KTH Fysik Tentamen i 5A1301/5A1304 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 24 augusti 2004 kl
|
|
- Lars-Erik Jonsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KTH Fysik Tentamen i 5A131/5A134 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 24 augusti 24 kl Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs, och vilken termin kursen gick! Tillåtna hjälpmedel: 1) Teoretisk fysiks formelsamling 2) BETA 3) NBS Handbook of Mathematical Functions 4) Josefsson, Formel- och tabellsamling i matematik 5) Tefyma 6) Spiegel, Mathematical Handbook Obs! Miniräknare ej tillåten. Examinator: Edwin Langmann (tel: Epost: langmann@kth.se) Resultat: Anslås på institutionens studentexpedition, Roslagstullsbacken 21 Lösningar: Kommer att finnas på kurshemsidan, Motivera utförligt! Otillräckliga motiveringar medför poängavdrag. 1. En homogen, rak stav med längden L har isolerad mantelyta. Staven värms upp till temperaturen T >. Vid tiden t = kyls en av ändytorna ner till temperaturen T 1 = och hålls därefter vid denna temperatur. Den andra ändytan är isolerad hela tiden. Bestäm temperaturfördelningen i staven som funktion av tiden. Ledning. Anta att stavens temperatur kan beskrivas av en funktion u(x, t) som lyder värmeledningsekvationen med den konstanta värmediffussiviteten a > ; x L är en kartesisk rumskoordinat och t tiden. Ändytorna motsvarar x = och x = L. 2. Johan lyssnar till Haydns symfoni nr. 94 i konserthuset. Han är inte särskilt koncentrerat på musiken men väcks upp av ett hård och plötslig slag på en trumma. 1 Johan, som också läser fysik på KTH, börjar nu funderar om han kan modellera röreslsen av trummans cirkulär membran efter slaget. Hjälp honom med det! Ledningar: Anta att membranets utsvängning beskrivs av en funktion u(r, ϕ, t) som lyder vågekvationen med konstant ljudhastighet c, och membranets rand r = R är fast inspänt; r R och ϕ 2π är polära koordinater och t tiden. Begynnelsevillkoren är u(r, ϕ, ) =, u t (r, ϕ, ) = πr 2 v r δ(r r )δ(ϕ), där < r < R och v > är konstanter. Bestäm u(r, ϕ, t)! Trots att begynnelsevillkoren innehåller δ-funktioner skall detta problem ej lösas med hjälp av Greensfunktionsmetoden. VÄND! 1 puka, för att vara precis.
2 3. Då vattnet i en cylindersymmetrisk hink roterar med konstant vinkelhasigheten ω runt symmetriaxeln formar sig ytan så att den potentiella energin φ av vattnet i det roterande systemet blir minimal. Bestäm vattenytans höjd över botten som funktion av normalavståndet från cylinderaxeln (h(r)), om den totala vattenvolymen antas vara V. Anta att hinken är en rak cylinder med radius a. Ledningar: Bidraget dφ från volymelementet dv till φ är dφ = ρ ( gz ω2 r 2 ) dv 2 där ρ är vattens massdensität och g = m/s 2. Anta att V är så stor att h(r) är en funktion med kontinuerlig derivata. 4. En chokladtårta, formad som ett halvklot, hämtas ut ur bakugnen och placeras på köksbordet, den plana sidan underst. Ställ upp ett matematisk modell för tårtans avkylning och lös det. Ledning: Anta att tårtans halvsfärisk randytan (r = R) har rumstemperatur T 1 och tårtans plana rand (θ = π/2) är isolerad. Tårtan är homogen och har ugnens temperatur T i början. Beräkna tårtans temperatur som funktion av tid och rum. Introducera själv andra konstanter du behöver och förklara dem! 5. Bestäm den elektriska potentialen φ(r) i halvrummet x >, < y, z <, som genereras av en punktladning med ladning Q som befinner sig i punkten r = (R,, ) där R > ; r = (x, y, z) är kartesika coordinater, och potentialen på halvrummets begränsningsytan är φ(, y, z) = φ Θ(1 (y 2 + z 2 )/R 2 ) där Θ är Heaviside funktionen (Θ(x) = om x < och Θ(x) = 1 om x > ). Beräkna särskilt potentialen φ(x,, ) på x-axeln. Ledningar: Poissons ekvation u(r) = ρ(r) inom ett område V i tre dimensioner med rimliga randvillkor på randytan S till V har lösningen u(r) = V ( G(r, r )ρ(r )d 3 r + G(r, r ) r u(r ) u(r ) r G(r, r )) d 2 r S där G(r, r ) är greenfunktionen för ekvationen med det aktuella randvillkoret. Fundamentallösningen till Poissons ekvation i tre dimensioner är G (r, r ) = 1/4π r r. Du kan få full poäng även om ditt svar för φ(r) innehåller en oberäknad dubbelintegral. LYCKA TILL!
3 Lösningsföreslag till tentamen 4824 i 5A131/5A134 Fysikens matematiska metoder 1. Problemet lyder u t au xx = u(, t) = u x (L, t) = u(x, ) = T (BV) där u = u(x, t) och x L, t >. Produktansatsen u(x, t) = f(x)g(t) och PDE, RV1,2 ger g = ak 2 g g(t) = g e ak2 t och f + k 2 f =, f() = f (L) = f n (x) = sin(k n x), k n = (n + 1/2)π/L där n =, 1, RV1,2: BV ger Superpositionsprinzipen ger den allmänna lösningen till PDE och u(x, t) = A n sin(k n x)e ak2 nt. n= T = A n sin(k n x) A n = 2 n= L Svaret blir u(x, t) = 2. Problemet lyder n= L T sin(k n x)dx = 2T Lk n cos(k n x) L x= = 2T (n + 1/2) sin(k nx)e ak2 n t, k n = (n + 1/2)π/L. u rr + 1 r u r + 1 r 2 u ϕϕ 1 c 2 u tt = u(r, ϕ, t) = u(, ϕ, t) < u(r, ϕ, t) = u(r, ϕ + 2π, t) u(r, ϕ, ) = (RV3) (BV1) u t (r, ϕ, ) = πr 2 v r δ(r r )δ(ϕ), < r < R (BV2) 2T (n + 1/2). där u = u(r, ϕ, t) och r R, ϕ 2π, t >. Produktansats u = f(r)g(ϕ)h(t) och PDE, RV1 3, BV1 ger h + c 2 k 2 h =, h() = h(t) = sin(ckt), g + n 2 g =, g(ϕ + 2π) = g(ϕ) g = A cos(nϕ) + B sin(nϕ) med n =, 1, 2,..., och r 2 f + rf + (k 2 r 2 n 2 )f =, f(r) =, f() < f(r) = J n (kr), k = j n,s R
4 med j n,s nollställerna till Besselfunktionen J n. Superpositionsprinzipen ger den allmänna lösningen till PDE, RV1 3 och BV1: BV2 osv. ger 1 u(r, ϕ, t) = 2 A,sJ (k,s r) sin(k,s ct) + J n (k n,s r)[a n,s cos(nϕ) + B n,s sin(nϕ)] sin(k n,s ct). n=1 ck n,s A n,s π och B n,s = ( ) sin() =. Lösningen blir J n (k n,s r) 2 rdr = ck n,s A n,s π 1 2 R2 J n+1 (j n,s ) 2 = = πr 2 v J n (k n,s r ) cos() = πr 2 v J n (k n,s r ) 1 u(r, ϕ, t) = 2 A,sJ (k,s r) sin(k,s ct) + A n,s J n (k n,s r) cos(nϕ) sin(k n,s ct) n=1 där A n,s = 2Rv J n (j n,s r /R)/cj n,s J n+1 (j n,s ) Exempelsammlingen FYSMAT Uppgift Vi sätter T = T 1 + u där T = T (r, θ, t) är temperaturen i sfäriska koordinater r, θ (problemet är oberoende av ϕ); t > är tiden. Problemet lyder u rr + 2 r u r + 1 r Λu au 2 t = u(r, θ, t) = u θ (R, π/2, t) = u(, θ, t) < u(r, ϕ, ) = (T T 1 ) (RV3) (BV) där u = u(r, θ, t) och Λu = 1 sin θ (sin(θ)u θ) θ. Separationsansatzen u = f(r)g(θ)h(t) och PDE, RV1 3 ger h + ak 2 h = h(t) = Ae ak2t, Λg + l(l + 1)g =, g (π/2) = l = 2n, g(θ) = P 2n (cos(θ)) där n =, 1, 2,... och P l är legendrepolynomer, och r 2 f +2rf +(k 2 r 2 l(l+1))f =, f(r) =, f() < f(r) = j l (kr), k = η l,s R där j l är sfäriska Besselfunktioner av första slaget och η l,s är nollställerna till j l. Den allmänna lösningen till PDE, RV1 3 är BV ger A, = T T 1, u(r, θ, t) = A, + A n,s P 2n (cos(θ))j 2n (η 2n,s r/r)e aη2 2n,s t/r2. n= A n,s π/2 = P 2n (cos(θ)) 2 sin(θ)dθ π/2 P 2n (cos(θ)) sin(θ)dθ = δ n, π 2 drr 2 j 2n (η 2n,s r/r) 2 r 2 j 2n (η 2n,s r/r) drr sin(sπr/r)
5 därför att j (x) = sin(x)/x och η,s = sπ där s = 1, 2,.... Lösningen blir 5. Problemet lyder T (r, θ, t) = T 1 + (T T 1 ) [ 1 2R( 1) s sin(sπr/r) e ] a(sπ/r)2 t. sπr ( φ)(x, y, z) = Qδ(x R)δ(y)δ(z), x >, y, z R φ(, y, z) = φ Θ(1 (y 2 + z 2 )/R 2 ) f(y, z), y, z R. Ledningen och d 2 r = e x dy dz ger φ(x, y, z) = + dx dy dy där G(r, r ) x= =. Greensfunktionen ges av Vi beräkna = x 1 4π Detta ger dz Qδ(x R)δ(y )δ(z ) dz f(y, z ) x G(r, r ) x = G(r, r ) = G (r, r ) G (r, r ), r = (x, y, z ), r = (x, y, z ). x G(r, r ) z = = ( 1 (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 1 2 (x + x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 = ) x = x 2π(x 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2. φ(x, y, z) = Q ( 1 4π (x R) 2 + y 2 + z 1 ) 2 (x + R) 2 + y 2 + z 2 + dy dz x (y ) 2 +(z ) 2 R 2 2π(x 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 ). 3/2 Potentialen på x-axeln blir φ(x,, ) = Q ( 1 4π x R 1 ) x +φ (y ) 2 +(z ) 2 R 2 2π(x 2 + (y ) 2 + (z ) 2 ) 3/2 = Q ( 1 4π (x R) 1 ) x + φ dρρ (x 2 + ρ 2 ) 3/2 = Q ( 1 4π (x R) 1 ) ( x ) + φ 1. x2 + R 2
2. För ljudvågor i en gas, innesluten i ett sfärisk skal, gäller vågekvationen. u tt = c 2 u
KTH Fysik Tentamen i 5A3/5A35 Fysikens matematiska metoder Fredagen den 4 januari 25, kl 4. 9. Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första tentabladet om
Läs merEdwin Langmann (Epost: x u(x, t); f (x) = df(x)
KTH Teoretisk Fysik Omtentamen i Fysikens matematiska metoder SI12; SI114 Del 2; SI1143 Lördagen den 9 juni 218 kl 9. 14. Anteckna på varje blad: namn, personnummer, och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel:
Läs mer1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, y) till Laplaces ekvation u = 0 inom rektangeln 0 < x < a och 0 < y < b med följande randvillkor 1
KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A131/5A135 Fysikens matematiska metoder Fredagen den 2 oktober 26, kl 8:-13: Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs problemnummer. Notera på första tentabladet
Läs merNotera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs
Fysik KTH TENTAMEN Fysikens matematiska metoder 5A1301/5A1304 Onsdag 003-03-1, kl. 08.00-13.00 Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje,
Läs merKTH Fysik Tentamen i 5A1301/5A1305 Fysikens matematiska metoder Tisdagen den 23 augusti 2005, kl
KTH Fysik Tentamen i 5A3/5A35 Fysikens matematiska metoder Tisdagen den 23 augusti 25, kl 4. 9. Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första tentabladet om
Läs mer1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0
KTH Fysik Tentamen i 5A1306 Fysikens matematiska metoder: PDE-tentamen Fredagen den 8 juni 2007 kl 08.00 13.00 Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merKTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A1304/5A1305 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 11 januari 2006, kl 08:00-13:00
KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A304/5A305 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den januari 006, kl 08:00-3:00 Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första
Läs merTentamen Fysikens Matematiska Metoder, Tilläggskurs, vt 2009, SI (a) Bestäm en reellvärd funktion f(x), 0 x 1, för vilken funktionalen
Tentamen Fysikens Matematiska Metoder, Tilläggskurs, vt 9, SI4 Måndagen den 5 maj 9 kl 9. 3. Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: BETA, Teoretisk
Läs merför t > 0 och 0 x L med följande rand- och begynnelsevillkor
KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A131/5A135 Fysikens matematiska metoder Tisdagen den 16 januari 27, kl 8:-13: Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första
Läs merOMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
OMTENTAMEN I VEKTORANALY I46 och I40 Del, VT8 Onsdagen augusti 08:00-:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa
Läs merEdwin Langmann (tel: Epost: DEL 1
KTH Teoretisk Fysik Tentamen i Fysikens matematiska metoder (PDE tentamen, F variant) SI114 och SI1143 Del 2; SI1141; 5A136, 5A135 och 5A131 PDE tentamen Onsdagen 29 maj 213 kl 8. 13. OBS: Det finns två
Läs mer1. (a) Bestäm funktionen u = u(t, x), t > 0 och 0 < x < L, som uppfyller. u(t, 0) = 0, u x (t, L) = 0 u(0, x) = Ax(2L x)
KTH Fysik Tentamen i 5A1306 Fysikens matematiska metoder: PDE-tentamen Onsdagen den 28 mars 2007 kl 08.00 13.00 Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs problemnummer. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merEdwin Langmann (tel: Epost: DEL 1 (Del 2 på andra sidan)
KTH Teoretisk Fysik Omtentamen i Fysikens matematiska metoder PDE tentamen, SI114 och SI1143 Del 2; SI1141; 5A136, 5A135 och 5A131 PDE tentamen Tisdagen 5 juni 212 kl 8. 13. OBS: Det finns två varianter
Läs merTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
TENTAMEN I EKTORANALY I46 och I40 Del, T8 Torsdagen 3 maj 4:00-9:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej
Läs merFysikens matematiska metoder hösten 2006
Teoretisk Fysik KTH Fysikens matematiska metoder hösten 2006 Ämnesbeskrivning 5A1305 Nästan samtliga modeller av verkliga fysikaliska problem ger upphov till differentialekvationer med derivator av flera
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl. 14. 19.. 5B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 16, 2018 9. Lösningar av Poissons ekvation Vi vet att Poissons
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) Tid och plats: ösningsskiss: Måndagen den 24 oktober 2016 klockan 14.00-18.00 i M-huset. Christian Forssén och Tobias Wenger Detta är enbart
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merFöreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 28 november 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 15.1: 3, 5, 17. 15.2: 3, 5, 7, 21. Vektorfält DEFINITION Ett skalärfält Φ på ett
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 343 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standard 73 88 34 LMA55 Matematik KI, del B Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merMVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 07-08-4 kl. 4.00 8.00 Tentamen MVE500, TKSAM- Telefonvakt: Anders Hildeman 03 77 535 Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merTentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs mer(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Läs merKvantfysik SI1151 för F3 Tisdag kl
TEORETISK FYSIK KTH Kvantfysik SI5 för F3 Tisdag 3008 kl. 8.00-3.00 Skriv på varje sida Namn och problemnummer Motivera noga Otillräckliga motiveringar leder till poängavdrag Hjälpmedel Teoretisk fysiks
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs mer1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem
1 Föreläsning 4 1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem Sats 1 i sfäriska koordinater; i cylindriska koordinater. Bevis. I kartesiska koordinater har vi att Φ = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 ˆϕ (1 r sin θ ϕ
Läs merDel I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs mer6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,
Institutionen för Matematik, KTH Tentamen del 2 Analytiska och numeriska metoder för differentialekvationer SF1523 8.-11. 18/8 217 Formelsamlingen BETA är tillåtet hjälpmedel men ej miniräknare. Råd för
Läs mer1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006
Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merMVE500, TKSAM-2. (c) a 1 = 1, a n+1 = 4 a n för n 1
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6-- kl. 8.3.3 Tentamen MVE5, TKSAM- Telefonvakt: Olof Giselsson 3 77 535 Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merTentamen Elektromagnetism
Institutionen för fysik, kemi och biologi (IFM) Marcus Ekholm 93FY51/STN1: Fysik (61 75 hp) Tentamen Elektromagnetism 8 juni 2017 8:00 12:00 U14 Tentamen består av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA4 Flervariabelanalys E2 21-8-1 kl. 8. 12. Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anders Martinsson, telefon: 7 88 4 Hjälpmedel: bifogat
Läs mer( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).
KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM34, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct, 08 Repetition: Singulära fält Punktkälla i origo. Fältet i punkten
Läs merTENTAMEN I KVANTFYSIK del 1 (5A1324 och 5A1450) samt KVANTMEKANIK (5A1320) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 2007
TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A4 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 7 HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merOptimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.
Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs merInnehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1
SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 KARL JONSSON Innehåll. Kapitel 6: Separation of Variables.. Upp. 6.2: Dirichlets problem på enhetsskivan med randdata polära koordinater) u,
Läs merSF1635, Signaler och system I
SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3
Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: januari 2, kl. 4.9., i MA. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel. 222 34 3. Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i elektromagnetisk
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merOmtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs mer1. Låt kommutatorn verka på en vågfunktion och inför att ˆp x = i h d. d2 (xψ(x)) ) = h 2 (x d2 Ψ(x) = i2 hˆp x Ψ(x) [ev] E n = 13, 6 Z2 n 2
SVAR OCH LÖSNINGSANVISNINGAR TLLL TENTAMEN I KVANTFYSIK del för F5A450 och B5A och 5A4och KVANTMEKANIK 5A0 Måndagen den december 004 kl. 8.00 -.00 HJÄLPMEDEL: Formelsamling till kurserna i Fysikens matematiska
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merSammanfattning. Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar. Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation
Sammanfattning Kontinuerliga system vt 2017 Fysikaliska modeller Kontinuitetesekvationen: q t +div j = k kommer från ökning + utflöde = nyproduktion. Här är q = densitet (mängd/m 3 ), j = strömtäthet (mängd/m
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merLösningar till seminarieuppgifter
Lösningar till seminarieuppgifter 2018-09-26 Uppgift 1 z ρ P z = 0 ρ Introducera ett koordinatsystem så att det jordade planet sammanfaller med planet z = 0, oc skivans centrum med punkten (0,0,). a) Problemet
Läs merIntroduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier
KAPITEL 5 Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier Vi inleder med några förberedande exempel. 5.. Cauchys ekvation Den homogena Euler-Cauchys ekvation (Leonhard Euler och
Läs mer