TNK049 Optimeringslära
|
|
- Lina Andreasson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 3 Problemklassificering Global/lokal optimalitet Konvexitet Generella sökmetoder
2 Agenda Problemklassificering (kap 1.4, ) Lokalt/globalt optimum och konvexitet (kap 2.4) Kort om konvexa funktioner (kap 9.3) Generella sökmetoder (kap 2.5) 2
3 Vad är ett linjärprogrammeringsproblem? Betrakta det allmänna optimeringsproblemet (P): min f ( x) då g i ( x) b, i i 1 m För att (P) ska vara linjärt kräver vi att: x är en n-dimensionell reell variabel, dvs x R n. Målfunktionen f: R n R är linjär, dvs kan skrivas som en parametervektor skalärt med x plus en konstantterm, matematiskt uttryckt: c R n, c 0 R: f x = c T x + c 0. Alla bivillkorsfunktionerna är också linjära, dvs a i R n, a i0 R: g i x = a i T x + a i0, i. 3
4 Linjärt problem (linear problem) x 2 min f ( x) då g i ( x) b, i i 1 m Om f(x) och g i x, i är linjära funktioner får vi ett linjärt problem. max f(x) = 2 x 1 + x 2 då 2 x x 2 9 x 2 2 x 1 x 1, x 2 0 4
5 Icke-linjärt problem (non-linear problem) min f ( x) då g i ( x) b, i i 1 m x 2 Om minst en av funktionerna f(x) eller g i x, är ickelinjär får vi ett ickelinjärt problem. max f(x) = sin(2x 1 ) + sin(x 2 ) + x 1 + x 2 då 2 x x 2 9 x 2 2 x 1 x 1, x 2 0 5
6 Diskret problem (integer problem) x 2 min f ( x) då g i ( x) b, i i 1 m Om dessutom x är diskret (t ex heltal), får vi ett diskret problem. max f(x) = 2 x 1 + x 2 då 2 x x 2 9 x 2 2 x 1 x 1, x 2 0, heltal 6
7 Typer av lösningar min f(x) då x X Om X =, saknas lösning till problemet (problem is infeasible). Om f på X, har problemet obegränsad lösning (unbounded solution) och f* =. Om det finns x 1, x 2 X, där x 1 x 2, sådana att f(x 1 ) = f(x 2 ) = f*, har problemet alternativa optima (alternative optima). Om f(x*) < f(x) för alla x X, sådana att x x*, har problemet unikt optimum (unique optimum) (i x*). 7
8 Unik lösning min f ( x) då x X f x* f x för alla x X, x x* 8
9 Lösning saknas min f ( x) då x X Om X då sägs f * 9
10 Obegränsad lösning min f ( x) då x X Om f sägs på f * X 10
11 då x X Alternativa optima min f ( x) Om olika x1, x2 X, x1 x2 så att f * f ( x1 ) f ( x2) 11
12 Karaktär på bivillkor Aktiva villkor Redundant villkor 12
13 Lokala och globala optima min då x ( x) x är ett lokalt optimum (min) om f(x) f(x) för alla x N x X, där N x uttrycker en närhet till x. x är ett globalt optimum (min) om f(x) f(x) för alla x X. Ett globalt optimum är alltid ett lokalt optimum! f X 13
14 Konvexitet min f ( x) då x X Problemet är konvext (min-problem) om: Målfunktionen är konvex på X. Mängden tillåtna lösningar, X, är konvex. Problemet är konvext (max-problem) om: Målfunktionen är konkav på X. Mängden tillåtna lösningar, X, är konvex (!). I ett konvext problem är varje lokalt optimum också ett globalt optimum. 14
15 Konvex om Konvexa funktioner Varje rät linje mellan två punkter på funktionskurvan, ligger på eller ovanför kurvan Ej konvex om Någon rät linje mellan några punkter på funktionskurvan, ligger under kurvan Exempel! 15
16 Om konvexa funktioner Hessianen H(x) till funktionen f(x) kan användas för att avgöra konvexitet. H(x) positivt definit f(x) konvex Olika tekniker att bestämma om H(x) är positivt definit. Karaktäristiska ekvationen. Alla underdeterminanter. Viktig sats: Summan av konvexa funktioner är en konvex funktion. Mer om konvexa funktioner kommer på Fö9 (icke-linjära problem). 16
17 Konvex om Varje rät linje mellan två punkter i mängden, ligger i mängden Konvex mängd Observera! Det finns inga konkava mängder och följaktligen inte heller några konkava problem. Ej konvex om Någon rät linje mellan några punkter på mängden, går utanför mängden Viktig sats: Skärningen av konvexa mängder utgör en konvex mängd. Exempel! 17
18 Mer om konvexitet Konvext problem lätt att hitta optimum. Varför? Ibland är det svårt att avgöra om ett problem är konvext: Även skärningen av ickekonvexa mängder kan vara en konvex mängd. En funktion kan vara varken konvex eller konkav, men den del av funktionen som gäller för det tillåtna området kan vara konvex. 18
19 19 Exempel på konvext problem
20 20 Exempel på icke-konvexa problem.
21 Generell sökmetod Steg 0 Initiering: Börja i en tillåten startpunkt, x (0). Sätt iterationsräknaren k = 0. Steg 1 Steg 2 Steg 3 Steg 4 Sökriktning: Bestäm tillåten och förbättrande sökriktning, d (k). Avbrottskriterium: Kontrollera avbrottskriterium. Saknas tillåten och förbättrande sökriktning är vi i (ett lokalt) optimum. Steglängdsbestämning (linjesökning): Bestäm steglängd, t k. Ny punkt: Beräkna den nya punkten, x (k+1) = x (k) + t k d (k). Steg 5 Uppdatering: Sätt k = k + 1 och gå till Steg 1. 21
22 Datorlab 1 och Miniprojekt 1 Börja med Datorlab 1; ni har all teori som behövs för att göra detta! Allmänna instruktioner för Miniprojekt 1 finns på kurshemsidan. Scenarier för Miniprojekt 1 distribueras till respektive grupp inom kort.
23 Uppgift 1.1 (a och c) Inför Lektion 2 Linjära respektive icke-linjära funktioner. Uppgift 1.2 (a och c) Kontinuerliga och diskreta mängder. Uppgift 2.2 Rita det tillåtna området i ett LP-problem. Lösa problemet grafiskt och identifiera den optimala lösningen.
24
TNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 9 Icke-linjär optimering Konveitet Metoder ör problem utan bivillkor Optimalitetsvillkor ör icke-linjära problem Icke-linjär programmering Non-linear
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 1 Kursintroduktion Ämnesintroduktion Terminologi Tillämpningar Agenda Vilka personer medverkar i kursen? Kursupplägg Lärobok Laborationer Återkoppling
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 6 Agenda Kursens status Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merExtrempunkt. Polyeder
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den. Dvs. finna en optimal lösning, x, till modellen. Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan bättre. Upprepa, tills
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK09 Optimeringslära Clas Rydergren ITN Föreläsning Simplemetoden på tablåform och algebraisk form Fas I (startlösning) Känslighetsanalys Tolkning av utdata Agenda Halvtidsutvärdering Simplemetoden (kap..8)
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x
Läs merOlinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i
Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder
Läs merExaminator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 21 augusti 2012 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten
Läs mer1 Ickelinjär optimering under bivillkor
Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs merLösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07
Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 7 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 7 5B1817 2006/2007 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor
Läs merLösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015
Lösningar till tentan i SF86/5 Optimeringslära, 3 juni, 25 Uppgift.(a) Första delen: The network is illustrated in the following figure, where all the links are directed from left to right. 3 5 O------O
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,
Läs merTAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Läs merOptimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Metoder för problem utan bivillkor, forts.
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 5 Metoder för problem utan bivillkor, forts. A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 5 5B1817 2006/2007 Lösningar För en given metod blir en lösning den bästa
Läs merLösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, juni 7 Lösningarna är på svenska, utom lösningen av (a som är på engelska (a The considered network is illustrated in FIGURE below, where the supply at the
Läs merLP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter
LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?
Läs merLösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, 3 Juni, 6 Uppgift (a) We note that each column in the matrix A contains one + and one, while all the other elements in the column are zeros We also note that
Läs merSpeciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merLösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012
Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 6 Det duala problemet Relationer primal dual Optimalitetsvillkor Nätverksoptimering (introduktion) Agenda Motivering av det duala problemet (kap 6.)
Läs mer1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor
Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK49 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 7 Nätverksoptimering Billigaste uppspännande träd (MST) Billigaste väg (SP) Projektnätverk Minkostnadsflödesproblem Agenda Terminologi för grafer/nätverk
Läs merTAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST:
2015 TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: OSKQV953@STUDENT.LIU.SE Innehållsförteckning Allmänt... 2 Om optimering... 3 Matematiska formuleringar av optimeringsproblem... 3 Linjärprogrammering
Läs merTentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära
Läs merOptimeringslära för T (SF1861)
Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor.
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 2 Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor. A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 2 5B1817 2006/2007 Optimalitetsvillkor för ickelinjära programmeringsproblem
Läs merOptimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken.
Optimal = basta mojliga. Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och nna det basta mojliga. Anvands oftast till att nna ett basta handlingsalternativ i tekniska och ekonomiska beslutsproblem.
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merOptimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden?
Optimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden? Anders Peterson, Linköpings universitet Andreas Tapani, VTI med inspel från Sara Gestrelius, RIS-SIS n titt i KAJTs verktygslåda Agenda
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merLösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08
Lösningar till SF8 Optimeringslära för E, 6/ 8 Uppgift (a) Problemet är ett transportproblem, ett specialfall av minkostnadsflödesproblem Nätverket består av 7 st noder A,B,C,P,Q,R,S, alternativt kallade,,,7,
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren
Läs merLösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 4
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 4 2018-11-14 2 Kursmål: idag Studenten ska efter avslutad kurs kunna: Analysera och formulera optimeringsmodeller inom ekonomiska tillämpningsområden
Läs merEulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.
Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 2(8) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F2. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs merEXAMENSARBETEN I MATEMATIK
EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Heltalsoptimering av Mårten Knutsson 2007 - No 17 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 10691 STOCKHOLM Heltalsoptimering
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 2: Forts. introduktion till matematisk modellering
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 2: Forts. introduktion till matematisk modellering 2017-11-01 2 Dagordning Matematisk modellering, Linjära Problem (LP) Terminologi Målfunktion
Läs merFöreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.
Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 18 januari 2019 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 2-5-26 DAG: Lördag 26 maj 2 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
Läs merFöreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merTENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merTentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära
Tentamen TMA946/MAN80 tillämpad optimeringslära 01081 1. Uppgift: min z 3x 1 + x Då x 1 + x 6 x 1 + x x 1, x 0 Skriv på standardform m.h.aṡlackvariabler min z 3x 1 + x Då x 1 + x s 1 6 x 1 x + s x 1, x,
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 13 januari 2018 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merOptimering med bivillkor
Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: april 2018 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 11-12 Institutionen för matematik KTH 21-23 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs mer1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.
1(8) (5p) Uppgift 1 Företaget KONIA tillverkar mobiltelefoner I en stor fabrik med flera parallella produktionslinor. För att planera produktionen de kommande T veckorna har KONIA definierat följande icke-negativa
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta s Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2014-01-15 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: (Detta problem
Läs merModellering och optimering av schemaläggning vid en ridskola
Modellering och optimering av schemaläggning vid en ridskola En fallstudie i heltalsprogrammering Kandidatarbete inom civilingenjörsutbildningen vid Chalmers Rasmus Einarsson Patrik Johansson Oskar Redlund
Läs merz = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet
Bendersdekomposition Blandade heltalsproblem med ett stort antal kontinuerliga variabler och få heltalsvariabler. Mycket lättare att lösa om heltalsvariablerna fixeras. Bendersdekomposition (primal dekomposition)
Läs merEnvariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13
Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 1 november 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merLinjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)
Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merOptimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper
CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 0 augusti 201 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF
Läs merLP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs mer1. Vad är optimering?
. Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst, men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. För att kunna jämföra olika fall samt avgöra vad som är bäst måste man
Läs merVårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merTNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 18 december 2006 Tid: 14 18 Hjälpmedel: Ett A4-blad med egna anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: ; Vardera uppgift kan ge p. Poängkrav:
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: augusti 017 Tid: 8-1 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 1 p, betyg
Läs merOlinjärt med Whats Best!
Olinjärt med Whats Best! WhatsBest har ett flertal olika lösare. Har vi ett linjärt problem känner den igen det och använder sig normalt av simplexmetoden, har vi olinjära problem har den ett flertal metoder
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH VT 2018 1 Dagens program Extremvärdesproblem (största och minsta värde) kap 13.2 Extremvärdesproblem med bivillkor Lagranges multiplikatormetod kap 13.3 (+ev
Läs merDe optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera
Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T
Läs merNär det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.
Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 21 april 2017 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 19 april 2017 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merExempelsamling. Optimeringslära 1 januari 2013. TAOP07 Optimeringslära grundkurs för Y
Linköpings tekniska högskola Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Exempelsamling Optimeringslära 1 januari 2013 Exempelsamling TAOP07 Optimeringslära grundkurs för Y 1. Låt mängderna
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs mer