KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A1304/5A1305 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 11 januari 2006, kl 08:00-13:00

Transkript

1 KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A304/5A305 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den januari 006, kl 08:00-3:00 Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs, och vilken termin kursen gick! Tillåtna hjälpmedel: ) Teoretisk fysiks formelsamling ) BETA 3) NBS Handbook of Mathematical Functions 4) Josefsson, Formel- och tabellsamling i matematik 5) Tefyma 6) Spiegel, Mathematical Handbook Obs! Miniräknare är ej tillåten. Examinator: Edwin Langmann (tel: epost: langmann@kth.se) Resultat: Anslås på institutionens studentexpedition, Roslagstullsbacken Lösningar: Kommer att finnas på kurshemsidan, Motivera utförligt! Otillräckliga motiveringar medför poängavdrag. Inför och förklara själv de konstanter du behöver!. Ett homogent kubiskt rum med sidolängd L är värmeisolerat vid alla randytorna x = 0, y = 0, z = 0, x = L, y = L och z = L. Temperaturen i rummet vid tiden t = 0 beror bara på koordinaten z och är lika med T 0 + Cz (z 3L), där T 0 > 0 och C är konstanter. Beräkna temperaturutvecklingen i rummet för t > 0. Anta att värmeledningsekvationen med en konstant värmediffusivitet gäller.. En gasmängd är instängd inom en sfär med radie R och utför akustiska svängningar som kan beskrivas med en hastighetspotential Φ. Potentialen uppfyller vågekvationen med Neumannvillkor, d.v.s. Φ:s normalderivata vid randen r = R är noll. (a) Beräkna hastighetspotentialen Φ(r, t) som funktion av positionen r och tiden t > 0 om Φ(r, 0) = Φ 0 > 0 för 0 r R/ och Φ(r, 0) = 0 för R/ < r R; tidsderivatan Φ t (r, 0) är noll inom hela sfären. (b) Beräkna grundtonens frekvens. 3. (a) Bestäm den elektrostatiska potentialen V (r, ϕ) inom området 0 r < a och 0 ϕ π om följande randvillkor är uppfyllda: V (r, 0) = V (r, π) = V 0, V (a, ϕ) = V 0 + V sin (ϕ), där (r, ϕ) är polära koordinater samt V 0, V och a > 0 är konstanter. Potentialen uppfyller Laplaces ekvation. (b) Definiera, beräkna, och ge en fysikalisk tolkning av Greenfunktionen till problemet i (a).

2 Ledning: Greenfunktionen kan beräknas antingen med spegling eller med produktmetoden. 4. Härled ett analytiskt uttryck för vägen som en ljudsignal följer i jordskorpan, t.ex. efter en sprängning, om man antar att jordskorpans densitet ökar linjärt med djupet. Ljudhastigheten antas vara proportionell mot jordskorpans densitet. Fermats princip antas gälla, d.v.s. ljudet tar den snabbaste vägen mellan två punkter. Ledning: Ansätt vägen som funktion y(x) i ett kartesisk koordinatsystem, där y är djupet och x axeln är parallel med jordytan. 5. Temperaturvariationen i en källare är mindre än vid jordytan och den har en viss fasförskjutning d.v.s. det finns en tidsfördröjning mellan vintern (den kallaste tiden) utanför och i källaren. Detta kan förklaras med följande enkla modell för jordskorpans temperatur: Jordytan behandlas som ett plan, där temperaturen antas vara given som en periodisk funktion f(t) med perioden τ, vilken är lika med ett år. Vidare antas att temperaturen endast varierar med djupet och uppfyller den endimensionella värmeledningsekvationen med en konstant värmediffusivitet a. (a) Beräkna temperaturen som funktion av tiden och djupet. Ledning: Problemet kan lösas med produktmetoden. Räkningarna blir enklast med komplexvärda egenfunktioner. (b) Bestäm och diskutera lösningen för specialfallet f(t) = T 0 T cos(ωt) med årsmedelvärdet T 0, årsvariationen T och Ω = π/τ. Beräkna fasförskjutningen och den minsta temperaturen som funktion av djupet. Uppskatta djupet i Stockholm, där jorden är kallast i augusti. Värmediffusiviteten är approximativt 0 7 m /s och τ = s s. Antag att T 0 = 7 C och T = 0 C. (c) I uppgift (b) ignoreras snabba temperaturvariationer, d.v.s. termer med frekvenser nω där n = ±, ±3,.... Diskutera om och när detta ger upphov till en bra approximation. LYCKA TILL!

3 Lösningsföreslag till FYSMAT Tentamen den januari 006. Temperaturen u = u(z, t) beror bara på z och tiden t därför att rummet är isolerat vid randytorna x = 0, L och y = 0, L och begynnelsetemperaturen beror bara på z. Problemet lyder därför u zz + a u t = 0 u z (0, t) = u z (L, t) = 0 u(z, 0) = T 0 + Cz (z 3L) α(z) där u = u(z, t), 0 z L och t 0 skall bestämmas. Produktmetoden ger allmänna lösningen till PDE och RV: och BV ger konstanterna: BETA ger Svaret blir u(z, t) = c 0 + c n cos(k n z)e ak n t, n= c n = L L 0 dz cos(k n z)α(z). k n = nπ/l, c 0 = T 0 CL 3, c n = 4CL 3 (Lk n ) 4( ( )n ) n > 0. u(z, t) = T 0 CL3 + 48CL 3 n=,3,5... (k n L) 4 cos(k nz)e ak n t, k n = nπ/l.. (a) Problemet är rotationssymmetriskt, och därför beror Φ bara på sfäriska koordinaten r = r och tiden t: vi skall beräkna Φ = Φ(r, t), t 0 och 0 r R. Vågekvationen i sfäriska koordinater blir då och vi har RV och BV med Heavisidefunktionen Θ. Lösningen är r r(r r Φ) + c Φ tt = 0, Φ r (R, t) = 0 Φ t (r, 0) = 0, Φ(r, 0) = Φ 0 Θ(R/ r) Φ(r, t) = A n j 0 (k n r) cos(ck n t) n= med sfäriska Besselfunktionen j 0 (z) = sin(z)/z och k n = η n /R där η n är nollställena till j 0: j (η n ) = 0, och dem inhomogena BV ger konstanterna A n : A n j 0 (k n r) = Φ 0 Θ(R/ r) A n = n= R 0 drr j 0 (k n r)φ 0 Θ(R/ r) R. 0 drr j 0 (k n r)

4 Enkel räkning ger R/ drr sin(k 0 n r) A n = Φ 0 R dr 0 sin (k n r) = Φ sin(k n R/) k n R cos(k n R/) 0 k n (k n R cos(k n R) sin(k n R)). Nollställena bestämms genom (sin(z)/z) z=ηn = 0 η n = tan(η n ). (b) Grundsvängningen är sfäriskt symmetrisk och lika med Φ 0 (r, t) = j 0 (k r) cos(ck r). Grundfrekvensen är därför ω = ck där k = η /R och η > 0 är minsta nollställe till j 0 (z): j 0 (η ) = 0, d.v.s. η = Svar: ω 4.493c/R. 3. Problemet lyder r (ru r) r + r u ϕϕ = 0 u(r, 0) = u(r, π) = 0, u(a, ϕ) = V sin (ϕ), u(0, ϕ) < där u(r, ϕ) = V (r, ϕ) V 0, 0 r < a, 0 ϕ π. Separationen osv. ger där Svar: A n = u(r, ϕ) = A n r n sin(nϕ) n=0 π dϕ sin(nϕ)v 0 sin (ϕ) π dϕ = 0 sin (nϕ) π V 8 ( )n n(n 6) om n 4 och A 4 = 0. V (r, ϕ) = V 0 + V 3 π n=,3,5,... n(6 n ) rn sin(nϕ). (b) Greenfunctionen G(r,r ) definieras genom r G(r,r ) = δ (r r ), G(r,r ) r =R = G(r,r ) y=0 = 0 där r = (x, y), r = (x, y ) och r,r Ω = {(x, y) R : r R, y 0}. Greenfunctionen kan beräknas med udda spegling, G(r,r ) = G (r,r ) G (r,r ), r = (x, y ), r = (x, y ) där G är Greenfunktionen för hela skivan r R, som kan beräknas med speling i cirkel (FMM, Kapitel 6.5.3): G (r,r ) = 4π ln((r/r) + (r /R) (rr /R ) cos(ϕ ϕ )) + 4π ln((rr /R ) + (rr /R ) cos(ϕ ϕ ))

5 där x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ) osv. OBS att G (r,r ) = 4π ln((r/r) + (r /R) (rr /R ) cos(ϕ + ϕ )) + 4π ln((rr /R ) + (rr /R ) cos(ϕ + ϕ )). Greenfunktionen kan också beräknas med produktmetoden (FMM, Kap. 6.6). 4. Signalens hastighet är v = k ( + k y) där k, k är konstanter. Vi skall minimera tiden ds T = dt = v = + (yx ) dx = F(y, y x )dx. k + k y k Eftersom integranden inte beror explicit av x kan vi istället för Euler-Lagranges ekvation använda förstaintegralen F y x F y x = C 0 = + (yx ) + k y (y x ) ( + k y) + (y x ) där C 0 är en konstant. Förenklat blir detta dy dx = ± /C0 ( + k y) ( + k y) Nu kan x lösas x = ± ( + k y) /C 0 ( + k y) dy. Substituera u = + k y vilket ger x = k u /C 0 u du. Substituera v = u vilket ger x = k /C 0 v dv = ) (/C0 /C 0 ( + k y) k C. Detta kan skrivas som ekvationen för en cirkel ( ) ( ) (x + C k /C0 ) + + y =. k k C 0 5. (a) Låt u(x, t) vara temperaturen vid tiden t 0 och normalavstånd x från jordytan. Problemet lyder u(0, t) = f(t), u t (x, t) + au xx (x, t) = 0 lim u(x, t) < x där f(t) är en periodisk funktion, f(t) = f(t + τ) där τ = π/ω. Vi skriver f(t) = n Z C n e iωnt

6 med Fourierkoefficienterna C n = (/τ) τ 0 dtf(t)e iωnt. OBS att C n måste vara komplex konjugerad till C n, d.v.s. C n = C n e isign(n)γn med vissa reella konstanter γ n, därför att f(t) är reell: f(t) = C 0 + C n cos(ωnt + γ n ) n= är manifest reel. Produktansatsen u(x, t) = g(x)h(t) och PDE ger Vi är interesserade av produktlösningar där d.v.s. g (x) i(ωn/a)g(x) = 0. Detta ger h (t) + λh(t) = 0, g (x) (λ/a)g(x) = 0. h(t) = e iωnt, g(x) = e kx där k = iωn/a = isign(n)ω n /a, eller k = k ± = ±(sign(n)i + ) Ω n /a. Lösningen med k = k + växer exponentiellt för x och måste därför kastas bort. Men lösningen för k = k är bra, g(x) = e (sign(n)i+) Ω n /(a)x. Superpositionen ger allmäna lösningen till PDE och homogena RV, u(x, t) = n Z A n e iωnt e (sign(n)i+) Ω n /(a)x, och inhomogena RV ger A n = C n med C n = C n e iγnsign(n) som ovan. Lösningen som är manifest reel blir då u(x, t) = C 0 + C n e Ω n /(a)x cos(ωnt + γ n Ω n /(a)x). n= (b) f(t) = T 0 T cos(ωt) = T 0 (T /)(e iωt + e iωt ) ger C 0 = T 0, C ± = T / och C n = 0 annars. Lösningen ovan blir då Lösningen har formen u(x, t) = T 0 T e Ω/(a)x cos(ωt Ω/(a)x). u(x, t) = T 0 T (x) cos(ωt γ(x)) där T (x) = T exp( Ω/(a)x) är amplituden av temperatursvängningen och γ(x) = Ω/(a)x fasförsjutningen: Minsta temperaturen som funktion av djupet x är Tmin (x) = T 0 T (x) = T 0 T exp( Ω/(a)x), och tiden där temperaturen vid x är minst är Ωt vinter γ(x) = 0, π, 4π..., d.v.s. t vinter = γ(x)/ω = x/ aω = x τ/(4πa) är tidsförsjutningen mellan vintern utanför och i djupet x. Jorden är kallast i augusti vid djupet x = x τ/ där tidsförsjutningen är lika med τ/ (ett halvt år), d.v.s. τ = x / τ/(4πa) x/ = πaτ m 4.5 m

7 Om källaren har djupet 4.5 m så är den kallast i augusti. Temperaturamplituden där är minskad med en faktor exp( π/(τa)x / ) = exp( π) (c) Termer med frekvenser nω är C n e Ω n /(a)x cos(ωnt + γ n Ω n /(a)x). och minskar mycket snabbare för n > och större värden av x: jorden verkar som harmonisk analysator, och bara grundfrekvensen med n = är relevant om djupet blir större.