Optimering Linjär programmering

Transkript

1 Optimering Linjär programmering Ett optimeringsprolem estår av: En målfunktion, f(), vars maimum, eller minimum ska sökas. En eller flera -varialer (eslutsvarialer som man str över). Eventuellt okså ett antal ivillkor som ska uppfllas (likheter oh/eller olikheter). Det vill säga egränsningar eller samand mellan -varialerna. Eempelvis: ma f ( ) då Ω där speifieras med hjälp av ett snitt av olikheter: g ( ) g ( ) Def: Linjär funktion En funktion, f (,,..., n ), kallas en linjär funktion av,,..., n om den kan skrivas f (,,,,, n )... nn där,,..., n är konstanter. Def: Linjär olikhet Om vi har en linjär funktion f,,..., ) oh en konstant. Kallas en olikhet på formen ( n f (,,..., n ) för en linjär olikhet. En uppsättning av linjära olikheter skapar ett område avgränsat av raka linjer, eller plana tor, en så kallad konve poltop. Def: Linjärt programmeringsprolem (LP) Ett linjärt programmeringsprolem är ett optimeringsprolem där målfunktionen är en linjär funktion. Bivillkoren ska vara linjära olikheter (eller likheter). Vanligtvis har vi även egränsningar på att eslutvarialerna ska vara ike-negativa. Om vi antar att ivillkoren egränsar storleken på alla eslutsvarialer i ett linjärt programmeringsprolem, så finns målfunktionens maimum oh minimum i något (eller iland några) av hörnen av det tillåtna området. Ett linjärt programmeringsprolem (LP) kan ha (en av): En unik lösning (optimum i ett hörn) Många lösningar (optimum på en egränsningsta) Ingen lösning (ivillkoren tillåter ingenting) En oegränsad lösning (ivillkoren egränsar ej lösningen) H:\Optimering\V8 Simulering oh optimering av energisstem\linjär Optimering LP\Linjär optimering.do

2 Eempel träsnikeri: soldat säljs för $7 den kostar $4 i material oh försäljningskostnader vi tjänar alltså $ på varje soldat. tåg säljs för $ den kostar $9 i material oh försäljningskostnader vi tjänar alltså $ på varje tåg. vå aretsmoment finns att laorera med: snikeri oh efterehandling. En soldat kräver timme av snikeriet oh timmar efterehandling. Ett tåg kräver timme av vardera. De aktuella återförsäljarna kan inte sälja mer än 4 soldater/veka. Vi har tillgång till maimalt timmar efterehandling oh 8 timmer snikeri per veka. Bestäm produktionen för att maimera vinsten! retsgång:. Definiera relevanta eslutsvarialer. antal soldater som produeras per veka antal tåg som produeras per veka. Definiera en målfunktion, eempelvis vinst per veka uttrkt i eslutsvarialerna: ma z f ( ) f (, ). Uttrk ivillkoren i eslutsvarialerna (tim/veka) efterehandling 8 (tim/veka) snikeri 4 (soldater/veka) maimal försäljning H:\Optimering\V8 Simulering oh optimering av energisstem\linjär Optimering LP\Linjär optimering.do

3 Maimera z då () 8 () 4 (4) Prolemets värde är z8, uppnås i punkt,, 6 I korsningen mellan linjerna oh 8 H:\Optimering\V8 Simulering oh optimering av energisstem\linjär Optimering LP\Linjär optimering.do

4 H:\Optimering\V8 Simulering oh optimering av energisstem\linjär Optimering LP\Linjär optimering.do 4 Varje linjärt programmeringsprolem har åde en primalform oh en dualform. Om primalformen är: ma z så är dualformen på samma prolem: min w Vid optimum är zw Ovan hade vi: 4 8 eskriver vad som är optimalt att tillverka. är skuggpriset för resurserna, värdet av den sista timmen i snikeriet, efterehandlingen respektive marknadens egränsning map soldater. De är samma som känslighetskoeffiienterna från lagrange multiplikatormetod. Primalformen: [ ] ma z Dualformen: [ ] min w

5 Lagrange på ovanstående eempel Målfunktion U Bivillkor Lösning inom domän U? det finns ingen lösning. Lösning med en lagrangemultiplikator, U λ i i med villkor i λ λ. finns inget λ som uppfller det λ λ. λ λ finns inget λ som uppfller det, samma gäller övriga till λ λ 5 Oservera att de partiella derivatorna aldrig innehåller någon av eslutsvarialerna, de ger ingen information om vilken punkt som är optimal.. Lösning med två lagrangemultiplikatorer: U λ i, i λ j, j med villkoren i oh j Här finns tio olika par varav nio har lösningar. Det som egentligen är intressant är likhetsvillkoren, eftersom de ger värdet på eslutsvarialerna. Vilken skärningspunkt i grafen ovan vi efinner oss i eror på vilka två olikheter som vi väljer att ha som likheter. H:\Optimering\V8 Simulering oh optimering av energisstem\linjär Optimering LP\Linjär optimering.do 5