1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, y) till Laplaces ekvation u = 0 inom rektangeln 0 < x < a och 0 < y < b med följande randvillkor 1

Transkript

1 KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A131/5A135 Fysikens matematiska metoder Fredagen den 2 oktober 26, kl 8:-13: Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs problemnummer. Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs, vilken termin kursen gick! Tillåtna hjälpmedel: Examinator: Lösningsföreslag: Motivera utförligt! 1) Teoretisk fysiks formelsamling 2) BETA 3) NBS Handbook of Mathematical Functions 4) Josefsson, Formel- tabellsamling i matematik 5) Tefyma 6) Spiegel, Mathematical Handbook 7) Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae Obs! Miniräknare är ej tillåten. Edwin Langmann (tel: epost: langmann@kth.se) Kommer att finnas på kurshemsidan, Otillräckliga motiveringar medför poängavdrag. Inför förklara själv konstanter symboler du behöver! 1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, y) till Laplaces ekvation u = inom rektangeln < x < a < y < b med följande randvillkor 1 u x (, y) = u x (a, y) =, u(x, ) = C sin 2 (πx/a), u(x, b) = C cos 2 (πx/a) C > ; x, y är kartesiska koordinater (2p). (b) Ange en rimlig fysikalisk tolkning av problemet ovan. Ditt svar skall vara till större delen formulerat i ord så detaljerad att den matematiska modellen ovan är entydig specificerad (1p). Ledning: Full poäng för (a) kräver att alla Fourierkoefficienter beräknas. 2. (a) Bestäm den funktion f(z, t) för < z < L t > som uppfyller f t (z, t) af zz (z, t) = Q t e t/t δ(z L/2) f(, t) = f z (L, t) = f(z, ) = ; L >, a >, Q > t > är konstanter (2p). (b) Kompletera i detalj följande fysikalisk tolkning av modellen i (a): Problemet i (a) ovan modellerar en tunn cylindrisk stav som är isolerad på mantelytan.... Dessutom skall du förfina den matematiska modellen i (a) för att beskriva den mer realistiska situationen mantelytan inte är perfekt isolerad men Newtons avsvalningslag gäller, 1 Vi använder notationen u x = u x, osv.

2 normalkomponenten av vämeströmmen på mantelytan är proportionell mot skillnaden mellan rand- omgivningstemperaturen; annars är situationen samma som i (a) (1p). Ledning: Fysikaliska tolkningen i (b) skall till större delen vara formulerat i ord så detaljerad att modellen är entydig specificerad (glöm inte att förklara alla matematiska symboler, inklusive z, t, a...). Obs. att temperaturen i den generaliserade modellen i (b) inte längre är oberoende av normalavståndet r från cylinderaxeln. Du behöver INTE lösa denna generaliserade modell. 3. (a) Ett cirkulärt homogent membran är fast inspänt på randen r = R befinner sig i viloläget. Vid tiden t = få membranet ett slag som är jämnt fördelat över hela membranytan. Bestäm tidsutvecklingen av membranets amplitud efter slaget (2p). (b) Beräkna membranets grundvinkelfrekvens (1p). Ledning: Slaget i (a) kan t.ex. modelleras genom att anta att membranets hastighet är lika med en konstant v > vid tiden t = pulsen sker ( t.ex. för att man kan modellera slaget också på ett annat, ekvivalent sätt). 4. (a) En mycket lång homogen cylinder med radien R värmeledningsförmågan λ värms upp av en strömgenomfluten tråd som befinner sig i centrum r = av cylindern (r, θ är cylinderkoordinater). Tråden utvecklar en konstant värmemängd q (i W/m), temperaturen på cylinderytan är T cos(2θ) T >. Bestäm den stationära temperaturfördelningen inom cylindern (2p). Ledningar: Du kan anta att cylindern är oändligt lång. (b) Ange definitionen av Greenfunktionen G till problemet i 2. (a) (dsv. värmeledning i en tunn cylindrik stav). Definitionen skall innehåller alla ekvationer som behövs för att bestämmer G entydig (1p). 5. (a) Bestäm snabbaste vägen i xy-planet mellan punkterna (x, y) = (, ) (x, y) = (a, ) om beloppet av hastigheten v beror på positionen enligt v(x, y) = c y (oberoende av x); a > c > är konstanter, y är beloppet av y, x, y är kartesiska koordinater (2p). (b) Bestäm snabbaste vägen i xy-planet mellan punkten (x, y) = (, ) linjen x = a > (parallel med y-axeln); hastigheten är som i (a) ovan (1p). Anmärkning i fall du undrar om problemen ovan är välformulerat: hastigheten ovan kan uppfattas som gränsvärdet v av v(y) = v 2 + (cy) 2 : det är inte självklart att gränsvärdet existerar att det är möjlig att räkna direkt med v = (som är enklare), men räkningen visar att det är så. LYCKA TILL!

3 Lösningsföreslag till FYSMAT Tentamen den 2 oktober (a) Vi utveckla funtionen u egenfunktioner f = f n som löser problemet f (x) = k 2 f(x), f () = f (a) =, i.e., f n (x) = cos(k n x), k n = n π, n =, 1, 2, a u(x, y) = koefficienterna a n (y) uppfyller a n (y) cos(k n x) n= a n (y) k2 n a n(y) =, a n () = A n, a n (b) = B n C sin 2 ( πx a ) = C (1 cos(2πx 2 a )) = A n cos(k n x) n= C cos 2 ( πx a ) = C (1 + cos(2πx 2 a )) = n= B n cos(k n x), A = B = A 2 = B 2 = C 2 A n = B n = annars. a n (y) = c n cosh(k n y) + c n sinh(k n y) c n = A n, c n cosh(k n b) + c n sinh(k n b) = B n, a n (y) = A n cosh(k n y) + (B n A n cosh(k n b)) sinh(k ny) sinh(k n b). u(x, y) = C 2 C ( 2 cos(2πx/a) cosh(2πy/a) (1 + cosh(2πb/a)) sinh(2πy/a) ). sinh(2πb/a) (b) Stationär temperatur i ett rekangulär område < x < a < y < b ( ett homogen kropp isolerad i två parallela väggor parallel med xy-planet så att temperaturen är oberoende av z), väggorna x = x = a är värmeisolerade väggorna y = y = b har fixerade temperaturfördelningar C sin 2 (πx/a) C cos 2 (πx/a). 2. Problemet har homogena randvillkor men en inhomogen PDE: vi utveckla funktionen f(z, t) i egenfunktioner g = g n (z) av problemet g (z) = k 2 g(z), g() =, g (L) =, g n (z) = sin(k n z), k n = (n 1 2 )π, n = 1, 2, 3,.... L

4 h n (t) = 2 L L f(z, t) = c n (t) sin(k n z) n=1 c n (t) + ak2 n c n(t) = h n (t), c n () = sin(k n z) Q t e t/t δ(z L/2)dz = 2Q Lt sin(k n L/2)e t/t. ODE ovan har en partikulärlösning (c n ) part (t) = C n e t/t ( 1 ) + akn 2 C n = 2Q sin(k n L/2), t Lt en enkel räkning ger f(z, t) = n=1 c n (t) = C n (e t/t e ak2 nt ). 2Q 1 sin(k n L/2) sin(k n z) Lt 1 (e t/t e ak2 nt ), k t + akn 2 n = (n 1 2 )π L. Anmärkning: Lösningen kan förenklas lite med sin(k n L/2) = +1/ 2 om n = 4m 3 n = 4m 2 sin(k n L/2) = 1/ 2 om n = 4m 1 n = 4m m = 1, 2, OBS att lösningen är även väldefinierad om 1/t = akn 2 (resonans), men då måste man tolka singulära termen som gränsvärd 1/t akn 2 använda l Hospitals regel. (b) f(z, t) är temperaturen i positionen z vid tiden t L > är längden av staven. Staven är cylindrisk perfekt temperaturisolerad vid mantelytan r = R topskivan z = L (r z är cylinderkoordinater), temperaturen vid bottonskivan z = hålls vid konstant tempertur. Staven har konstant temperatur i början värms upp av en värmekällan lokaliserad i punkten z = L/2 som avtar exponentiell med tiden; q = Q/λ (= integralen över källtätheten över hela rummet alla tider delat med värmeledningsförmågan λ) är lika med hela värmemängden som tillförs, a är värmediffusiviteten. Om mantelytan r = R inte är perfekt isolerad så gäller λn f r=r = α(t f r=r ) T är omgivningstemperaturen, λ värmeledningsförmågan, α värmeövergångskoefficienten. Temperaturen kan för bestämmas som funktion f = f(r, z, t), r R, z L, t > (vi kan anta att f är oberoende av vinkeln θ) som uppfyller ( ) 1 f t a r (rf r) r + f zz = h, h(r, z, t) = Q e t/t δ(z L/2) R 2 πt λf r (R, z, t) = α(f(r, z) T ), f(r,, t) = f z (r, L, t) =, f(r, z, ) = (1) f(, z, t) <. 3. Membranens amplitud u = u(r, θ, t), r R, θ 2π är cylinderkoordinater t > tiden, uppfyller vågekvationen ( 1 u tt c 2 r (ru r) r + 1 ) r 2u θθ =,

5 med följande randvillkor följande begynnelsevillkor u(r, θ, t) =, u(, θ, t) <, u(r, θ, ) =, u (r, θ, t = ) = v. Problemet är rotationssymmetrisk, u = u(r, t) är oberoende av θ. Vi utveckla u(r, t) i egenfunktioner f = f s (r) som uppfyller (1/r)(rf (r)) = k 2 f(r), f r=r =, f() < f s (r) = J (k s r), k s = α,s, s = 1, 2,... R α,s är nollställarna till Besselfunktionen J : J (α,s ) =. Vi får u(r, t) = A s (t)j (k s r) s=1 A s (t) + (k sc) 2 A s (t) =, A s () =, A s () = B s B s J (k s r) = v, R B s J (k s r) 2 rdr = u(r, θ, t) = s R A s (t) = B s 1 ck s sin(ck s t). s=1 v J (k s r)rdr. B s J (k s r) 1 ck s sin(ck s t) B s = v R J (k s r)rdr R J (k s r) 2 rdr k s = α,s /R, α,s är nollställarna till Besselfunktionen J. Anmärkning: Integralerna ovan kan beräknas (se t.ex. BETA Kap. 12.4), detta ger 2v B s = α,s J 1 (α,s ). (b) Grundvinkelfrekvensen är ω = ck,1 = c α,1 R = c R α,1 är första nollställe till Besselfunktionen J (värdet för α,1 kan hittas i BETA Kap. 12.4, t.ex.); c är våghastigheten R radie av membranen.

6 4. Temperaturen u beror bara på x = (x, y) uppfyller u(x) = q λ δ2 (x) u r=r = g, g(θ) = T cos(2θ) r, θ är cylinderkoordinater. Vi delar upp problemet i två delar superponerar u = u 1 + u 2 u 1,2 är definierade genom u 1 (x) = q λ δ2 (x x ), u r=r = u 2 (x) =, u 2 r=r = g. Vi först beräkna u 1. Fundamentallösningen till Laplaces operator är G (x) = 1 2π ln(r) G (x) = δ 2 (x). OBS att G r=r = 1 ln(r), för uppfyller 2π följande problem: G (x) = G (x) G r=r = 1 2π ln(r/r) G (x) = δ 2 (x), G r=r =. u 1 (x) = q λ G (x) = q 2πλ ln(r/r). Problemet för u 2 kan lösas med Fouriers metod: u 2 (r, θ) = n Z c n r n e inθ uppfyller u 2 = för godtyckliga constander c n, u 2 (R, θ) = n Z c n R n e inθ = T cos(2θ) = 1 2 T (e 2iθ + e 2iθ ) ger c 2 = c 2 = T 2 /(2R 2 ) c n = annars. u 2 (r, θ) = T r 2 2R 2 (e2iθ + e 2iθ ) = T (r/r) 2 cos(2θ). u(r, θ) = q 2πλ ln(r/r) + T (r/r) 2 cos(2θ). Anmärkning: Problemet kan också lösas med Greensfunktionsmetoden. Greensfunktionen G = G(x,x ) till problemet i (a) definieras genom x G(x,x ) = δ 2 (x x ), G(x,x ) x =R =,

7 detter ger (kursboken Kap. 5.5) u(r) = G(x,x ) q λ δ2 (x )d 2 x dθ x R x =R ) r G(r,r g(θ ), r =R u(r, θ) = q 2π λ G(r, θ,, ) dθ G r (r, θ, R, θ )g(θ ). Greensfunktionen G kan beräknas med spegling (kursboken Kap. 5.5) eller med Fouriers metod. Första metoden ger G(x,x ) = 1 ( ) x x 2π ln R x x x x = cx, x x = R 2 x = x R 2 / x 2, med (x, y) = r cosθ, (x, y ) = r cosθ, (x, y ) = (R 2 /r ) cosθ, ( G(r, θ, r, θ ) = 1 2π ln R ) r 2 + (r ) 2 2rr cos(θ θ ). (rr ) 2 + R 4 2rr R 2 cos(θ θ ) G(r, θ,, θ ) = 1 2π ln(r/r), G r (r, θ, R, θ ) = 1 1 (r/r) 2 2π 1 + (r/r) 2 2(r/R) cos(θ θ ) u(r, θ) = q 2π 2πλ ln(r/r) + T dθ 1 1 (r/r) 2 2π 1 + (r/r) 2 2(r/R) cos(θ θ ) cos(2θ ). Integralen ovan kan beräknas med residuumsatsen (komplex analys). (b) Greensfuntionen till problemet i 2. (a) är funktionen G = G(z, t, z, t ), < z, z < L t, t >, som definieras genom G t (z, t, z, t ) ag zz t(z, t, z, t ) = δ(z z )δ(t t ) G(, t, z, t ) = G z (L, t, z, t ) = G(z,, z, t ) =. 5. (a) Anta en väg y(x), x a, y() = y(a) =. Tiden för att komma från (x, y) = (, ) till (x, y) = (a, ) är (a,) ds a 1 + T = (,) v = y (x) 2 dx, v(y(x)) vi skall extremerar funktionalen T[y]. Funktionalen kan skrivas som T[y] = a F(y(x), y (x))dx 1 + F(y, y (y ) ) = 2 v(y)

8 är oberoende av x. Euler-Lagrange ekvationer för kan lösas genom C är en konstant. Separationen ger y F y F = (y ) 2 v(y) = C y (x) = ± 1 C 2 y 2 C 2 y 2 C = c C, Cydy 1 C2 y = 2 dx, 1 C 1 C2 y 2 = x + c 1. OBS att alla lösningar till Euler-Lagrange ekvationen ovan är circlar (x+c 1 ) 2 +y 2 = 1/C 2. Integrationskonstanten c 1 bestäms genom att sätta y() = : 1 C = c 1, vi får y = 1 C 1 (1 Cx)2 = x(k x) K = 2/C > K a, för att skall vara definerad för < x < a. Randvillkoret y(a) = ger K = a. (b) Villkoren blir nu eller y(x) = x(a x), y() =, x a F y =, x=a y() =, y (a) =. Euler-Lagrange ekvationen randvillkor y() = är samma som i (a), vi får som ovan y(x) = x(k x) K skall bestämmas genom y (a) =. K = 2a. y(x) = x(2a x), x a.