TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS

Transkript

1 TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 22 maj 2012 Tid: 8 12, TP56 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p. Poängkrav: För godkänt krävs 12p, betyg 4 kräver 16p, och betyg 5, 21p. Examinator: Clas Rydergren Jourhavande lärare: Clas Rydergren, Salsbesök c:a 9:30. Resultat anslås senast: 5 juni Tentan kan hämtas ut hos Åsa Dahl, plan 6 hus Täppan. Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.

2 TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 1 Uppgift 1 Företaget F tillverkar grillkorv i sina tre fabriker (1, 2 och 3), som först transporteras till fyra distributionscentraler (A, B, C och D). Fabrikernas tillverkningskapacitet är 2000kg, 1200kg och 1600kg för respektive fabrik, per vecka, och de fyra distributionscentralerna kräver minst 600kg, 1000kg, 800kg och 1500kg per vecka. Nettovinsten (i kr per kg) beror på i vilken fabrik varan produceras och till vilken distributionscentral den levereras, enligt tabellen nedan. Distributionscentral Fabrik A B C D Företaget har formulerat följande mål för att ta tillvara på sina intressen: z 1 : Maximera nettovinsten. z 2 : Minimera leveransen från fabrik 1 till distributionscentral C. z 3 : Maximera totala leveranserna från fabrikerna 1 och 2 till distributionscentralerna A och B. a) Formulera flermåloptimeringsproblemet för företaget. b) Företaget vill skapa en mer robust produktion genom att maximera den minsta skillnaden mellan produktionen och tillverkningskapaciteten i varje fabrik. Hur kan modellen modifieras för att hantera detta? c) Flermåloptimeringsproblem kan lösas t.ex. med bivillkorsmetoden. Lös nedanstående problem med bivillkorsmetoden, där z 1 behålls som målfunktion och z 2 och z 3 görs om till bivillkor med parametrarna k 2 = 10 och k 3 = 8. minz 1 = 3x 1 + 2x 2 maxz 2 = 2x 1 + 5x 2 minz 3 = x 1 x 2 x 1 + x 2 20 x 2 10 x 1,x 2 0. Uppgift 2 Person X planerar att köpa en begagnad bil via Internet. X har bestämt sig för en specifik typ och årsmodell. För att förenkla beslutet lite så betraktar hon endast inköpspriset vid köpet, och vill göra ett så billigt köp som möjligt. På en Internetsajt finns just nu bil av denna typ till salu för

3 TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 2 Då X tror att säljaren är osäker på värdet så uppskattar X att denna bil kan köpas för om en månad. Men det finns också en risk att den då redan är såld. X uppskattar den risken till sannolikhet 0.3. Om bilen finns kvar till salu om en månad, så tror X att den också kan finnas kvar efter två månader. Sannolikheten att den finns kvar efter två månader, givet att den gjorde så efter en ger X sannolikhet 0.6, och tror att priset då gått ned till Om denna bil inte finns kvar till salu efter första månaden så uppskattar X att det med sannolikhet 0.2 dyker upp ett identiskt alternativ som kan köpas för Om inget sådant alternativ dyker upp så får X köpa en likvärdig bil i den lokala bilaffären för Detta alternativ finns alltid. a) Rita upp situationen i ett beslutsträd och bestäm optimal strategi för X. Beskriv din tolkning av texten motivera utseendet på beslutsträdet. b) Vad är sannolikheten att X köper en bil för från bilaffären? Uppgift 3 Företaget I har lagt ett anbud på ett uppdrag att skapa en projektplanen för ett stort infrastrukturprojekt. Som en del i arbetet vill I använda sig av en programvara för en simulering vilken är kostsam. Programvaran kan endera hyras under ett år eller köpas. Då programvaran kräver viss träning så måste beslutet om hyr eller köp göras innan I vet om de får uppdraget eller inte. Om I köper programvaran gör man en nettovinst om kr om de erbjuds uppdraget, men en nettoförlust om kr om de inte får uppdraget. Om företaget I istället hyr programvarangör manen nettovinst om50 000kr omde fåruppdraget, och en förlust på 5 000kr om de inte får uppdraget. Företaget bedömer att sannolikheten att de får uppdraget till Företaget värderar vinster och försluster enligt nyttofunktionen u(x) = x+35000, där x är uttryckt i kronor. a) Använd ett beslutsträd till att bestämma optimal strategi, då den förväntade nyttan ska maximeras. b) Vilken sannolikhet för få uppdraget skulle göra företaget indifferent mellan att köpa eller hyra? c) Vilken nettovinst av ett köp-beslut och erbjudande om att ta uppdraget skulle göra företaget indifferent mellan köpa eller hyra? d) Vad är säkerhetsekvivalenten och vad är riskpremien för beslutet hyr? Motivera huruvida företaget är riskvilligt eller riskovilligt.

4 TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 3 Uppgift 4 Betrakta fingerleken tvåfingers Morra. I leken finns två spelare; kalla de två Jämn respektive Udda. Var och en av de två spelarna visar ett eller två fingrar, och sedan är spelet slut. Spelet är ett två-spelar-nollsummespel. Vinsten för spelare Jämn finns i matrisen nedan, vilket alltså blir förlusten för spelare Udda. Spelare Jämn är radspelaren. Udda Ett Två Ett 2 3 Jämn Två 3 4 a) Antag att spelare Jämn visar först, och Udda efter att ha sett antalet fingrar från Jämn. Rita upp trädet för denna situation, dvs beskriv spelet i extensiv form. Bestäm optimala strategi och utfall för respektive spelare. b) Antag att spelare Udda visar först, och Jämn efter att ha sett antalet fingrar från Udda. Rita upp trädet för denna situation, dvs beskriv spelet i extensiv form. Bestäm optimala strategi och utfall för respektive spelare. c) Antag nu att spelarna gör sina drag samtidigt. Bestäm optimal blandad strategi för Jämn respektive Udda. Bestäm värdet på spelet. Hur förhåller sig värdet på spelet till utfallen i deluppgift a) respektive deluppgift b)? Uppgift 5 Givet följande formulering av ett maximal covering location -problem (MCLP): maxz = i I c i y i y i j N i x j, i I, (1) x j = p, (2) j J y i {0,1}, i I, x j {0,1}, j J, där I = {0,1,...,m} är mängden av efterfrågeområden; J = {0,1,...,n} är mängden av potentiella placeringsplatser; N i = {j J d ij S} är mängden av placeringsplatser som är inom ett kritiskt avstånd S från i; d ij är kortaste avstånd mellan i och j; c i antas beskriva befolkningsmängden i område i; p är antalet placeringar som ska göras och x j respektive y i är beslutsvariabler. Variablerna y i beskriver om område i anses täckt eller inte. Med x j = 1 måste en anläggning placeras på plats j, annars inte.

5 TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 4 Detta problem kan lösas med Lagrangedualitet och en Lagrangeheuristik, där flera alternativa formuleringar kan användas. a) Antag att Lagrangefunktionen formuleras så att den innehåller ursprungliga målfunktionen samt villkorsgrupp (1). Formulera det Lagrangeduala problemet och identifiera Lagrangesubproblemet. b) Antag att Lagrangefunktionen formuleras så att den innehåller ursprungliga målfunktionen samt villkor (2). Formulera det Lagrangeduala problemet och identifiera Lagrangesubproblemet. c) Analysera Lagrangesubproblemen i deluppgift a) respektive deluppgift b). Hur kan respektive Lagrangesubproblem lösas? Vilket av Lagrangesubproblemen är det enklast att utforma en algoritm som löser?