Loggbok Matematisk Fysik FTF131 lp

Transkript

1 Loggbok Matematisk Fysik FTF131 lp Föreläsning 1 (29/10): Efter en introduktion om kursens innehåll och syfte, samt en del praktisk information, startade jag upp kursens första tema: FRÅN EXPERIMENT TILL TEORI... OCH TILLBAKS IGEN. Det centrala begreppet är här Green's funktioner och jag repeterade hur man kan ta fram lösningen till en linjär inhomogen diff ekv genom att först bestämma dess Green's funktion. Via ett elementärt exempel från kvantfysiken med en partikels impulsmoment kopplat till ett magnetfält försökte jag antyda hur man i en Hamiltonformulering allmänt kan uttrycka kopplingen mellan ett störfält ( input ) och en responsoperator (vars kvantmekaniska väntevärde ger systemets respons/ output på störningen). Min framställning blev tyvärr inte helt lyckad, det krävs litet mer analys för att exemplet ska ge full utväxling. Vi kommer att återkomma till det... Föreläsning 2 (30/10): Jag fortsatte med temat från introduktionsföreläsningen och presenterade en fysikers definition av en Green's funktion som den integralkärna som kopplar samman störfält och respons i fallet då störfältet är svagt ( linjär respons ). Eftersom det i detta fall alltid finns en underliggande diff ekv så sammanfaller fysikerns Green's funktion med matematikerns, men perspektivskiftet tillåter vissa generaliseringar (dock ej i denna kurs). Via Fouriertransformering (standardmetod!) försökte jag sedan ta fram en Green's funktion i ett konkret fall hämtat från klassisk fysik (driven harmonisk oscillator). Dock stötte vi på patrull då den inversa transformen visade sig innehålla poler på den reella axeln. Vad göra? Svar: komplexifiera!, dvs. bädda in reella axeln i komplexa talplanet och angrip problemet med residykalkyl. Resten av min föreläsning var en repetition av residykalkylens ABC, inkl. ett par enkla räkneexempel. För detaljer, se mina slides från föreläsningen! Föreläsning 3 (5/11): Jag fortsatte repetitionen av residykalkyl genom att räkna några exempel, först ett elementärt problem med en integral på enhetscirkeln innehållande trigonometriska funktioner, och sedan ett par litet trixigare vilka jag fixade genom att välja smarta kurvor. Efter det gick jag igenom de viktiga begreppen grenpunkt, grensnitt, och Riemannytor, och snackade runt litet om dessa. Tänk gärna själv igenom dessa begrepp med hjälp av läroboken och föreläsningsanteckningar. Testa varandras förståelse!

2 Föreläsning 4 (6/11): Efter en kort synopsis, visade jag genom ett noga valt exempel hur man kan utnyttja grensnitt till att göra residykalkyl om man har en flervärd funktion i integranden: Lägg snittet genom integrationsintervallet, bilda en sluten kurva som går strax ovanför OCH strax nedanför snittet. och använd Cauchy! Ibland kan det vara fiffigt att för hand stoppa in en flervärd hjälpfunktion i integranden för att kunna utnyttja denna strategi, jfr. inlämningsuppgift 1a)! Efter detta fortsatte jag med att definiera Cauchys principalvärde av en integral av en funktion med en enkel pol på reella axeln, och tog också fram ett allmänt uttryck för principalvärdet. Jag visade sedan på ett alternativt sätt att hantera en integral med en enkel pol på reella axeln: Genom att deformera kurvan som vi använde för att definiera principalvärdet kan vi "knuffa ut" polen från reella axeln ("Feynmans trick").principalvärdet är medelvärdet av de två integralerna där vi knuffat polen uppåt respektive nedåt i det komplexa talplanet! Min diskussion kanske tedde sig litet pedantisk, varför bry sig...?!. MEN, faktiskt, en hel del (teoretisk) fysik görs just genom att knuffa runt poler i det komplexa talplanet! Det här är viktiga grejer... mer om detta nästa vecka. Jag förberrede marken genom att ta fram Kramers-Kronig relationen (alias Hilberttransformen på mattespråk). Föreläsning 5 (13/11): Jag började föreläsningen med att berätta att Kramers-Kronig relationen används i många delar av fysiken, bl.a. för att härleda det viktiga fluktuationsdissipationsteoremt (Kubo, 1956), vilket generaliserar bl.a. Einsteinrelationen (Brownsk rörelse, 1905) och Johnson-Nyquistrelationen (sambandet mellan brus och resistivitet i en strömkrets, 1928). Efter litet rundsnack om detta gick jag sedan (äntligen!) tillbaks till det problem som första kursveckan motiverade oss att gå tillbaks och repetera residykalkylens elementa: problemet att ta fram en Green's funktion med hjälp av en Fouriertransform. Typiskt uppträder här poler på reella axeln, såsom i mitt typexempel med Green's funktionen för en driven harmonisk svängning. Vi konfronteras här med frågan hur vi skall definiera integralen? Vi gick igenom tre alternativ (via exemplet med en tvingad harmonisk svängning, men resultaten är helt allmänna!), svarande mot en retarderad, avancerad, och symmetrisk Green s funktion. (Problem 1, inlämningsomgång #2, ger ett fjärde recept, vilket i fallet med Klein- Gordon ekvationen leder till en s.k. Feynmanpropagator.) Bara den retarderade Green s funktionen visade sig vara kausal och därmed hålla måttet för en direkt fysikalisk tolkning. Ett alternativ till en Fouriertransform är att använda en Laplacetransform; som vi såg ger detta i ett nafs den retarderade Green s funktionen för den tvungna harmoniska oscillatorn. Fouriertransformering är dock ändå oftast att föredra: bättre koll, och, dessutom fiffigt att ibland kunna använda avancerade Green s funktioner (propagatorer för antimateria, håltransport i halvledare, etc.), även om dessa inte kan ges en direkt fysikalisk tolkning. Green s funktioner för linjära inhomogena PDEs

3 (flera variabler) funkar på samma sätt som för ODEs, men blir ofta tekniskt litet trixigare. Som exempel på hur man via en Fouriertransform tar fram en Green's funktion för en PDE så studerade vi d Alemberts ekvation, illustrerad med Maxwellteori (de av er som inte sett relativistisk notation behöver inte bekymra er denna formalism kommer inte på tentan). Föreläsning 6 (15/11): Jag tog vid där vi slutade sist och visade hur man fixar till ett önskat randvillkor genom att lägga till den lösning till den homogena PDEn som ger just OK randvillkor. Vi tog sedan sats för nästa delmoment av kursen: integralekvationer. Jag formulerade de fyra huvudtyperna (Fredholm och Volterra av första och andra slaget), och diskuterade kort varför integralekvationer ibland är att föredra framför differentialekvationer (inbyggda randvillkor, naturlig formulering av det inversa problemet att rekonstruera en input från en output,...) Efter en anekdot om Ivar Fredholm, hans assistent, och David Hilbert beskrev jag två metoder att angripa en Fredholmekvation av andra slaget (den vanligaste typen i fysiken): METOD 1 som kan användas när integralkärnan är separabel, och METOD 2 där man använder iteration på en inputapproximation för att konstruera en Neumannserie för lösningen. Ibland nöjer man sig med första termen i serien! Ett välkänt exempel är Bornapproximationen i kvantmekanisk störningsteori som ni kommer att jobba mycket med i nästa års kvantkurs. (Vi ska räkna ett exempel på tisdag!) Föreläsning 7 (19/11): Jag gick igenom Bornapproximationen som används flitigt I spridningsteori (ett exempel på en trunkerad Neumannserie). Efter det berättade jag litet allmänt om Schmidt-Hilbert teori för integralekvationer med symmetriska kärnor, och hur man kan fixa till en symmetrisk kärna om den redan har en symmetrisk del. Mycket vacker teori! Efter detta gjorde jag ett avbrott för något helt annat... en rolig timme, igen (litet löst) motiverat av förskräckliga integraler (!). Jag försökte mig på en populär-vetenskaplig introduktion till fraktaler och Hausdorff-dimensioner (mest för kul) och Lebesgueintegraler (för allmänbildning). Viktigast här (för problemlösning i fysik) är det dominerade konvergensteoremet och Fubinis teorem! Vid fysikalisk problemlösning är vi mindre bortskämda med dylika rigorösa teorem, istället måste vi förlita oss på erfarenhet, eftertanke och god fysikalisk intuition för hur vi ska ta ett gränsvärde eller kasta om två gränsvärden. Som exempel på hur lätt man kan hamna I skenbart paradoxala resultat diskuterade jag Romeo och Julias romans I roddbåten, jfr. sista problemet på inlämningsomgång 2!Slides finns på

4 Föreläsning 8 (20/11): Efter att andra exempel (denna gång från kvantmekaniken) på hur snett man kan hamna om man är oförsiktig med att ta gränsvärden eller i vilken ordning man tar gränsvärden, så kastade jag oss alla friskt in i kursens andra tema: VARIATIONSKALKYL. Det arketypiska problemet här är att hitta ett lokalt extremvärde (dvs. ett lokalt max, min, eller sadelpunkt) för en integral av ett uttryck som innehåller en funktion y(x), dess derivata y'(x), och ev. också den oberoende variabeln x. Vi fann att vi kan lösa problemet genom att lösa Eulers ekvation, vilken är det fundamentala samband som bygger upp variationskalkylen. Jag gick igenom det kanoniska problemet med en såpbubbelfilm uppspänd över två koncentriska ringar, och passade på att utfärda varningen att i användningen av Eulers ekvation så antar man att lösningen är kontinuerlig. I fallet med såpbubblor fallerar detta antagande vid "Goldschmidtövergången"! Jag var tyvärr suddig med den precisa innebörden av Goldschmidt, och ska försöka precisera mig vid nästa föreläsning! Föreläsning 9 (26/11): Efter en mini-repetition av gårdagens resultat, generaliserade jag Eulers ekvation till fallet med (I) flera beroende variabler och (II) flera oberoende variabler. Jag anbefallde försiktighet vid deriveringen i fall (II): en partiell derivata m.a.p. x av en funktion av x, y, och z beror förstås också på x, y, z! Elementärt, men ändå en vanlig fallgrop vid användningen av Euler för fallet (II)! Ett exempel som vi räknade tillsammans visade att Laplace-ekvationen för en elektrostatisk potential ingenting annat är än Eulerekvation (för flera oberoende variabler) i förklädd form! Dito för (den tidsoberoende) Schrödingerekvationen som kan härledas från villkoret att energin är minimal under tvånget att vågfunktionerna är normerade (AWH motiverar valet av Lagrange multiplikator = - E!). Detta problem illustrerar väl användningen av Lagrangemultiplikatorer i variationskalkylen. Jag hade dessförinnan gett en introduktion till Lagrangemultiplikatorer i vanlig analys (dvs. för funktioner istället för funktionaler, som i variationskalkylen), för att sedan generalisera till variationskalkylens formulering. Föreläsning 10 (27/11): Efter en kort diskussion av hur man tänker på tvång i variationskalkylen (något som jag inte riktigt lyckades få fram i gårdagens föreläsning), startade jag upp kursens tredje tema: kvantmekanikens matematiska grund, speciellt teorin för Hilbertrum. Faktiskt, vi behöver denna teori inte bara för att göra kvantmekanik, men också för att på ett ekonomiskt sätt härleda de "klassiska ortogonala polynomen" (oerhört användbara i mer avancerade fysiktillämpningar). Jag värmde upp med en repetition av elementa för linjära vektorrum (väl kända från kursen i linjär algebra) och förklarade sedan varför generaliseringen ändligt-dimensionellt -->

5 oändligt-dimensionellt vektorrum är icke-trivial: Det är inte självklart att en Cauchysekvens av vektorer i ett oändligdimensionellt vektorrum konvergerar mot en vektor som själv är ett element i rummet. Dock, ett fullständigt vektorrum har denna önskvärda egenskap! Ett Hilbertrum är ett fullständigt inre produktrum, dvs. normen induceras av den inre produkten. Föreläsning 11 (3/12): Jag gjorde ett avbrott i min inledning till ABC för Hilbertrum, och försökte mig på en motiverande diskussion för oss som fysiker: kvantmekanikens postulat, se Detta ledde mig osökt (!) in på bl.a. mätproblemet och kvantmekanikens olika tolkningar; jag fick lägga band på mig att inte fara iväg på en helt annan tangent än kursens! Fantastiskt fascinerande ämne! Andra timmen satte jag upp formuleringen av Feynmans vägintegral, alternativet till att göra vanlig kanonisk operatorformalism. Forts. följer! Föreläsning 12 (4/12): Fortsättning på Feynmans vägintegral, med tonvikt på hur man kan förstå hur den klassiska fysikens bild av en bestämd partikelbana framträder ur Feynmans sum over all possible paths. Den klassiska fysikens minsta verkans princip är ingenting annat än villkoret för att närliggande partikelbanor inte ska interferera destruktivt i gränsen h 0 ( semiklassisk gräns för fysik på makroskopiska skalor där h är så litet att man kan betrakta h i gränsen 0). Efter att ha avslutat Feynman så gick jag tillbaks till den formella Hilbertrumsteorin, med fokus på L^2 och ortogonala polynom. Föreläsningarna 13 & 14 (10/12, 11/12): Introduktion till grupp- och representationsteori. Se mina föreläsningsanteckningar på