Matematisk fysik FTF 131, lp 2, 2010

Transkript

1 Matematisk fysik FTF 131, lp 2, 2010 Kursansvarig: Henrik Johannesson, Origo 7104A, Assistent: Juan Atalaya, Origo 5112, Kursen ger en repetition och fördjupning av de begrepp och metoder från tidigare matematikkurser vilka är särskilt användbara för fortsatta fysikstudier. Kursen introducerar också en del nytt material av relevans särskilt för studier i kvantfysik bl.a. teorin för Hilbertrum, och grupp- och representationsteori. Betyg på kursen baseras på inlämningsuppgifter och en skriftlig tentamen. För överbetyg (5) krävs också ett mindre projektarbete. Kurslitteratur: G. B. Arfken and H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Elsevier, Amsterdam, 2005)

2 Kursinnehåll Integralberäkning unplugged: från residuer till sadelpunkter. Gränsvärden och serier: singulärt och asymptotiskt! Hilbertrum. Matematisk formulering av kvantmekaniken. Green s funktioner. Störningsräkning Integralekvationer. Variationskalkyl Introduktion till grupp- och representationsteori.

3 fy.chalmers.se/~tfkhj/mf.html

4 Integraler: Oskulerande parametrar, asymptotiska serier, och en viss Monseuir Lebesgue... Henri Lebesgue, Matematisk fysik 2010 Föreläsning 1-2

5 Integralberäkning unplugged Elementära metoder variabelbyte partiell integration komplexifiering light integrering/derivering m.a.p. en parameter konstruktion av diff. ekv. Symmetriargument!eciella funktioner Residykalkyl Serieutvecklingar Sadelpunktsmetoder

6 komplexifiering I = 0 e ax cos bx dx svarta tavlan!

7 derivering m.a.p. en parameter I = 0 e ax cos bx x dx kombinerade derivator diff. ekv. I(α) = 0 e αx 1 + x 2 dx I (α) + I(α) = 1 α I(α) = sin(α) Ci(α) + cos(α)(π/2 Si(α))

8 Symmetriargument I m (k) = dω 1 (1 + k ˆr) m I 2 (k, a) = dω a ˆr (1 + k ˆr) 2

9 Serieutvecklingar erf(x) = 2 x π 0 e t2 dt konvergent serieutveckling! 1 erf(x) = 2 π x e t2 dt asymptotisk serieutveckling!

10 Sadelpunktsmetoder Γ(x + 1) = 0 t x e t dt

11 Hur integrera verkligt komplicerade funktioner, t.ex. funktioner som beskriver en FRAKTAL eller är definierade på en FRAKTAL? Mandelbrotmängd Sierpinskis triangel

12 Riemann-integral b a f(x)dx lim n n k=0 f(x k 1 )(x k x k 1 ) f : [a, b] R styckvis kontinuerlig Lebesgue-integral b a f(x)dx lim n n k=0 µ(a (n) k ) k 2 n ([ ]) ([ A (n) k k = f 1 2 n, k+1 ]) 2 n f α reelvärd fun µ Lebesguemått f : [a, b] R mätbar funktion

13 Integraler och gränsvärden? (derivator, serier, andra integraler,...) Riemann-integral b a f(x)dx lim n n k=0 f(x k 1 )(x k x k 1 ) f : [a, b] R styckvis kontinuerlig Lebesgue-integral b a f(x)dx lim n n k=0 µ(a (n) k ) k 2 n ([ ]) ([ A (n) k k = f 1 2 n, k+1 ]) 2 n f α reelvärd fun µ Lebesguemått f : [a, b] R mätbar funktion Lebesgues och Fubinis teorem

14 Lebesgues (dominerade) konvergensteorem (lättversion) lim n R n överallt f n (x) dx = R f(x) dx om f n konvergerar punktvis till f nästan överallt och det existerar en Lebesgue-integrabel funktion g sådan att f n g nästan överallt X Fubini (-Tonelli) teoremet (lättversion) ( Y ativ funktion f(x, y) dy) dx = Y ( X f(x, y) dx) dy där f : X Y R är en icke-negativ funktion