ Sid 8

9 Uppgif 8. En ä linje gå genom punken A=0. Linjen ä oogonl inkelä mo plne 0. Beäm linjen ekion. Löning: Plne noml ä en ä en ikningeko fö den ök linje. Linjen ekion ä: =0+ S: =0+ Uppgif 9. Beäm eenuell käningpunke melln linjen =00+ och följnde pln: 0 0 c 0 Löning: Fån =00+ h i L : Vi uiue linjen ekione och i plne ekion 0 och få 0 Fö h i =+ = 0 = = och = =. Dämed h i få en käningpunk P 0 Vi uiue linjen ekione och i plne ekion 0 och få 0 0 Ingen löning c Vi uiue linjen ekione och i plne ekion 0 och få n fö je je punk på linje ligge i plne. S: P 0 Ingen löning c Linjen ligge i plne. Uppgif 0. Beäm eenuell käningpunke melln följnde linje =+ och =57+. Löning: Linjen ekione kn ki om Sid 9

10 Sid 0 L : L 7 5 : Vi löe eme: 7 5 Hä = = och =4 S: Skäningpunken ä P=4. Uppgif. Vi ek å mdfkoe i e lämplig ld koodinem. En mdfko ö ig läng nn = d fkoen efinne ig i punken id idpunken. En nnn mdfko ö ig läng nn = Kock fkoen? Moieing kä! Skä fkoen no nd? Moieing kä! Löning: S: Fkoen kollide ej efeom eme kn löning Både fkoen ö ig läng ä linje. De no h följnde ekione: L: L: Vi öke käningen melln linjen och få ekioneme om h löningen = =. S: Bnon kä nd. Fko ä i käningpunke id idpunken = idenhee; fko ä i mm punk id idpunken = idenhee.

11 Uppgif. Lå inkeln melln edimenionell elle ådimenionell ekoe och. Beäm en eko om ild inkeln med och mm inkel med. Löning: Som en löning kn i digonlen i den om ido ä enheekoe och. Allå d S: En löning ä d. Vje eko p kd k > 0 ä ockå en löning. Sid