TNK049 Optimeringslära

Transkript

1 TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 1 Kursintroduktion Ämnesintroduktion Terminologi Tillämpningar

2 Agenda Vilka personer medverkar i kursen? Kursupplägg Lärobok Laborationer Återkoppling till föregående år Kursmål och översikt över kursinnehåll Optimering introduktion (Kap ) Exempel på problemtyper (Kap 1.4) Grundläggande begrepp (Kap 1.4) 2

3 Lärarpersoner i kursen Clas Rydergren, ITN, Spetsen, plan 8 Examinator, delat kursansvar, föreläsare Zhuangwei Liu, ITN, Spetsen, plan 5 Lektioner, delat kursansvar Sara Modarres Razavi, Spetsen, plan 6 Laborationer 3

4 Clas Rydergren Magisterexamen (MSc) i matematik, 1995 Doktor (PhD) i Optimeringslära, 2001 Började på ITN/LiU Norrköping, 2002 Forskning/undervisning Koordinerar KTS-programmet, och är ordförande i gruppen som programplanerar KTS, SL och FTL för IL-nämnden Håller kurser i Optimeringslära och trafikmodellering Har kört kurser liknande denna sedan 1996 (för I) Körde TNK041 Optimeringslära för KTS/ED TNK049 Optimeringslära har tidigare körts av Anders Peterson 4

5 Kursupplägg Föreläsningar: 10 st Lektioner: 10 st Laborationer, 4 st, uppdelade på: 2 st datorlaborationer 2 st miniprojekt Litteratur: Textbok: Lundgren m.fl., Optimeringslära (ca 466 kr) Övningsbok: Henningsson m.fl., Optimeringslära: övningsbok (ca 228 kr) Examination: TEN1: Skriftlig tentamen (4,5 hp): minst 10 av 21 poäng för godkänt. LAB1: Laborationer (1,5 hp): grupper om högst två studenter 5

6 Laborationer Laborationsmomentet (totalt ca 40 h) omfattar 1,5 hp, vilket ska motsvara en vecka (40 h). är uppdelat på 2 datorlektioner och 2 miniprojekt. Datorlaborationer (ca 10 h) övningar som genomförs i datorsal förväntas ta ca 5 h/styck, varav: 3 h är förväntad tid för förberedelse/efterarbete 2 h är schemalagd tid för genomförandet redovisas muntligen på plats för laborationsledaren (datorlektion 2) (Datorlab 1 har enbart en frivillig redovisning.) Miniprojekt (ca 30 h) förväntas ta ca 18 h (miniprojekt 1), respektive ca 12 h (miniprojekt 2). har endast 2 h schemalagd handledningstid (för varje projekt) redovisas med skriftliga rapporter (enligt projektanvisningarna) 6

7 Återkoppling till föregående år Medelbetyg från studenterna: 4.0 Föreläsare och lärobok fick då goda omdömen. Lektionsledare och laborationsassistenter lite varierande Informationsspridningen fungerade bra. Tidigare år kursplatsen/it s learning, i år istället vanligt webbsida Open book-tentamen kan upplevas som stressigt. Modellering upplevs som svårt. 7

8 Tentamensupplägg Textboken får användas på tentamen (Gamla upplagan.) Marginalnoteringar, överstrykningar och understrykningar är okej. Omfattande anteckningar/lösblad är ej tillåtet. Övningsboken är ej tillåten. 8

9 Informationsspridning På kurshemsidan kommer att finnas allmän kursinformation, inkl. undervisningsplan föreläsningsbilder. instruktioner för datorlektioner och miniprojekt. tentamina från de två senaste åren. (Bortse från uppgifter om heltal från 2011, typiskt 1 2 sista uppgifterna.) 9

10 Allmänna: Kursmål Ytterligare träning i matematisk formalism Ytterligare träning i analytiskt tänkande Ämnesspecifika: Kännedom om tillämpningar av optimeringsmetodik Känna igen optimeringsfrågeställningar Kännedom om principerna för formulering av optimeringsmodeller Kännedom om grundläggande optimeringsteori Kännedom om några viktiga metodprinciper Stifta bekantskap med typisk optimeringsprogramvara 10

11 Översikt över de 10 föreläsningarna 1. Kurs- och ämnesintroduktion (idag). 2. Modellering av linjära problem (LP). 3. Problemtyper. Konvexitet. Inledning till LP-metoder. 4. Grundläggande LP, med simplexmetoden. 5. Mer om simplexmetoden. Känslighetsanalys. 6. Dualitet. 7. Nätverksoptimering. 8. Min kostnads-flödesproblem (nätverkssimplex). 9. Icke-linjär optimering utan bivillkor. 10. Icke-linjär optimering med bivillkor. 11

12 Översikt över laborationsmomentet Datorlaborationerna: 1. Introduktion till AMPL (modelleringsspråk). 2. Simplexmetoden på tablåform (hembyggd Matlabbaserad programvara). Miniprojekten: 1. Modellering av ett större linjärprogrammeringsproblem (med AMPL). 2. Modellering av ett min kostnads-flödesproblem (hembyggd Java-baserad programvara). 12

13 Optimal bästa möjliga Optimeringslära matematik som syftar till att analysera och finna bästa möjliga. Används till att fatta bästa beslut bland olika alternativ i tekniska och ekonomiska problem. Optimeringslära är en gren av den tillämpade matematiken. 13

14 Exempel på användningsområden Effektiv varudistribution Ruttplanering av timmerlastbilar Schemaläggning av arbetsscheman Design av lastutrymme i bil Design av kretskort Frekvenstilldelning vid mobiltelefoni Styrning av trafiksignaler 14

15 Varför läsa optimeringslära? Optimeringsfrågeställningar dyker upp inom många skilda områden. Tillämpningar handlar ofta om att förbättra ting eller processer (snabbare, billigare, effektivare, resurssnålare etc), vilket blir allt viktigare i många sammanhang. Utgör ytterligare ett verktyg för att analysera tekniska problem (liksom t ex reglerteknik och statistik). Möjligheterna att använda optimeringsmetodik ökar tack vare IT (bättre data, snabbare beräkningar etc). Ger bra träning i att systematiskt och strukturerat analysera problemställningar. 15

16 Optimeringslära som akademiskt ämne Vetenskap inom tillämpad matematik, men förekommer också inom: Reglerteknik: styrning Datavetenskap: algoritm-utveckling Ekonomi: operationsanalys Logistik: försörjningskedjor Geografi: nätverksproblem (GIS) Trafikplanering: matematisk modellering 16

17 Optimeringsmetodik Data Verkligt problem Analys och modellformulering Matematisk modell Lös modellen Resultat Optimeringslära, logistik, fysik, ekonomi, etc. Kunskap Välj eller konstruera lämplig optimeringsmetod Ej OK! Tolkning och rimlighetsbedömning Kunskap Kunskap Användning, uppföljning och analys 17

18 Formulering av optimeringsmodeller Fråga: Vad i problemet kan varieras (påverkas, styras, beslutas etc)? Svaret ger modellens (besluts-) variabler, (decision) variables. Fråga: Vad är målsättningen och hur beror den av det som kan varieras? Svaret ger målfunktionen, the objective. Fråga: Vilka restriktioner begränsar valfriheten i det som kan varieras? Svaret ger bivillkoren, the constraints. Notera: Skilj noga på givna förutsättningar och storheter som kan påverkas/varieras. 18

19 Typer av optimeringsmodeller Vilka värden kan variablerna anta? Kontinuerliga värden ger kontinuerligt problem Endast förutbestämda värden ger diskret problem Båda dessa typer ger ett blandat problem Finns bivillkor? Saknas bivillkor fås ett obegränsat problem (unconstrained) Är målfunktion och bivillkorsfunktionerna linjära? Alla funktioner linjära ger linjärt problem Har variabler och/eller bivillkor någon speciell struktur? Till exempel en nätverksstruktur.

20 Varför skapa matematisk modell? Ett bra sätt att systematiskt strukturera och analysera ett verkligt problem. Konstruktionen av modellen leder till ökad kunskap om det verkliga problemet. En matematisk analys av modellen kan ge ökad kunskap om det verkliga problemet. Med modellen kan vi simulera verkligheten och hypotetiska scenarier, t ex experiment som inte låter sig göras i verkligheten pga. kostnad, tid eller risk. (Motiven gäller även andra former av modeller!)

21 Potentiella svårigheter med användning av optimeringsmetodik Avgränsning Vilka omständigheter måste beaktas vid modelleringen och vilka är irrelevanta eller försumbara? Validering Beskriver modellen tillräckligt väl de relevanta aspekterna i det verkliga problemet (i relation till modellens syfte)? Datainsamling Kan modellens parametrar skattas (med tillräcklig noggrannhet)? Lösbarhet Kan modellen behandlas numeriskt (med tillräcklig noggrannhet och på rimlig tid)?

22 Exempel på optimeringsmodell Ett påhittat företag tillverkar lapptäcken och -kuddar. För varje sålt täcke är vinsten 20 kr och för varje såld kudde 18 kr. Tillverkningen sker genom momenten tillklippning och sömnad. Ett täcke tar 10 minuter att klippa till, och 12 minuter att sy, medan en kudde tar 7 minuter att klippa till och 16 minuter att sy. Företaget har arbetskraft för att klara av 60 timmar tillklippning och 90 timmar sömnad. Hur ska företaget tillverka för att maximera sin vinst? Definiera: x 1 = antal tillverkade täcken x 2 = antal tillverkade kuddar

23 Matematisk modell x Tillklippning max f(x) = 20 x x 2 då 10 x x x x x 1, x Sömnad x 1 Matematisk modellering behandlas på Fö2, Le1, samt datorlektion 1 och miniprojekt 1.

24 Linjärt problem (linear problem) x 2 max f(x) = 2 x 1 + x 2 då 2 x x 2 9 x 2 2 x 1, x 2 0 x 1

25 Diskret problem (integer problem) x 2 max f(x) = 2 x 1 + x 2 då 2 x x 2 9 x 2 2 x 1, x 2 0, heltal Denna modelltyp behandlas ej i denna kurs! Återkommer i TNK047 Optimering och systemanalys. x 1

26 Icke-linjärt problem (non-linear problem) x 2 max f(x) = sin(2x 1 ) + sin(x 2 ) + x 1 + x 2 då 2 x x 2 9 x 2 2 x 1, x 2 0 x 1

27 Optimeringsproblem: Grundläggande begrepp min f(x) då x X eller max f(x) då x X I engelsk litteratur skriver man subject to, förkortat s.t. Terminologi: x = variabler (variables) X = mängden tillåtna lösningar (set of feasible solutions) f( ) = målfunktion (objective (function)) f(x) = målfunktionsvärde i x (objective value at x) x* = optimallösning (optimal solution) f(x*) = optimalt (minimalt/maximalt) målfunktionsvärde; skrivs ofta f* (optimal (minimum/maximum) objective value) x*, f(x*) = ett optimum (minimum/maximum) (an optimum)

28 Typer av lösningar min f(x) då x X Om X =, saknas lösning till problemet (problem is infeasible). Om f på X, har problemet obegränsad lösning (unbounded solution) och f* =. Om det finns x (1), x (2) X, där x (1) x (2), sådana att f(x (1) ) = f(x (2) ) = f*, har problemet alternativa optima (alternative optima). Om f(x*) < f(x) för alla x X, sådana att x x*, har problemet unikt optimum (unique optimum) (i x*).

29 Vad händer härnäst i kursen? Föreläsning 2 handlar om modellering (av LP-problem) Många upplever detta som ett svårt (det svåraste?) kursmomentet, samtidigt är det också det viktigaste kursmomentet, det som ligger närmast verkligheten. Läs gärna igenom kapitel 3 i förväg. Modellering återkommer sedan på Le1, datorlab 1 och miniprojekt 1. Laborationsmomentet (datorlab och miniprojekt) Anmälningslistor för laborationsmomentet. Instruktionerna för datorlektion 1 finns på kurshemsidan. Det går bra att börja direkt efter föreläsning 2. Programvaran är lätt att ladda ner och installera på den egna datorn. Kurshemsida: 29

30