Fysikens matematiska metoder hösten 2006

Transkript

1 Teoretisk Fysik KTH Fysikens matematiska metoder hösten 2006 Ämnesbeskrivning 5A1305 Nästan samtliga modeller av verkliga fysikaliska problem ger upphov till differentialekvationer med derivator av flera variabler, s.k. partiella differentialekvationer. Kunskap om dessa differentialekvationer och deras lösningar utgör nyckeln till förståelsen av stora områden inom klassisk och modern fysik, samt många andra problem som kan modelleras genom kunskap om lokala samband. Det finns tre klassiska ekvationer: där vi infört Laplaceoperatorn u = 0 (Laplaces ekvation), u 1 u a t = 0 (diffusionsekvationen), u 1 2 u c 2 t 2 = 0 (vågekvationen), n = 2 i=1 x 2 i (n = 1, 2, 3,...). Dessa ekvationer, som är linjära och av andra ordningen, beskriver en stor mängd fenomen som vi kan se omkring oss; den elektriska potentialen i ett område utan inre laddningar uppfyller t.ex. Laplaces ekvation, vilket också gäller temperaturfördelningar vid jämvikt. Diffussionsekvationen är en modell för värmeledning och andra sorters strömning (även elektrisk ström). Vågekvationen handlar om fortskridande störningar och förklarar bl.a. dispersion och reflektion, fenomen som är viktiga att förstå inom signalöverföring. Vi kommer i kursen att modellera och lösa ett antal problem med olika sorters partiella differentialekvationer. På vägen kommer vi samtidigt att få se en mycket djup och vacker förening av algebra, analys och fysik. Precis som vi tidigare har använt Fourierserier, så visar det sig att nästan alla funktioner kan utvecklas i olika val av basfunktioner i ett mycket generellt matematiskt rum. Liksom det finns egenvektorer till matriser, så kommer vi att upptäcka att det finns egenfunktioner till operatorer som Laplaceoperatorn. När högerledet i ekvationerna ovan är skilda från noll, kommer vi att se att man med fördel kan skriva lösningarna med hjälp av generella impulssvarsfunktioner, s.k. 1

2 greenfunktioner (dvs., en viss störning i högerledet ger ett visst svar som lösning). Lösningarna blir integraler och har ofta en enkel fysikalisk tolkning. Ett annat område som ingår i kursen är variationskalkyl. Det är metoder att finna maxima och minima av funktionaler, dvs. avbildningar av funktioner istället för vanliga koordinater. Vi söker alltså även här en okänd funktion av en eller flera variabler. Lösningsförfarandet vid variationsproblem leder också till differentialekvationer och det visar sig att många problem kan formuleras både som en partiell differentialekvation och som en variationsprincip. De senaste decennierna har datorernas intåg gjort numeriska metoder, t.ex. finita elementmetoden (FEM, du har kanske sett bilder från krockprovsberäkningar med en bilmodell, som är indelad i små trianglar), alltmer användbara för att lösa partiella differentialekvationer. Under kursen kommer vi att ge små smakprov på numeriska lösningar. I början av kursen kommer vi också att repetera och utviga viktiga kapitel från vektoroch tensorräkning. Vektoranalys Diff och trans Fouriermetoder FMM Kvantmekanik Reaktorfysik Plasmafysik Halvledarfysik Optik Fysikalisk kemi El. magn. fältteori Strömningsmekanik Hållfasthetslära Numerisk analys Finita elementmetoden m fl Figur 1: Fysikens matematiska metoder i relation till andra kurser i utbildningen. 2

3 Kursuppläggning Kursen omfattar 15 dubbeltimmar föreläsningar och 18 dubbeltimmar övningar. Tider och salar anges i lektionsplaneringen på kursen hemsidan. Vi som håller i undervisningen är: Edwin Langmann (föreläsningar och kursansvarig) Epost: langmann@kth.se, Tel.: Martin Hallnäs (övningsgrupp 1) Epost: martin@theophys.kth.se Tomas Hällgren (övningsgrupp 2) Epost: tomashal@kth.se Kursplanering med läsanvisningar finns på kursens hemsida. Kurslitteratur G. Sparr och A. Sparr, Kontinuerliga system, Studentlitteratur, Lund (2000). G. Sparr och A. Sparr, Övningsbok, Studentlitteratur, Lund (2000). Kap. 1 i A. Ramgard m.fl., Tensoranalys, A. Ramgard, Vectoranalys, THS AB, Stockholm (2000) Teoretisk fysiks formelsamling, säljs på kårbokhandeln. finns på kurshemsidan och säljs på institutionens studentexpedition: Roslagstullsbacken 21, rum B5:1016, telefon Öppettiderna är vardagar kl Övrig kurslitteratur En ordentlig formelsamling lönar sig vi rekommenderar: L. Råde och B. Westergren, BETA Mathematics Handbook (Studentlitteratur), som säljs på Kårbokhandeln. Ett alternativ som också är tillåtet att ha med sig på tentamen är: M. R. Spiegel, Mathematical Handbook (Schaum outline series). Vi kan också rekommendera vissa referensböcker. Dessa böcker behöver inte köpas, men om framställningen i kursboken inte faller en i smaken, så kan man hitta samma information på ett alternativt sätt i någon av dessa böcker: 3

4 S. Hassani, Mathematical Physics, (Springer, 1998). F.W. Byron, Jr. and R.W. Fuller, Mathematics of Classical and Quantum Physics, (Dover, 1992). G.B. Arfken and H.J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5 ed. (Harcourt / Academic Press, 2000). Examination Kursen har tre olika moment: en tentamen i tensorräkning (1p), en tentamen i partiella differentialekvationer (3p), och en obligatorisk hemuppgift (1p). Fyra frivilliga hemtalen kan ge bonuspoäng till PDE-tentamen. Tillåtna hjälpmedel i tentorna: Teoretisk fysiks formelsamling Spiegel, Mathematical Handbook Josefsson, Formel- och tabellsamling i matematik NBS Handbook of Mathematical Functions TEFYMA BETA Tider för tentorna sätts upp på kursens hemsida. Tentamen tensorräkning Avsnittet om tensorräkning kommer att examineras i en separat tentamen. Tensortentamen består av tre uppgifter som ger tre poäng vardera. Betyg G ger en studiepoäng och garanteras för minst 5 poäng. Hemtal Fyra frivilliga hemtal kommer att delas ut under kursens gång. Hemtal kan ge upp till 0.5 poäng. Hemtalspoängen gäller för PDE tentorna men endast under läsåret Lösta uppgifter lämnas in senast i början av övningen eller föreläsningen på angivet datum enligt Inga försenade uppgifter godkänns. Var och en skall kunna svara för sin egen inlämnade uppgift. Enbart handskrivna lösningar godkänns. PDE-tentamen PDE tentamen består av fem uppgifter som ger tre poäng vardera. Poängberäkning för PDE-tentamen: Poängen från de fyra hemtalen läggs samman och avrundas till närmaste halvtal. Detta läggs sedan till poängen från de två första tentamensuppgifterna, man kan dock inte få mer än 6 poäng, inklusive eventuella hemtalspoäng, på de två första uppgifterna. Betygsgränser är: 4

5 Betyg 3: Betyg 4: Betyg 5: garanteras för minst 6 poäng garanteras för minst 10 poäng garanteras för minst 13 poäng Om dina poäng på tentamen är strax under en betygsgräns kommer du få möjlighet att förbättra ditt betyg genom en muntlig tentamen. Ytterligare information kommer att finnas på kursens hemsida. Obligatorisk inlämningsuppgift Avsnittet om numeriska metoder kommer att examineras med en obligatorisk inlämningsuppgift. Denna del av kursen är separat och kommer därför inte att dyka upp på tentamen. Uppgiften ger ett studiepoäng. Uppgiften skall finnas senast måndagen den 10 oktober på kursens hemsida. Varje student skall lämna in sin egen lösning samt vara beredd att redovisa den muntligt. Den obligatoriska inlämningsuppgiften skall vara inlämnad i slutgiltigt skick senast måndagen 24 november kl Kursens hemsida på WWW Mycket av den här informationen och en hel del till kan du hitta på WWW: Du kan också hitta sidan genom kursutbudet på institutionens hemsida. Eventuella ändringar under kursens gång kommer att annonseras här. Dessutom finns det loggböcker där man kan se vilka avsnitt och exempel som vi verkligen gick igenom på varje lektion. Med förhoppning om en givande och trevlig kurs, Martin Hallnäs, Tomas Hällgren, och Edwin Langmann 5