Optimering Linjär programmering
|
|
- Ann Anna-Karin Ivarsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Optimering Linjär programmering Ett optimeringprolem etår av: En målfunktion, f(), var maimum, eller minimum ka öka. En eller flera -varialer (elutvarialer om man tr över). Eventuellt ockå ett antal ivillkor om ka uppflla (likheter och/eller olikheter). Det vill äga egränningar eller amand mellan -varialerna. Eempelvi: ma f ( ) då Ω där pecificera med hjälp av ett nitt av olikheter: g ( ) g ( ) Def: Linjär funktion En funktion, f (,,..., n ), kalla en linjär funktion av,,..., n om den kan kriva f (,,,,, n ) c c... cnn där c, c,..., cn är kontanter. Def: Linjär olikhet Om vi har en linjär funktion f,,..., ) och en kontant. Kalla en olikhet på formen ( n f (,,..., n ) för en linjär olikhet. En uppättning av linjära olikheter kapar ett område avgränat av raka linjer, eller plana tor, en å kallad konve poltop. Def: Linjärt programmeringprolem (LP) Ett linjärt programmeringprolem är ett optimeringprolem där målfunktionen är en linjär funktion. Bivillkoren ka vara linjära olikheter (eller likheter). Vanligtvi har vi även egränningar på att elutvarialerna ka vara icke-negativa. Om vi antar att ivillkoren egränar torleken på alla elutvarialer i ett linjärt programmeringprolem, å finn målfunktionen maimum och minimum i något (eller iland några) av hörnen av det tillåtna området. Ett linjärt programmeringprolem (LP) kan ha (en av): En unik löning (optimum i ett hörn) Många löningar (optimum på en egränningta) Ingen löning (ivillkoren tillåter ingenting) En oegränad löning (ivillkoren egränar ej löningen) H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc
2 Eempel tränickeri: oldat älj för $7 den kotar $4 i material och föräljningkotnader vi tjänar alltå $ på varje oldat. tåg älj för $ den kotar $9 i material och föräljningkotnader vi tjänar alltå $ på varje tåg. Två aretmoment finn att laorera med: nickeri och efterehandling. En oldat kräver timme av nickeriet och timmar efterehandling. Ett tåg kräver timme av vardera. De aktuella återföräljarna kan inte älja mer än 4 oldater/vecka. Vi har tillgång till maimalt timmar efterehandling och 8 timmer nickeri per vecka. Betäm produktionen för att maimera vinten! Aretgång:. Definiera relevanta elutvarialer. antal oldater om producera per vecka antal tåg om producera per vecka. Definiera en målfunktion, eempelvi vint per vecka uttrckt i elutvarialerna: ma z f ( ) f (, ). Uttrck ivillkoren i elutvarialerna (tim/vecka) efterehandling 8 (tim/vecka) nickeri 4 (oldater/vecka) maimal föräljning H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc
3 Maimera z då () 8 () 4 (4) Prolemet värde är z8, uppnå i punkt G,, 6 I korningen mellan linjerna och 8 H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc
4 H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc 4 Varje linjärt programmeringprolem har åde en primalform och en dualform. Om primalformen är: ma A c z T å är dualformen på amma prolem: min c A w T T Vid optimum är zw Ovan hade vi: c c c 4 8 A ekriver vad om är optimalt att tillverka. är kuggpriet för reurerna, dv värdet av den ita timmen i nickeriet, efterehandlingen repektive marknaden egränning map oldater. De är amma om känlighetkoefficienterna från lagrange multiplikatormetod. Primalformen: [ ] ma dv dv dv A c z T Dualformen: [ ] min dv dv dv c A w T T
5 Lagrange på ovantående eempel Målfunktion U Bivillkor G G 8 G 4 G G 4 5. Löning inom domän U? U U dv det finn ingen löning. Löning med en lagrangemultiplikator, U λ i Gi med villkor G i U G λ λ. finn inget λ om uppfller det U G λ λ. U U G λ G λ λ finn inget λ om uppfller det, amma gäller övriga G till G 5 λ Oervera att de partiella derivatorna aldrig innehåller någon av elutvarialerna, dv de ger ingen information om vilken punkt om är optimal.. Löning med två lagrangemultiplikatorer: U λ i, Gi λ j, G j med villkoren G i och G j Här finn tio olika par varav nio har löningar. Det om egentligen är intreant är likhetvillkoren, efterom de ger värdet på elutvarialerna. Vilken kärningpunkt i grafen ovan vi efinner o i eror på vilka två olikheter om vi väljer att ha om likheter. H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc 5
6 Simplealgoritmen Man gör om olikheterna till likheter genom att införa lackvarialer där amtliga varialer är ickenegativa. Samtliga olikheter kriv om till teckenretriktionen på de ingående varialerna. Giapetto prolem: Maimera z då 8 4 ickenegativa. Blir ålede i tandardform: Maimera z då 8 4 ickenegativa. Vi har i detta fall ett linjärt ekvationtem med tre ekvationer och fem oekanta. Om man ätter två av de oekanta till noll, och löer för de övriga å efinner man ig i kärningen mellan två linjer. Simplealgoritmen gger på att man utgår från ett tillåtet hörn. I Giapetto fall etår hörnen av kärningpunkten mellan två linjer, har man fler varialer etår hörnen av kärningpunkten mellan flera hperplan. Sedan avgör man om hörnet är optimalt. Om vi inte nått målfunktionen optimum, flttar vi till ett ättre grannhörn och tetar igen. Metoden liknar Gau-elimination vid löning av linjära ekvationtem. Med killnaden att man använder ig av en rektangulär matri amt att man har ett antal villkor om tr vilka radoperationer om ka göra på matrien. Det finn ra gratiprogram om klarar av etdligt törre tem än de man kan handräkna. H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc 6
7 . Gör om prolemet till tandardform enligt: Om vi har ett minimeringprolem, gör man om det till ett maimeringprolem genom att teckenvända målfunktionen: Minimera z 5 7 gör om till Maimera w 5 7 Olikheter gör om till tandardform enligt: 4 addera lackvariael 4 eller 4 4 e 4 utrahera överflödvariael 4 eller 4 När lack- eller överflödvariael är noll, efinner vi o på den linje eller (hper)plan om motvarar olikheten egränning. Alla olikheter överför på det ättet till teckenvillkor på ingående varialer: Där repreenterar alla urprungliga elutvarialer amt lackvarialer och överflödvarialer. Alla m ivillkoren kan då (tillamman med teckenvillkoret) uttrcka om A Där kolumnvektorn är högerledet för de m ivillkoren och matrien A innehåller koefficienterna för dem. Eempel: Maimera z då () 8 () 4 (4) På tandardform lir detta då: Maimera z då () 8 () 4 (4) H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc 7
8 Eller med hjälp av matrirepreentation: Maimera z A Där 8 4 A. Hitta en tillåten löning Simple-algoritmen gger på att man utgår från en tillåten löning, dv där alla teckenvillkoren är uppfllda. Ingen variael får vara negativ! Efterom matrien i detta eempel har två kolumner mer än rader, kan man genom att ätta två valfria varialer till noll, lätt löa ut de andra. (nollorna etder vilka olikheter om vi gränar mot) Målfunktionen kriv om enligt: z och ildar förta raden i talån. Kolumnen HL kommer från -vektorn och reten från matrien A. Simpletalån kan kriva: z HL De varialer om vi ätter till noll kalla NBV (Non Baic Variale), de övriga ildar en a och enämn BV. Om vi tartar med att ätta elutvarialerna och löer ut de övriga. Dv om vi lundar för de kolumner var varialer vi ätter till noll, ka det finna en etta i varje kolumn och rad inget annat! Om det inte gäller måte vi fia det med elementära radoperationer. I detta fall mcket lätt efterom det redan är färdigt. Om någon av BV-varialerna lir negativ är löningen inte tillåten, dv den rter mot någon av olikheterna, då får man prova en annan uppättning av NBV eller använda metodikt öka ett tillåten löning med eempelvi BigM. Talån när NBV är och BV är, lir med tolkning: z HL BV - - z (Motvarar origo, dv punkt H i figur på idan ) H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc 8
9 . Avgöra om löningen är optimal Om det finn negativa koefficienter i talån förta rad kan målfunktionen värde förättra. 4. Vilken variael ka vi öka värdet på? har den met negativa koefficienten denna vill vi ka tillhöra avarialerna, men vi måte då plocka ort en annan, dv nolltälla någon annan variael itället. 5. Vilken variael ka vi nolltälla itället? Vilken vi ka ta ort etäm av hur tor kan li utan att någon annan avariael lir negativ (vi rter mot en olikhet) z HL BV Kvot - - z / / /4 Vi er att det är teckenvillkoret för om egränar hur tort kan li. (det minta poitiva värdet enligt kvottetet) Vi ätter alltå vilket motvarar punkt E i grafen. I alla kolumner utom och vill vi ha en enda etta deutom på olika rader. 6. Räkna om talån Då ka vi med hjälp av elementära radoperationer göra om kolumnen å att den nolltäll på alla poitioner utom den nederta där vi vill ha en etta. (kolumn z, och är redan OK) z HL ero -* - * *4 (*rad4) -* -*- -*4 (-*rad4) (-rad4) 4 OK H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc 9
10 Den na talån när NBV är () och BV är, lir med tolkning: HL BV z - z I algoritmen går vi tillaka till punkt och fortätter med det å länge vi kan förättra löningen. Vi er att vi fortfarande har ett negativt värde i förta raden i kolumnen, å den ka in i BV. Vi gör om kvottetet: HL BV Kvot z - z - / / / ej Vi er att det är om ka ätta till noll när vi läpper fri. Vi ka täda undan i kolumn å att vi endat har en etta kvar i rad. Vi ätter alltå vilket motvarar punkt F i grafen. (linjen () motvarar och linjen (4) ) z HL ero -* * *(-)- *6 (*rad) - OK (-) 4- (-rad) 4 OK Den na talån när NBV är () och BV är, lir med tolkning: z HL BV - 6 z H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc
11 Kvottet: z HL BV Kvot - 6 z 6 - /- ej - / 4 4 4/4 Vi ka täda kolumn å att vi endat får en etta på rad. z HL ero - 6 rad - *rad - OK 4 -rad Den finala talån när NBV är () och BV är, lir med tolkning: z HL BV 8 z Nu har vi ingen negativ koefficient på förta raden vi är i mål. Vi er att målfunktionen värde z 8 få när 6 och På förta raden kan vi e kuggprierna för ivillkoren om koefficienterna för lackvarialerna. Skuggpriet för elutvarialerna teckenvillkor e under repektive elutvariael. Sammanfattningvi. Gör om till tandardform. Hitta en tillåten löning. Avgör om vi är i mål 4. Avgör vilken vi ka läppa fri från (till BV) (met negativ i rad ) 5. Avgör vilken vi ka nolltälla (från BV) (minta poitiva värde enligt kvottet) 6. Räkna om och gå till punkt H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc
12 Simplealgoritmen med Big-M Man gör om olikheterna till likheter genom att införa lackvarialer där amtliga varialer är ickenegativa. Samtliga olikheter kriv om till teckenretriktionen på de ingående varialerna. Giapetto prolem med modifiering av tredje ivillkoret: Maimera z då 8 ickenegativa. Blir ålede i tandardform: Maimera z då 8 ickenegativa.. Hitta en tillåten löning mha Big-M Målfunktionen kriv om enligt: z och ildar förta raden i talån. Kolumnen HL kommer från -vektorn och reten från matrien A. Simpletalån kan kriva: z HL Om vi tartar med att ätta elutvarialerna och löer ut de övriga. Dv om vi lundar för de kolumner var varialer vi ätter till noll, ka det finna en etta i varje kolumn och rad inget annat! Kolumnen ehöver fia till, men det är en enkel radoperation, ara ett teckente på raden, vilket reulterar i nedantående talå: H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc
13 Talån när NBV är och BV är, lir med tolkning: z HL BV - - z Oervera att detta inte är en tillåten punkt, efterom en av varialerna är negativ, å rter det mot teckenvillkoret för. Vi kan fia det genom att tillföra tterligare en variael per rutet teckenvillkor. Vi lägger till en artificiell variael genom att på alla tällen vi har erätta det med ( -a ). Parenteen kan då anta åde poitiva och negativa värden utan att rta mot teckenvillkoret för någon av varialerna. Deutom lägger vi till ett rejält traff i målfunktionen om den artificiella variaeln använd. Den artificiella variaeln använd för att hitta en tillåten löning. Med den artificiella variaeln lir då tandardformen enligt: Maimera z M a då 8 a, a ickenegativa. Där M tår för ett tort tal, därav namnet Big-M. Simpletalån kan nu kriva: z a - - M 8 - Vi fortätter på amma punkt, med tillägget att och då får a ta hand om det tidigare negativa värdet på förra. Taellen lir då med de tolkningar om kan göra: z HL a HL Tolkning - - M a Kolumn a måte fia till då förta raden inte är noll (M). H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc
14 Genom att utrahera M kopior av ita raden från överta raden kan vi läcka M:et i förta raden i kolumn a : z a HL Tolkning --M - M -M z M a Med hjälp av den artificiella variael är nu punkten tillåten, men långt ifrån optimal. Så vi kan då fortätta med implemetoden på normalt ätt till vi livit av med de artificiella varialerna (och kan då eventuellt trka dea ur temet). Den met negativa koefficienten i förta raden är den om innehåller M, å det är den om ka läppa fri. Kvottet ger då: z a HL Tolkning Kvot --M - M -M z M / /8 - a / Kvottetet ger lägta poitiva värdet på nederta raden dv det är teckenvillkoret a om är den om fört egränar o. Vi erätter då med a Vi ka täda kolumn å att vi ara har en etta i den kolumnen, förlagvi nederta raden. a HL Ero z --M - M -M (M)*rad4 -*rad4 8 -rad4 - Ok Vilket reulterar i: z a HL Tolkning - - M z Nu kan vi om vi vill trka kolumnen för den artificiella variaeln, då a och vi lir då ockå av med alla M. Vi kan då fortätta ungefär på amma ätt om tidigare (värdena på lir dock annorlunda då vi ändrade det ivillkoret) H:\Optimering\ Simulering och Optimering av energitem\linjär Optimering LP\Linjär optimering o.doc 4
2. Optimering Linjär programmering
. Optimering Linjär programmering Ett optimeringprolem etår av: En målfunktion, f(), var maimum, eller minimum ka öka. En eller flera -varialer (elutvarialer om man tr över). Normalt okå ett antal ivillkor
Läs merOptimering Linjär programmering
Optimering Linjär programmering Ett optimeringsprolem estår av: En målfunktion, f(), vars maimum, eller minimum ska sökas. En eller flera -varialer (eslutsvarialer som man str över). Eventuellt okså ett
Läs merÖVN 15 - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål
ÖVN 5 - DIFFTRANS - DEL - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Laplacetranformen Differentialekvationer med dikontinuerlig drivande term g(t) Heaviide och δ-funktionen
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Löningförlag Fredag 8 juni 8 8:-3: SF74 Flervariabelanaly Inga hjälpmedel är tillåtna Ma: 4 poäng (4 poäng Rita följande mängder i R : (a A {(, y R ma(, y } (b B {(, y R + y 4 4 4y y } (c C {(,
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs merω L[cos(ωt)](s) = s 2 +ω 2 L[sin(ωt)](s) =
Matematik Chalmer Tentamen i TMA683/TMA682 Tillämpad matematik K2/Bt2, 28 4 4, kl 4:-8: Telefon: Henrik Imberg, 3-772 5325; Kontaktperon: Mohammad Aadzadeh, 3-772 357 Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan
Läs merNär det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.
Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att
Läs merMassa, densitet och hastighet
Detta är en något omarbetad verion av Studiehandledningen om använde i tryckta kuren på SSVN. Sidhänviningar hänför ig till Quanta A 000, ISBN 91-7-60500-0 Där det har varit möjligt har motvarande aker
Läs merLinjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)
Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade
Läs mer1. Vad är optimering?
. Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst, men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. För att kunna jämföra olika fall samt avgöra vad som är bäst måste man
Läs mer1. Använd Laplacetransformen för att lösa differentialekvationen (5p) y (t) + 3y (t) + 2y(t) = 1, t > 0 y(0) = 1, y (0) = 1
Matematik Calmer Tentamen i TMA68/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 8 7, kl 4:-8: Telefon: Olof Gielon, -77 55 Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan av teen. Kalkylator ej tillåten. Betyggräner, : -7p, 4:
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merTMV206: Linjär algebra
Matematiska vetenskaper Lösningsförslag till tentamen Chalmers tekniska högskola 2018-06-07, 14:00 18:00 TMV206: Linjär algera Uppgift 1 Linjerna skär varandra om det finns någon punkt (x,y, z) som uppfyller
Läs merRegressionsanalys Enkel regressionsanalys Regressionslinjen
--9 Regreionanaly - en fråga om balan Kimmo Sorjonen Sektionen för Pykologi Karolinka Intitutet. Enkel reg.analy.. Data.. Reg.linjen.. Beta (β).. Signifikan.. Reg. om Var..6. Korr. & Förklarad var..7.
Läs mer1. Använd Laplacetransformen för att lösa differentialekvationen (5p) y (t) y(t) = sin 2t, t > 0 y(0) = 1
Matematik Chalmer Tentamen i TMA683/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 4, kl 8:3-:3 Telefon: Maximilian Thaller, 3-77 535 Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan av teen. Kalkylator ej tillåten. Betyggräner,
Läs merLösningar till tentamen i Reglerteknik
Löningar till tentamen i Reglerteknik Tentamendatum: 8 Juni 205. (a) Välj t.ex. tyrbar kanonik form 5 4 3 ẋ(t) = 0 0 x(t) + 0 u(t) 0 0 0 y(t) = ( 0 ) x(t) (b) Stabilt ytem och tationär förtärkning G(0)
Läs merRegressionsanalys Enkel regressionsanalys Regressionslinjen
-9-6 Regreionanaly - om en mak åt en hungrande Kimmo Sorjonen Sektionen för Pykologi Karolinka Intitutet. Enkel reg.analy.. Data.. Reg.linjen.. Beta (β).. Signifikan.. Reg. om Var..6. Korr. & Förklarad
Läs merNär det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.
Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att
Läs merErsättningssystem inom socialpsykiatrin Remiss från Kommunstyrelsen. Dnr
SÖDERMALMS STADSDELSFÖRVALTNING SOCIAL OMSORG SID 1 (7) 2009-07-31 Handläggare: Siv Lundgren Telefon: 08-508 13 185 Till Södermalm taddelnämnd 2009-08-27 Erättningytem inom ocialpykiatrin Remi från Kommuntyrelen.
Läs merSpeciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 9 Icke-linjär optimering Konveitet Metoder ör problem utan bivillkor Optimalitetsvillkor ör icke-linjära problem Icke-linjär programmering Non-linear
Läs merKalibrering. Dagens föreläsning. När behöver man inte kalibrera? Varför kalibrera? Ex på kalibrering. Linjär regression (komp 5)
Dagen föreläning Kalibrering Kemik mätteknik CSL Analytik kemi Inledning. Linjär regreion Olika typer av tandarder. Vilken typ av kalibrering till vilken analymetod? Något om pårbarhet. Varför kalibrera?
Läs merReviderat förslag till beräkningsmodell för särskolan i Stockholms län
UTBILDNINGSFÖRVALTNINGEN STABSENHETEN SID 1 (6) 2007-02-27 Handläggare: Eliabet Sjöberg Telefon: 508 33 947 Till Utbildningnämnden 070419 Reviderat förlag till beräkningmodell för ärkolan i Stockholm län
Läs merWebbhandel med Matsäljarna.
Webbhandel med Matäljarna. E t t f ö r e ta g i e r v e r a g r u p p e n Logga in Gå in på www.mataljarna.e Klicka på Webbhandel Logga in Skriv in ditt användarnamn (kundnummer) och ditt löenord om du
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.
Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av
Läs merSå här beställer du varor från Serveras webbutik.
Så här betäller du varor från Servera webbutik. Logga in Gå in på www.ervera.e Klicka på Webbhandel Eller klicka på Våra Tjänter Och välj Betällning. Logga in Skriv in ditt användarnamn (kundnummer) och
Läs merSå här beställer du varor från bunkra.se
Så här betäller du varor från bunkra.e Logga in Gå in på www.bunkra.e Klicka på Till butiken Eller klicka på Välkommen till butiken. Skriv in ditt användarnamn (kundnummer) och ditt löenord om du har fått
Läs merOlinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i
Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:
Läs meryz dx + x 2 ydy+ x 2 dz, (0, 0, 0) (1, 1, 1) (0, 0, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 0) (0, 0, 0) (1, 1, 1) z = xy y = x 2 x(t) =y(t) =z(t) =t, 0 t 1
γ z d d dz, γ,,,,,,,,,,,,,,,, z t t zt t, t P z t Q t R t P tq trz t dt t t t t dt t t r t,,, t P t Qt, Rt t P tq trz t dt,,,, r,t,, t P t, Qt t, Rt dt P tq trz t dt,,,, tdt r,,t, t P t t, Qt Rt P tq trz
Läs mer7. Låt f(x) vara en 2π-periodisk, integrerbar funktion. Visa noggrant att om
Matematik Chalmer Tentamen i TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 4 8 ; KL 4:-8: Telefon: Mohammad Aadzadeh: 73-8834. Hjälpmedel: Endat utdelad (vänd textlappen) tabell. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna
Läs merLabbrapport - Linjär algebra och geometri
Labbrapport - Linjär algebra och geometri Erik Gedeborg, ME, Uppgift.6 Problem: Bestäm ett tredjegradspolnom p ( ) + a + a + a a som har samma derivata som funktionen f ( ) i punkterna och. Givna funktioner:
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 6 Agenda Kursens status Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet
Läs merLP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter
LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?
Läs merInledande kurs i matematik, avsnitt P.4
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.4 P.4. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen f() = +. så ser vi att den har värdemängden [0, ). Eftersom funktionen G har utseendet någonting där
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och
Läs merTENTAMEN. Matematik för basår I. Stenholm :00-12:00
Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: TENTAMEN HF00 Matematik för asår I TENA /TEN Tekniskt asår Niclas Hjelm, Philip Köck & Jonas Stenholm Niclas Hjelm 08-0-5 08:00-:00 Eaminator: Datum: Tid:
Läs merOptimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken.
Optimal = basta mojliga. Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och nna det basta mojliga. Anvands oftast till att nna ett basta handlingsalternativ i tekniska och ekonomiska beslutsproblem.
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH VT 2018 1 Dagens program Extremvärdesproblem (största och minsta värde) kap 13.2 Extremvärdesproblem med bivillkor Lagranges multiplikatormetod kap 13.3 (+ev
Läs merLäs i vågläraboken om interferens (sid 59-71), dopplereffekt (sid 81-84), elektromagnetiska vågor (sid 177-181) och dikroism (sid 413-415).
Dopplerradar Förberedeler Lä i vågläraboken om interferen (id 59-71), dopplereffekt (id 81-84), elektromagnetika vågor (id 177-181) och dikroim (id 413-415). Lä igenom hela laborationintruktionen. Gör
Läs merProcessbeskrivning Driftsättning
ProcIT-P-007 Procebekrivning Driftättning Ledning- och kvalitetytem Fattällt av Sven Arvidon 2012-06-20 Innehållförteckning 1 Inledning 2 1.1 Symboler i procebekrivningarna 2 2 Driftättning 3 2.1 Samband
Läs merOptimering med bivillkor
Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.1. Optimering med bivillkor Låt f(x) vara en funktion av x R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g(x) =C (eller bivllkoren g 1 (x) =C 1,..., g k (x) =C
Läs merNotera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.
OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
Läs mer= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t.
Löningförlg till tentmenkrivning i SF16 Differentilekvtioner I Tidgen den 8 jnuri 1, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mthemtic Hndbook Redovi löningrn på ett ådnt ätt tt beräkningr och reonemng är lätt tt följ
Läs mer1. f är en två gånger deriverbar funktion på intervallet (a, b) och π 1 f är dess linjära interpolant. Visa att π 1 f f L (a,b) (b a) 2 f L (a,b).
Matematik Chalmer Tentamen i TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, ; KL 8:3-:3 Telefon: Martin Berglund: 73-883. Hjälpmedel: Endat utdelad vänd textlappen tabell. Kalkylator ej tillåten. Uppgift 7 ger max 8p,
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 7 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 7 5B1817 2006/2007 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen
Läs merLösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, juni 7 Lösningarna är på svenska, utom lösningen av (a som är på engelska (a The considered network is illustrated in FIGURE below, where the supply at the
Läs merMICROECONOMICS Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 2) Peter Lohmander &
MICROECONOMICS 2018 Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 2) Peter Lohmander www.lohmander.com & Peter@Lohmander.com NYTT MÖTE: Diskutera Ert förslag till lämpligt problem med kursledaren (Peter Lohmander)
Läs merLäs i vågläraboken om interferens (sid 59-71), dopplereffekt (sid 81-84), elektromagnetiska vågor (sid 177-181) och dikroism (sid 413-415).
Dopplerradar Förberedeler Lä i vågläraboken om interferen (id 59-71), dopplereffekt (id 81-84), elektromagnetika vågor (id 177-181) och dikroim (id 413-415). Lä igenom hela laborationintruktionen. Gör
Läs merTillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna
UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel:
Läs merTENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Tordag 3 oktober 04, kl. 3.00-6.00 Plat: Fyrilundgatan 80, Sal Anvarig lärare: Kjartan Halvoren, tel. 073-776 090. Tillåtna hjälpmedel: Kurboken (Glad-Ljung), miniräknare,
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs merOm för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande
OPTIMERING PÅ KOMPAKTA OMRÅDEN. Om för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande 1. D är en KOMPAKT mängd. funktionen f är KONTINUERLIG på D då antar f sitt största och sitt
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merFärgscheman Bengal [by Jez]
Vilke färg har egale? Färgchema Begal [y Jez] 24 24 33 24 32 24 31 vartpotted (ru) eal lyxpoit potted eal mik potted eal epia potted 22 22 33 22 32 22 31 vartmarle (ru) eal lyxpoit marle eal mik marle
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 1 oktober 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merGeometri. Kapitel 3 Geometri. Borggården sidan 68 Diagnos sidan 82 Rustkammaren sidan 84 Tornet sidan 90 Sammanfattning sidan 94 Utmaningen sidan 96
Geometri Kapitel 3 Geometri Eleverna har tidigare arbetat med omkret och area. I kapitlet repetera fört begreppet area och hur man beräknar rektangeln area. Enheten kvadratdecimeter, dm 2, för area introdu
Läs merFöreläsning 7: Stabilitetsmarginaler. Föreläsning 7. Stabilitet är viktigt! Förra veckan. Stabilitetsmarginaler. Extra fördröjning i loopen?
Föreläning 7 Föreläning 7: Känlighetfunktionen och Stationära fel 4 Februari, 29. 2. Standardkreten 3. Känlighetfunktion Förra veckan Stabilitet är viktigt! yquitkriteriet Im G(iω) Amplitud- och famarginal
Läs merLösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012
Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +
Läs merökar arbetslösheten i alla länder, men i USA sker tilbakagången snabbare
Europeik arbetlöhet numera generellt högre än i USA. Vid lågkonjunktur ökar arbetlöheten i alla länder, men i USA ker tilbakagången nabbare än i typikt Europeikt land. Från att ha legat på en tabil, internationellt
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs mer(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merLösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07
Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Läs merAB2.9: Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion
AB29: Heaviide tegfunktion Dirac deltafunktion Heaviide tegfunktion Heaviide tegfunktion definiera ut a) = { if t < a, if t > a Betrakta via exempel: ft) = 5 in t ft)ut 2) ft 2)ut 2) k[ut ) 2ut 4) + ut
Läs merSannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, vt 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlita till NCT Iferece Slutledig, ifere Parameter Parameter Saolikhetlära tatitik ifere Hittill har vi ylat med aolikhetlära. Problem av type:
Läs merLaboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering
Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j
Läs merTENTAMENSUPPGIFTER i MIKROTEORI Från Peter Lohmander 2010-03-02
1 File = EK_GK_OM_Tentafragor Lohmander Peter 010_03_0 TENTAMENSUPPGIFTER i MIKROTEORI Från Peter Lohmander 010-03-0 UPPGIFT 1: Det finns ett särskilt samand mellan ATC s minpunkt och MC, som gäller under
Läs merFöreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.
Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning
Läs merAPPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Approimatio av erie umma med e delumma APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL Låt vara e poitiv och avtagade utio ör åda att erie overgerar. Vi a
Läs merLinjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen
Läs mergamla sopor värmer gott Förbränning i kraftvärmeverk bra för både miljö och klimat
gamla opor värmer gott Förbränning i kraftvärmeverk bra för både miljö och klimat retavfall blir ny energi Så omvandla dina opor till miljönytta Itakt med att vi konumerar allt mer ökar ockå mängden avfall
Läs merFöreningen ska ha ett bankgirokonto eller postgirokonto registrerat i föreningens namn.
SOCIALFÖRVALTNINGEN Riktlinjer för bidrag till ideella föreningar RIKTLINJER SID 1 (8) 1. Bakgrund Socialnämnden töd till ideella föreningar 1 yftar till att tärka den ideella ektorn förutättningar att
Läs merSamverkansöverenskommelse rörande introduktion av nyanlända
SOCIALTJÄNSTFÖRVALTNINGEN AVDELNINGEN FÖR STAD SÖVERGRIPANDE SOCIAL A FRÅGOR SID 1 (6) 2008-08-15 Handläggare: Eva Woll Tegbäck Telefon: 08-508 25 903 Till Socialtjäntnämnden Samverkanöverenkommele rörande
Läs merUNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1.
LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjär hölje Definiion. (LINJÄR KOMBINATION Lå V ara e ekorrm. En ekor w är linjär kombinaion a,,, nn om de finn kalärer (al,,, nn å a ww nn nn Eempel.
Läs merFACIT OCH KOMMENTARER
STUDIEAVSNITT FACIT OCH KOMMENTARER 0 a) Multiplikationen går fört: 0 + = Parenteen fört:. = c) Diviionen fört: + = d) /( + ) = /0 = 0, 0 a) 0. = 0 - = c) - = d) Totalt tre terer,. oc /. Beräkna fört varje
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merFöreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta
Läs merOptimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.
Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt
Läs merHemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA4 7-3-7. Funktionen f() 5 arctan + 4 arctan(/), med den föreskrivna definitionsmängden D f { R : > }, ar derivatan f () 5 + () + 4 ( / ) + (/) + 4 4 + + (4 + 6 ) ( + )( + 4 ) Detta
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x
Läs merLösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08
Lösningar till SF8 Optimeringslära för E, 6/ 8 Uppgift (a) Problemet är ett transportproblem, ett specialfall av minkostnadsflödesproblem Nätverket består av 7 st noder A,B,C,P,Q,R,S, alternativt kallade,,,7,
Läs mer1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0
1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = b, med givna tal a 1,..., a n och b. Ett linjärt ekvationssystem
Läs mer1 Ickelinjär optimering under bivillkor
Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2
Flervariabelanals I Vintern Översikt öreläsningar läsvecka Denna vecka ägnas nästan uteslutande åt problemet att hitta största och minsta värden till en unktion av lera variabler. Vi kommer att studera
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten
Läs merHårdmagnetiska material / permanent magnet materials
1 Hårdmagnetika material / permanent magnet material agnetiera fört med tort magnetfält H 1 (ofta pulat), när det yttre fältet är bortaget finn fortfarande det avmagnetierande fältet H d och materialet
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs mer