Edwin Langmann (tel: Epost: DEL 1 (Del 2 på andra sidan)

Transkript

1 KTH Teoretisk Fysik Omtentamen i Fysikens matematiska metoder PDE tentamen, SI114 och SI1143 Del 2; SI1141; 5A136, 5A135 och 5A131 PDE tentamen Tisdagen 5 juni 212 kl OBS: Det finns två varianter F och CL av flera uppgifter. F-uppgifter skall göras av F-studenter SI114 Del 2. Alla andra SI1141, SI1143, 5A135, 5A136, 5A131 skall göra CL-uppgifter! Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: bara formelsamlingen som delas ut Obs! Miniräknare ej tillåten. Examinator: Lösningar: Motivera utförligt! Edwin Langmann tel: Epost: langmann@kth.se Kommer att finnas på kurshemsidan, Otillräckliga motiveringar kan medföra poängavdrag. Inför och förklara konstanter och symboler du behöver! DEL 1 Del 2 på andra sidan 1. Bestäm funktionen ux, y, x π och y π, så att u xx x, y + u yy x, y < x < π, < y < π u y x, u y x, π < x < π u, y, uπ, y cos2y < y < π. 3p 2. Ett kvadratisk, homogent, fast inspänt membran erhåller vid tiden t impulsen p, likförmigt fördelat över hela membranet. Ge en matematisk modell för membransvängningen for tiden t > dvs. differentialekvation, rand- och begynnelsevillkor. Inför och förklara själv konstanter och symboler du behöver. Du behöver INTE lösa problemet! 3p 3. Bestäm funktionen vx, t, x 1 och t, så att vx, t 2 vx, t 1 < x < 1, t > t x 2 v, t, v1, t t > vx, < x < 1. Alla integraler skall beräknas. 3p Ledning: Integralen sinkxfxdx kan skrivas som 1 k dxfx d 2 sinkx. Om fx är ett polynom av ordning 2 kan detta 2 dx 2 beräknas på ett enkelt sätt med två partiella integrationer. 4. a Visa att xθx 2 c1 δx 2 + c 2 δ x 2 med vissa konstanter c 1 och c 2 du skall beräkna. 1p f x d fx; θx är Heavisidefunktionen. dx b Bestäm fx, x 2, så att f x δx 1 och f f2. 1p c Beräkna 3 dx 2δx 2 3δ x 1 + 4δ x 4 sin2x. 1p 1

2 DEL 2 5. Beräkna stationära temperaturfördelningen i cylindern x 2 + y 2 R 2 som har temperaturen T vid delen av randen där y > och temperaturen T vid delen av randen där y < ; T > och R > är konstanter, och cylindern är så lång att du kan anta att temperaturen är oberoende av z. 6p 6F. Ett radioaktivt ämne injiceras vid tiden t i en punkt inuti ett smalt och mycket långt vätskefyllt rör. Därefter diffunderar ämnet i röret samtidigt som det sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot koncentrationen. Formulera en matematisk modell för koncentrationen av ämnet i röret för t > samt lös problemet. Inför själv de konstanter du behöver. För full poäng måste alla eventuella integraler beräknas. 3p b Beräkna Greenfunktionen till problemet i a. 3p 6CL. Ett ämne injiceras vid tiden t i en punkt inuti ett smalt och mycket långt vätskefyllt rör. Därefter diffunderar ämnet i röret. Formulera en matematisk modell för koncentrationen av ämnet i röret för t > samt lös problemet. Inför själv de konstanter du behöver. För full poäng måste alla eventuella integraler beräknas. 6p 7. Beräkna elektrodynamiska potentialen i området x 2 + y 2 + z 2 R 2 för tider t >. Randytan x 2 +y 2 +z 2 R 2 är jordad, dvs., potentialen där är alltid noll där. Tidsderivatan av potentialen är noll vid tiden t, och potentialen är konstant och lika med U vid tiden t. 6p Ledning: Elektrodynamiska potentialen uppfyller vågekvationen där våghastigheten är lika med med ljusets hastighet c; R > och U > är konstanter. 8F. Vi gör en förenklad modell av den tidsberoende värmeledningen i en plan homogen husvägg av konstant tjocklek. Innerytan har en konstant temperatur T definierad av det termostatreglerade värme- och kylsystemet, medan den dygnsvarierande temperaturen vid den yttre ytan är T 1 + T 2 sinωt T j, j, 1, 2, och ω > är konstanter. Beräkna den tidsberoende temperaturfördelningen i väggen när effekterna av begynnelsevärdena har dämpats ut. 6p Ledning: Du kan behandla detta som ett endimensionellt problem. Ansätt en lösning med komplext tidsberoende. 8CL. Vi gör en förenklad modell av den tidsberoende värmeledningen i en plan homogen husvägg av konstant tjocklek som värms upp av en värmekälla som är homogent fördelad inom väggen. Temperaturen vid väggens innerytan är alltid T, och temperaturen vid den yttre ytan är alltid T 1 < T T j, j, 1 är konstanter. Vid alla tider t < är värmekällan avstängd och väggens temperatur är stationär. För tider t > produceras det en konstant värmemängd per tids- och volymsenhet inom väggen. Beräkna den tidsberoende temperaturfördelningen i väggen för tider t >. 6p Ledning: Du kan behandla detta som ett endimensionellt problem. LYCKA TILL! 2

3 Suggested solution of the FYSMAT exam June 5, Ansatsen ux, y fx cos2y ger [f x 4fx] cos2y, fx2 sin2y om y OK och y π OK, f cos2y och fπ cos2y cos2y. Detta ger f x 4fx, f, fπ 1 fx sinh2x sinh2π. ux, y sinh2x sinh2π cos2y. 2. Låt ux, y, t vara avvikelsen av membranet från jämviktslägget i punkten x, y vid tiden t, x a, y a, t ; a > är sidolängden av kvadraten. Problemet lyder ρu tt Su xx + u yy < x < a, < y < a, t > ux,, t ux, a, t < x < a, t > u, y, t ua, y, t < y < a, t > ux, y,, u t, x, y p a 2 ρ < x < a, < y < a där ρ > är membranets masstäthet och S > är membranets spännkraft OBS att p a dx a dyρu tx, y, t. 3. Ansatsen vx, t V x, PDE och RV ger V x 1, V V 1 V x 1 x1 x. 2 Ansatsen vx, t V x + ux, t, PDE, RV och BV ger ux, t 2 ux, t < x < 1, t > t x 2 u, t, u1, t t > ux, Ux < x < 1 som kan lösas med Fouriers method ux, t a n sinnπxe nπ2t, n1 a n 2 1 sinnπxuxdx. Integralen kan beräknas a n 2 nπ 2 1 dx Ux d2 dx 2 sinnπx 2 nπ 2 1 dx U x sinnπx 2 nπ cosnπ 1, 3 1 dvs., a n om n 2m + 2 och a n 4/nπ 3 om n 2m + 1, m, 1, 2,.... vx, t 1 2 x1 x m 4 [2m + 1]π 3 sin[2m + 1]πxe [2m+1]π2t. 3

4 4. a xθx 2 d 2 b dx 2 xθx 2 d dx θx 2 + xδx 2 2δx 2 δx 2 + 2δ x 2. f x δx f x θx 1 + c 1 fx x 1θx 1 + c 1 x + c 2 ; f c 2, f c 1 c 1 1/2, c 2. fx x 1θx 1 x/2. OBS: g x G xθx a gx [Gx Ga]θx a + c med en integrationskonstant c. c 3 3 dx 2δx 2 3δ x δ x 4 dx 2 sin4 + 6 cos2. 2 δx 2 sin2x 3 δx 2 sin4 om x 3 sin2x δ x 1 sin2x δ x 1 sin2 δx 12 cos2 2 sin4 + 6 cos2. DEL 2 5. Låt T r, θ vara temperaturen i cylindern i polära koordinater, x r cosθ, y r sinθ. Probemet lyder u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ < r < R, < θ < 2π lim r ur, θ < < θ < 2π + { T ur, θ fθ < θ < π T π < θ < 2π. Problemet kan lösas med Fouriers metod. Lösnigen till PDE och RV i origon r är ur, θ c n r/r n e inθ, och RV i r R ger ur, θ n1 c n 1 2π 2π n fθe inθ dθ T π e inθ dθ 2π { n T 1 πin 1n n. r/r n T πin 1 1n e inθ e inθ 4T π m 2π π e inθ dθ r/r n sin2m + 1θ. 2m + 1 4

5 6F. a Låt ux, t vara konzentationen av ämnet vid positionen x och tiden t, < x < och t >, där x är punkten där ämnet injiceras. Problemet lyder u t Du xx cu t >, < x < ux, U δx < x < lim ux, t < t > x med diffusionskonstanten D > och c ln2/t >, där T är halveringstiden av ämnet och U > hela mängden av ämndet i början PDE, RV och BV visa att hela mängeden av ämnet Ux ux, tdx uppfyller U t cut, U U, dvs., Ut U exp ct. Detta ger UT U exp ct U /2 T ln2/c. Fouriertransformen ûk, t ux, te ikx dx ger û t k, t + Dk 2 + cûk, t, ûk, U ûk, t U e Dk2 +ct. Inversa Fouriertransformen ger lösningen. ux, t dk 2π U e Dk2 +ct+ikx U 4πDt e x2 /4Dt ct. b Greenfunktionen Gx, t, x, t är lika med lösningen ux, t till problemet u t Du xx + cu δx x δt t t >, < x < ux, < x < lim ux, t < t >. x Problemet är translationsinvariant Gx, t, x, t G x x, t t där G t DG xx + cg δxδt t >, < x < G x, t < x <, t < lim G x, t < t >. x Fouriertransformation Ĝk, t G x, te ikx dx ger Ĝ t k, t+dk 2 +cĝk, t δt, Ĝ k, t < Ĝk, t θte Dk2 +ct. Inversa Fouriertransformen ger, som ovan, G x, t dk +ct+ikx 1 2π θte Dk2 θt e x2 /4Dt ct. 4πDt Greenfunktionen är Gx, t, x, t G x x, t t med G x, t ovan. 6CL. Som [6F]a med c. 5

6 7. Låt V r, t vara elektriska potentialen i punkten r x, y, z vid tiden t. Enligt ledningen gäller PDE u tt c 2 u, RV u r R, och BV u t t, u t. Problemet är rotationssymmetrisk elektriska potentialen V V r, t beror bara på r r x 2 + y 2 + z 2 och tiden t. Problemet lyder V tt c 2 V rr + 2 r V r < r < R, t > V R, t t > V r, U, V t r, t < r < R. Problemet kan lösas med Fouriers metod. Detta ger V r, t n1 c n sink n r k n r cosck n t, c n R drr2 U sink n r/k n r R drr2 sink n r 2 /k n r 2, k n n π R p.g.a. j z sinz/z. Integralen kan beräknas som ovan: c n 2k nu R R drr sink n r 2U 1 n+1. V r, t 2U n1 1 n+1 sink nr k n r cosck n t, k n n π R. 8F. Låt ux, t, x L, t, vara temperaturen vid positionen x och vid tiden t; x är avståndet från innesidan, och L > är väggens tjocklek. Problemet lyder u t au xx < x < L, t > u, t T, ul, t T 1 + T 2 sinωt t >. Vi delar upp problemet i två delar: ux, t Ux + vx, t där au x < x < L, U T, UL T 1 Ux T +T 1 x/l 1 och v t av xx < x < L, t > v, t, vl, t T 2 sinωt t >. OBS att vx, t T 2 IV x, t T 2 V x, t V x, t /2i där komplexvärda funktionen V x, t är lösningen till problemet V t av xx < x < L, t > V, t, V L, t e iωt t > Ansatsen ger V x, t fxe iωt, iωfx af x, f, fl 1 6

7 som har lösningen Detta ger OBS att fx sin 2iκx ω sin 2iκL, κ 2a. V x, t sin 2iκx sin 2iκL eiωt. sin 2iκx sin 1 iκx sinκx coshκx i cosκx sinhκx p.g.a. 2i 2e iπ/2 1 i. Detta ger sinκx coshκx i cosκx sinhκx IV x, t I sinκl coshκl i cosκl sinhκl eiωt 1 sin 2 κl cosh 2 κl + cos 2 κl sinh 2 κl I sinκx coshκx i cosκx sinhκx sinκl coshκl + i cosκl sinhκle iωt 1 sin 2 κl + sinh 2 cosωt[sinhκl cosκl coshκx sinκx κl coshκl sinκl sinhκx cosκx] + sinωt[coshκl sinκl coshκx sinκx + sinhκl cosκl sinhκx cosκx]. ux, t T + T 1 x/l 1 + T 2 I sin 2iκx ω sin 2iκL eiωt, κ 2a. där I är imaginärdelen. 8CL. Låt ux, t, x L, t, vara temperaturen vid positionen x och vid tiden t; x är avståndet från innesidan, och L > är väggens tjocklek. För t < lyder problemet ux, t Ux där au xx < x < L, U T, UL T 1 som har lösningen Ux T + T 1 x/l 1. För t > lyder problemet u t au xx q < x < L, t > u, t T, ul, t T 1 t > ux, T + T 1 x/l 1 t >. PDE och RV har en partikulärlösning ux, t V x som uppfyller av x q < x < L, V T, V L T 1 7

8 som har lösningen V x T + T 1 x/l 1 q xx L. Ansatsen ux, t 2a V x + vx, t ger v t av xx < x < L, t > v, t, vl, t t > vx, q xx L 2a t > som kan lösas med Fouriers metod, vx, t a n sink n xe ak2 n t, k n n π L, a n 2 L n1 Integralen kan beräknas som i uppgiften 3, a n 2q1 1n. Lakn 3 ux, t T +T 1 x/l 1 q 2a xx L ql2 2a m L sink n x q xx Ldx. 2a 4 π2t/l2 2m sin2m+1πx/le a2m+12. π3 8