MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Transkript

1 Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Datum:... Onsdag 11/ kl Plats:... MA:10 H-J Antal uppgifter:... 6 Poäng: Namn:... Personnummer:... Sektion och åk:... Kontrollera att Du fått rätt skrivning! Skrivningen består av 5 sidor (exklusive försättsblad och formelsamling). Kontrollera att du fått samtliga sidor! Betygsgränser: Betyg p Betyg p Betyg p Alla lösningar skall vara väl motiverade. Varje uppgift ska skrivas på separat papper. Skriv namn och årskurs överst på varje papper. Uppgifterna är inte anordnade efter svårighetsgrad. Tillåtna hjälpmedel: Ej förprogrammerad miniräknare, utdelad formelsamling LYCKA TILL! Resultat anslås:... Senast Tisdag 24/ i M-husets entré, norra delen Kl Onsdag 25:e mars 2007 i M:3145 Tentamensvisning:... Eventuella klagomål på rättningen skall lämnas in skriftligen i anslutning till visningen. Skrivningen delas ut 30 dagar efter visningen. Inga synpunkter beaktas efter att skrivningen delats ut.

2 Uppgift 1 (10p) Betrakta problemet Max z = 5x 1 + 6x 2 Då 2x 1 + 3x 2 18 (1) a 21 x 1 + a 22 x 2 12 (2) x 1 + x 2 8 (3) x 1, x 2 0 Problemet har lösts med simplexmetoden. Slackvariablerna s 1, s 2 och s 3 har införts i bivillkoren och optimaltablån har följande utseende: Basvar. X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 b Z 0 0 7/4 3/4 0 81/2 X /2-1/2 0 3 X /4 3/4 0 9/2 S /4-1/4 1 1/2 OBS! Uppgifterna a) - d) löses oberoende av varandra! a) För vilka värden på målfunktionskoefficienten till variabeln x 1 är den optimala baslösningen oförändrad? (3p) b) Vilket är skuggpriset för bivillkor (2) och för vilka värden på högerledet till bivillkor (2) är detta skuggpris giltigt.(2p) c) En ny variabel x 3 med målfunktionskoefficient c 3 och bivillkorskolumn a 3 införs. Kommer detta att förändra den nuvarande optimallösningen? I så fall hur? (2p) c 3 =1, a 3 1 = 1 3 d) Ett nytt bivillkor 2x 1-2x 2 2, läggs till problemet. Vad blir den nya optimallösningen? Använd duala simplexmetoden för eventuell reoptimering. (3p) 1

3 Uppgift 2 (10p) Betrakta följande LP-problem (P) Max z = 2x 1 + x 2 + x 3 då 2x 1 + 3x 2 - x 3 9 2x 2 + x 3 4 x 1 + x 3 = 6 x 1, x 2, x 3 0 a) Formulera Fas 1 problemet för bestämning av en initial startbaslösning. (3p) b) Bestäm optimallösningen till problemet genom att använda Fas 2 metoden. (5p) c) Är den funna optimallösningen unik? Motivera! (2p) 2

4 Uppgift 3 (10p) Betrakta följande LP-problem: (P) Max z = 4x 2 + 3x 3 + 2x 4 8x 5 då 3x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 1x 4 = 3 (1) 1x 1 1x 2 + 1x 4 1x 5 2 (2) x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 a) Formulera LP-dualen till (P) och lös det duala problemet grafiskt. (4p) b) Använd lösningen till det duala problemet för att bestämma optimallösningen till problemet (P). Både målfunktionsvärde och värdena på samtliga primalvariabler, skall anges. (Ledning: använd komplementaritetsvillkoren) (4p) c) Vilket är skuggpriset för biv. (2) i (P) ovan och för vilka värden på högerledskoefficienten i (2) är detta fortfarande giltigt? (2p) 3

5 Uppgift 4 (10p) Blomstra AB är ett litet företag som tillverkar och säljer blomsterarrangemang gjorda av egentillverkade pappersblommor. Företaget köper in pappersark 1 m 2 stora och skär sedan ut blommor ur dessa ark enligt tre olika mönster. Mönster 1 ger 70 rosor och 20 nejlikor, Mönster 2 ger 60 rosor och 50 nejlikor, och Mönster 3 ger 23 rosor och 97 nejlikor. Det finns ingen möjlighet att lagerhålla färdigskurna blommor från en period till nästa varför ev. överblivna blommor, som ej inkluderats i något arrangemang och sålts, kasseras. Blomstra AB har begränsat sitt sortiment till att omfatta 2 olika blomsterarrangemang: Arrangemang A1 som kräver 8 rosor och 4 nejlikor samt Arrangemang A2 som omfattar 3 rosor och 12 nejlikor. A1 säljs för 250 kr/st och A2 inbringar ett pris på 350 kr/st. Inför den kommande perioden finns 50 m 2 papper i lager och maximalt kan ytterliggare 900 m 2 köpas in. Inköpskostnaden för pappersarken är i dagsläget 100 kr/m 2. Orsaken till den begränsade tillgången är att den exklusiva kinesiska leverantören har haft produktionsstörningar. Med anledning av den osäkra tillgången på papper har Blomstra bestämt att man bör ha minst 100 m 2 papper i lager inför nästa produktionsperiod. Maximalt kan 200 m 2 papper lagerhållas och lagerhållningskostnaden från en period till nästa är 5 kr/m 2 vilket beräknas på det utgående lagret och kostnaden tillskrivs den aktuella perioden. Det finns dessutom en begränsning i skärkapacitet. Ett ark av Mönster 1 tar 0.2 timmar att producera, ett ark av Mönster 2 tar 0.5 timmar att skära och Mönster 3 tar 0.7 timmar att skära ut. Maximal skärkapacitet för den kommande perioden är 200 timmar. Den rörliga kostnaden för skärmaskinen inklusive operatör är 100 kr/timme. Blomstra har också en möjlighet att köpa in extra skärkapacitet från en intilliggande fabrikant till en kostnad av 120 kr/timme. Maximalt kan 100 extra timmar inköpas. Inför den kommande perioden finns också några tidigare försäljningsåtaganden som måste infrias. Minst 40 blomsterarrangemang av typen A1 måste tillverkas för att levereras till en stamkund. Samtidigt har Blomstra bestämt att maximalt tillverka 200 st A1. Blomstra har också tagit ett policybeslut om att max 40% av det totala antalet blomsterarrangemang producerade under perioden får vara av typen A1. Eftersom Blomstras produkter är mycket efterfrågade kan vi anta att alla blomsterarrangemang som görs också kan säljas i samma period som de produceras. a) Formulera Blomstra ABs produktionsplaneringsproblem som ett LP-problem där målsättningen är att maximera det totala täckningsbidraget. Blomstra AB planerar i framtiden att bygga ut modellen till att omfatta flera perioder. För full poäng krävs därför att formuleringen skall vara enkel att anpassa till ett sådant scenario. Det kommer dock aldrig att bli aktuellt att lagerhålla färdigskurna blommor eller färdiga blomsterarrangemang från en period till nästa.(7p) b) Det visar sig vid närmare granskning att det finns en uppsättningskostnad samt en uppsättningstid förknippad med skärning enligt ett visst mönster. För att skära enligt Mönster 1 krävs en uppsättningstid på 8 h och en uppsättningskostnad på 1500 kr, för Mönster 2 är uppsättningstiden 10 h och uppsättningskostnaden 1600 kr och för Mönster 3 gäller en uppsättningstid på 12 h och en uppsättningskostnad på 2000 kr. Dessutom har Blomstra AB bestämt att maximalt 2 olika mönstertyper får användas under den aktuella perioden. Definiera nya variabler och ange hur modellen i a) måste modifieras för att beakta dessa nya hänsynstaganden. (3p) 4

6 Uppgift 5 (10p) I en arbetsstation finns det plats för tre stycken väntande jobb förutom det jobb som bearbetas i arbetsstationen. Jobb som anländer till arbetsstationen då denna är fullbelagd, dirigeras till en annan arbetsstation. Jobb anländer till arbetsstationen enligt en Poisson-process med medelvärde 8 jobb per dag. Arbetsstationens processtid (tiden det tar att bearbeta ett jobb) är exponentialfördelad med medelvärde 8 timmar. a) Konstruera ett tillståndsdiagram för det kösystem som uppkommer. (1p) b) Tag fram de stationära tillståndssannolikheterna för antal jobb i systemet. (5p) c) Beräkna andel tid som arbetsstationen inte spärrar nya jobb p.g.a. att arbetsstationen för fullbelagd. (1p) d) Beräkna medelantal jobb i arbetsstationen, samt medeltiden ett jobb tillbringar i arbetsstationen. (3p) Uppgift 6 (10p) Ett företag har ett reservdelslager med plats för maximalt fyra enheter av artikeln Alpha. Företagets beställningsregel är att beställa exakt tre stycken Alpha-artiklar då det endast finns en styck kvar i reservdelslagret. Kunder som vill köpa en Alpha-artikel antas anlända som en Poisson-process med intensitet λ per dag. Antag för enkelhets skull att tiden tills en beställning kommer in är exponentialfördelad med medelvärde 1 / μ dagar. De kunder som anländer då lagret är tomt går förlorade. a) Definiera lämpliga tillstånd och tag fram de stationära sannolikheterna för antal artiklar (Alpha) i lager. (6p) b) Antag att λ = 2 och μ = 1. Lagerhållningskostnaden per enhet och dag är 100 kr, och kostanden för varje förlorad kund beräknas vara 500 kr. Beräkna den förväntade totalkostnaden (d.v.s. förväntad lagerhållningskostnad plus förväntad förlorad kund - kostnad). (4p) 5