TENTAMEN Tillämpad Systemanalys 5hp

Transkript

1 TETAME Tillämpad Systemanalys 5hp Tid: , OBS: kort skrivtid! Plats: Bergsbrunnagatan 15, Sal 1. Ansvarig lärare: Håkan Lanshammar,. Håkan kommer och svarar på frågor ungefär kl Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och matematisk formelsamling (Mathematics handbook, BETA, TEFYMA, Formel och tabellsamling i sannolikhet och statistik, samt Physics handbook). Preliminära betygsgränser: 3:[30, 38[, 4:[38, 45[, 5:[45, 60 = maxpoäng] Uppgift Max poäng Skrivningspoäng 50 Bonuspoäng 10 Totalt 60 OBS: Skriv dina lösningar på separata ark för varje uppgift! Lösningarna ska vara tydliga (de kommer scannas in) och vara väl motiverade. Glöm inte att skriva din tentamenskod på varje blad. God jul och gott nytt år!

2 2

3 Uppgift 1 (a) amnge och beskriv kortfattat stegen i det systemanalytiska projektet. (6p) (b) Förklara kort varför känslighetsanalys av resultaten är viktiga vid systemanalytiska studier! (4p) (c) nutpunkterna i ett beslutsträd kan bestå av två olika saker. Vilka då? Ange också vad det är som ska optimeras om man är en rationell beslutsfattare! (2p) 1

4 Uppgift 2 (a) Vi har problemet: maximimera f = 3x 1 8x 2 då x 1 2x 2 10 x 1, x 2 0 Formulera problemet på normalform och lös det med Simplexmetoden (andra lösningsmetoder godkännes inte!) (3p) (b) Transportstyrelsen har 3 miljarder kr till sitt förfogande för att investera i 3 infrastrukturprojekt. Styrelsen ska nu fatta beslut om hur många (om några) miljarder man ska investera i var och en av projekten för att få så god effekt som möjligt. Antalet miljarder till varje projekt måste vara heltal. Projekten syftar till att förkorta resvägarna och på så sätt bidra till att minska koldioxidutsläppen. Det mått man använder på effektiviteten är förväntad minskning av koldioxidutsläpp (miljarder ton/år). Tabellen nedan ger en uppskattad minskning av koldioxidutsläppen för varje land och för varje möjligt antal miljarder som investeras i landet ifråga. Frågan är nu vilken fördelning av miljarderna mellan projekten som ger maximal effekt. Minskning av koldioxidutsläpp (miliarder ton per år) Land Antal investerade Miljarder kr Lös problemet med dynamisk programmering! Observera att rätt svar i sig inte ger några poäng, utan du måste tydligt visa hur du använder dynamisk programmering vid lösningen. (8p) 2

5 Uppgift 3 Ett fiskebestånd i ordsjön begränsas av miljöns bärkapacitet, uttryckt i parametern : den största populationsstorleken som miljön kan bibehålla. Populationens storlek beskrivs med variabeln. Populationen har en tillväxtrate r (tillväxt per år per individ i populationen) som beror på populationens storlek och kan beskrivas med följande graf r 0 r Betrakta nu en flotta med M stycken stora fisktrålare. Varje trålare tar upp en viss mängd fisk C per tidsenhet. Denna mängd beror på storleken på fiskbeståndet enligt grafen nedanför C a 1 (a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver populationen. (3p) (b) Rita en grafisk modell av systemet med powersim- eller simulinksymboler. (6p) (c) Visa att modellen har två jämviktspunkter: = 0, samt = (1 am ). r o (3p) (d) Diskutera kort påverkan av de olika parametrerna på jämviktsläget med hänvisning till det verkliga systemet. (2p) 3

6 Uppgift 4 Utanför terminal 2 på Arlanda finns ett taxistånd där taxibilar väntar på ankommande resenärer. Anta att dessa resenärer ankommer till taxiståndet enligt en poissonprocess. Ankomsten av taxibilar till ståndet beskrivs också denna med en poissonprocess. Om taxiståndet är tomt, så får resenärerna vänta i kö, och omhändertas i turordning (först-in-först-ut). På samma sätt så tas också taxibilarna i anspråk i turordning. (a) Gör flödesscheman för generatorprocesserna, samt resenär- respektive taxibilprocesserna i det beskrivna kösystemet. Flödesscheman ska kunna användas för pseudo-parallell simulering av systemet. Rita tydligt! (8p) (b) För att kunna utlåta sig om utfallet av en simuleringsstudie, så måste ett flertal simuleringer göras. Varför är detta viktigt? (2p) (c) Ge tre förslag på rimliga utvidgningar av modellen som gör den mer realistisk. (3p) 4

7 Lösningar Uppgift 1 Se kompendiet. Uppgift 2 (a) ormalform: då där x 3 är en slackvariabel. Lösning med Simplexmetoden: Bas f x 1 x 2 x 3 hl f x f x Svar: f max = 30, då x 1 = 10, x 2 = 0. maximimera f = 3x 1 8x 2 x 1 2x 2 + x 3 = 10 x 1, x 2, x 3 0, (b) Problemet ska lösas med dynamisk programmering. Man får följande tablå för sista steget (steg 3): s 3 f3 x För steg 2 (projekt 2) får man tablån: f 2 (s 2, x 2 ) = p(x 2, s 2 ) + f3 (s 2 x 2 ) s 2 x 2 = f2 (s 2 ) x = = = = = , = = = = Steg 1, slutligen blir f 1 (s 1, x 1 ) = p(x 1, s 1 ) + f 2 (s 1 x 1 ) s 1 x 1 = f 1 (s 1 ) x = = = =

8 Den optimala lösningen ger alltså en minskad koldioxidutsläpp på 120 miljarder ton, och motsvarar att 2 miljarder går till projekt 1 och 0 miljard till projekt 2 och 1 miljard till projekt 3. Uppgift 3 (a) Utan fiske så beskrivs populationen med logistisk tillväxt: ( Ṅ = r o 1 ) Mängden som fiskas per tidsenhet är lika med am, så ekvation som efterfrågas är ( Ṅ = r o 1 ) am (b) Powersim-diagram: r 0 1 a M 1 Simulink-diagram:

9 a M Ṅ 1 s 1 1 r 0 (c) Jämviktspunkterna fås genom att sätta Ṅ = 0 ( ( ) ) 0 = r 0 1 am Vilket ger den triviala lösningen = 0 samt = (1 am ). r 0 (d) Uttrycket för jämviktespunkten säger oss att ju större bärkapaciteten är, desto större är populationen i jämvikt. Det är logiskt. Populationen kommer inte upp i denna storleken, utan minskas genom inverkan av fisket. Ju snabbare fisken tas upp, am, desto mindre population vid jämvikt. Ju större populationens maximala tillväxtrate, r 0 är, desto närmare är jämviktspopulationen.

10 Uppgift 4 (a) Generatorprocesserna är identiska, så endast en återges här: Resenärgenerator Start Slumpa fram T r Exponential(λ r ) Vänta T r Skapa och aktivera ny Resenärprocess Det behövs två köer i systemet: En för resenärer och en för taxibilar. Processerna för resenär respektive taxibil är nästan spegelbilder av varandra:

11 Resenärprocess Taxiprocess Start Start In i Resenärkö In i Taxikö Ledig taxi i kö? Ja Ta första taxin ur Taxikö Aktivera taxi Aktivera resenär Ta första resenär ur Resenärkö Ja Väntande resenär i kö? ej ej Passivera Passivera Slut Slut (b) Utfallet av en enstaka simulering är slumpvariabler med (i regel) okänd fördelning. För att kunna säga något intressant om variablerna krävs upprepade simuleringar för att kunna skatta t.ex medelvärde och varians. (c) Här är några exempel på rimliga utvigningar av modellen: Ankomstfrekvenserna beror på tiden på dygnet. Taxibil tillkallas om ingen finns på plats. Resenärerna delar taxi, vilket kan beskrivas med en diskret sannolikhetsfördelning över {1, 2, 3, 4}. Resenärer har preferenser för olika taxibolag. En taxibil åker iväg utan att ställa sig i kö om det är många taxibilar före.