TENTAMEN Tillämpad Systemanalys 5hp

Transkript

1 Tentamenskod (6 siffror) (alt. namn och personnummer) Utbildningsprogram Termin och år då du först registrerades på kursen Bordsnummer Klockslag för inlämning TENTAMEN Tillämpad Systemanalys 5hp Tid: , OBS: kort skrivtid! Plats: Polacksbacken, Skrivsal. Ansvarig lärare: Kjartan Halvorsen, tel Håkan Lanshammar kommer och svarar på frågor ungefär kl Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och matematisk formelsamling (Mathematics handbook, BETA, TEFYMA, Formel och tabellsamling i sannolikhet och statistik, samt Physics handbook). Preliminära betygsgränser: :[0, 8[, :[8, 5[, 5:[5, 60 = maxpoäng (med bonuspoäng)] Uppgift Max poäng Erhållna poäng Skrivningspoäng 50 Bonuspoäng 10 Totalt 60 Betyg OBS: För in dina lösningar i detta häfte på angiven plats! Vissa deluppgifter kräver lösning på eget ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade. Lycka till!

2 2

3 Uppgift 1 Ett fraktflygplan har tre avskilda lastutrymmen: fram, mitt och bak. Utrymmen har en lastkapacitet enligt tabellen nedanför. Utrymme Viktkapacitet (ton,t) Volumkapacitet (m ) fram mitt bak För att flygplanets tyngdpunkt ska hamna rätt, så måste fördelningen av den totala lastens vikt vara den samma som fördelningen av viktkapaciteten. Med andra ord, så måste förhållandet mellan lastens vikt och viktkapaciteten i varje lastutrymme vara den samma. Följande fyra produkter finns tillgängliga att transportera: Produkt Vikt (t) Volum (m /t) Profit (SEK/t) Flygplanet kan lasta vilken andel som helst av den tillgängliga mängden av de fyra olika produkterna. Målet är att lasta flygplanet på ett sett som maximerar profiten från det fraktade godset. (a) Formulera problemet ovan som ett linjärprogrammeringsproblem. (8p) Svar: 1

4 (b) Lös följande problem med Simplexmetoden (p) maximera f = x 1 8x 2 under bivillkoren x 1 2x 2 10 x 1 0, x 2 0. Svar: 2

5 Uppgift 2 Betrakta vägnätet avbildat i figur 1, där noderna är städer och där körtiden mellan städerna är angivet. En bilist ska ta sig från A till H längs den vägen som ger kortast total körtid. 2 B 6 7 E A C 2 F H D 5 G Figur 1: Ett vägnät. Hitta kortaste vägen från A till H. (a) Hitta den kortaste vägen genom att lösa problemet med dynamisk programmering (lösning genom att kolla alla möjliga vägar ger inga poäng). Lämna in lösning på eget ark. (8p) (b) Antag att vägarbete mellan A och C gör att körtiden på denna sträckan ökar till 6. Vilken väg blir nu optimal? Motivera! (2p) Svar och motivering:

6 Uppgift Med vissa antaganden och förenklingar kan dynamiken i effekten (P ) och förstärkningsfaktorn (g) för en laser beskrivas med följande modell där dp dt = g f P T R (1) dg dt = g g s τ g gp, E sat (2) f är förlusterna i resonatorn, T R är tiden för en rundtripp i resonatorn, g s är förstärkningsfaktorn för små signaler, τ g är en tidskonstant för förstärkningsfaktorn, och E sat är mättnadsenergin i lasermediet. Alla parametrar är positiva. dp/dt =0 dg/dt =0 g s g f 0 0 E sat /τ g (g s /f 1) P Figur 2: Nollisokliner för laser-modellen och en simulerad lösning. (a) Figur 2 visar nollisoklinerna för modellen, samt en simulerad lösning. Rita in pilar i figuren som visar vilken riktning vektorfältet definierad av

7 ekvationerna (1) och (2) har för några valfria punkter på nollisoklinerna. (p) (b) Är jämviktspunkten på g-axeln (g = g s ) stabil? Motivera utifrån din skiss i (a). (p) Svar: (c) Är den andra jämviktspunkten stabil? Motivera utifrån figur 2 och din skiss i (a). (2p) Svar: (d) Gör en grafisk modell av systemet i (1) och (2) med antingen Powersimsymboler eller Simulinkblock. (8p) 5

8 Uppgift En drop-in frisörsalong har fem stolar som betjänas av var sin frisör. Alla frisörerna kan ta hand om kvinnliga kunder, men endast tre av frisörerna tar manliga kunder. Kunderna ankommer enligt en stokastisk process, och 60% av kunderna är kvinnor. Tiden det tar att betjäna en kvinnlig kund, T k, och tiden det tar att klippa en manlig kund T m är båda slumpvariablar med olika sannolikhetsfördelningar. (a) Gör flödesscheman för kund- och betjäningsprocesserna i det beskrivna kösystemet. Flödesscheman ska kunna användas för pseudo-parallell simulering av systemet. (8p) (b) Ge tre förslag på rimliga utvidgningar av modellen som gör den mer realistisk. (p) Svar: 6

9 Lösningar Uppgift 1 (a) Låt beslutsvariablarna vara x = [ ] T x f1 x f2 x f x f x m1 x m2 x m x m x b1 x b2 x b x b där x ni anger antal ton lastade av produkt i i lastutrumme n (fram, mitt eller bak). Kriteriefunktionen blir där f = c T x, c T = [ ]. Det finns ett antal bivillkor att ta hänsyn till. Viktkapaciteten: x f1 + x f2 + x f + x f 12 x m1 + x m2 + x m + x m 18 x b1 + x b2 + x b + x b 10. Volumkapaciteten: 1x f1 + 20x f2 + 17x f + 11x f 200 1x m1 + 20x m2 + 17x m + 11x m 250 1x b1 + 20x b2 + 17x b + 11x b 10. Begränsad tillgång på gods att transportera: x f1 + x m1 + x b1 20 x f2 + x m2 + x b2 16 x f + x m + x b 25 x f + x m + x b 1 Balancerad vikt: 1 ( ) 1 xf1 + x f2 + x f + x f Endast positiva laster: ( xf1 + x f2 + x f + x f ) 1 10 ( xm1 + x m2 + x m + x m ) = 0 ( xb1 + x b2 + x b + x b ) = 0 x ni > 0, n {f, m, b}, i {1, 2,, } 1

10 (b) Simplextablå med slackvariablen s 1. Markerad cell motsvarar den variabel som ger mest i kriteriefunktionen, och alltså ska in i basen, och den nuvarande basvariabel som först blir noll när den nya basvariablen introduceras. Svar: f max = 0, då x 1 = 10, x 2 = 0. Bas f x 1 x 2 s 1 hl f s f x Uppgift 2 (a) Problemet löses med dynamisk programmering. Bilisten ska välja sin rutt i tre steg. Det sista steget är trivialt: Oavsett vilket tillstånd (=stad) bilisten befinner sig i (E, F, G), så är optimalt (enda möjliga) val att åka till H. I steget innan fås följande tablå: Steg 1, slutligen, blir s f x E H F H G H f 2 (s 2, x 2 ) = p(x 2, s 2 ) + f (x 2 ) s 2 x 2 = E F G f2 (s 2 ) x 2 B 7+=10 +=8 6+=9 8 E C +=6 2+=6 +=7 6 E, F D +=8 5+=8 8 F, G f 1 (s 1, x 1 ) = p(s 1, x 1 ) + f 2 (x 1 ) s 1 x 1 = B C D f 1 (s 1 ) x 1 A 2+8=10 +6=10 +8=11 10 B, C Det finns alltså ett antal vägar som alla har samma körtid (10): A-B-E, eller A-C-E, eller A-C-F. (b) Uppdatera sista tablån: f 1 (s 1, x 1 ) = p(s 1, x 1 ) + f 2 (x 1 ) s 1 x 1 = B C D f 1 (s 1 ) x 1 A 2+8=10 6+6=12 +8=11 10 B Det finns nu alltså endast en rutt som är optimal: A-B-E. 2

11 Uppgift Saknas Uppgift (a) Kund Start Frisör A In i kö Start Kvinna? (p=0.6) Ledig frisör typ K? Ta frisör ur FK. Aktivera Ta kund ur kö. Kund i kö? Kund kvinna? Ledig frisör typ A? Ta frisör ur FA. Aktivera Ledig frisör typ A Ta frisör ur FA. Aktivera Vänta Tm Aktivera kund Vänta Tk In i lista FA Passivera Passivera Frisör K Start Slut Aktivera kund Vänta Tk Ta kund ur kö Kvinnlig kund i kö? In i lista FK Passivera (b)