1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0

Transkript

1 KTH Fysik Tentamen i 5A1306 Fysikens matematiska metoder: PDE-tentamen Fredagen den 8 juni 2007 kl Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: 1) Teoretisk fysiks formelsamling 2) BETA 3) NBS Handbook of Mathematical Functions 4) Josefsson, Formel- och tabellsamling i matematik 5) Tefyma 6) Spiegel, Mathematical Handbook 7) Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae Obs! Miniräknare ej tillåten. Examinator: Lösningar: Motivera utförligt! Edwin Langmann (tel: Epost: langmann@kth.se) Kommer att finnas på kurshemsidan, Otillräckliga motiveringar kan medför poängavdrag. Inför och förklara själv konstanter och symboler du behöver! 1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0 u x (0, y) = 0, u x (a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, a) = Cx där C > 0 och a > 0 är konstanter. (4p) (b) Komplettera i detalj följande tolkning av modellen i (a): Problemet i (a) kan tolkas som modell för...temperaturen... (2p) 2. Betrakta ett cirkulärt plant inspänt membran med radie R > 0. (a) Membranet släpps vid tiden t = 0 utan begynnelsehastighet från tillståndet u(r, 0) = c 1 J 0 (α 0,1 r/r) + c 2 J 0 (α 0,2 r/r) där α 0,n är nollställena till Besselfunktionen J 0 och c n är konstanter (n = 1, 2). Ställ upp en matematisk modell för membranets svängning. Lös problemet. (5p) (b) Ange membranets grundfrekvens (1p). 3. (a) Operatorn A beskrivs av Au(x) = u (x) D A = {u C 2 ([0, 1] u (0) = u(1) = 0}. Bestäm alla egenfunktioner och egenvärden till A. (2p) (b) I ett smalt, slutet rör med längden L finns luft uppblandad med rök med koncentrationen q. Vid tiden t = 0 öppnas den ena änden av röret och ansluts till rökfri utomhusluft. Ingen rök nybildas eller förintas efter t = 0. Ställ upp en matematisk modell för rökgaskoncentrationen i röret efter t = 0. Lös problemet. Diffusionskonstanten kan sättas till 1. (4p)

2 4. Betrakta värmeledningsproblemet för en oändlig lång stav u t (x, t) au xx (x, t) = c(u(x, t) u 0 ), x R, t > 0 u(x, 0) = u 0 + g(x), där a > 0, c > 0 och u 0 är konstanter. x R (a) Ge en rimlig fysikalisk tolkning av högerledet i differentialekvationen. (1p) (b) Lös problemet i fallet g(x) = g 0 δ(x) där g 0 är en konstant. (2p) (c) Ange en lösningsformel för en allmän funktion g. (Funktionen g förutsätts vara absolutintegerbar.) (3p) 5. En Fata morgana är ett optiskt fenomen som uppträder då atmosfärens brytningsindex varierar med höjden och där objekt och områden bortom horisonten blir synliga. Använd Fermats princip för att ge en förklaring. (6p) Ledning: Fermats princip säger att ljuset följer den väg för vilken n ds antar ett extremvärde, där n är brytningsindex och s = ds är båglängden. Anta att n(x, y) = n 0 (1 ay) där y-axeln är riktad uppåt, x-axeln är parallell med jordens yta, och n 0 > 0, a > 0 är konstanter. Bestäm ljusets bankurva y(x) om y(0) = 0 och y (0) = b > 0. Ledning: Laplaces operator i polära koordinater är 2 r r r r 2 ϕ 2. LYCKA TILL!

3 Lösningsföreslag till PDE-tentamen Hjälpproblemet har lösningar f (x) = λf(x), f (0) = f (a) = 0 (f 0 (x) = 1). Vi utvecklar och f n (x) = cos(k n x), k n = n π a, λ n = k 2 n Cx = u(x, y) = b n f n (x), n=0 a c n (y)f n (x) n=0 b 0 = 1 a a 0 Cxdx = Ca 2 b n>0 = 2 cos(k n x)cxdx = C[( 1)n 1]. a 0 akn 2 RV 1 och 2 är då uppfyllda, och PDE och BV 3 och 4 ger med lösningar Svar: c n(y) k 2 nc n (y) = 0, c n (a) = b n, c n (0) = 0 u(x, y) = Cy 2 + c 0 (y) = b 0 y a, c n>0(y) = b n sinh(k n y) sinh(k n a). C[( 1) n 1] ak 2 n cos(k n x) sinh(k ny) sinh(k n a), k n = n π a. (b) Problemet i (a) kan tolkas som modell för temperaturen i en plan kvadratisk platta som är isolerad vid z = 0 och z = h (= tjockleken av plattan) där ränderna x = 0 och x = a är isolerade, ränderna y = 0 och y = a har fixerad temperatur 0 och Cx. 2. Problemet är rotationssymmetriskt, och vi kan därför anta att membranets amplitud u bara är en funktion av avståndet r från symmetriaxeln och tiden t 0: u = u(r, t). Problemet lyder Hjälpproblemet 1 r (ru r) r 1 c 2u tt = 0 u r=r = 0 u(r, 0) = c 0 J 0 (α 0,1 r/r) + c 1 J 0 (α 0,2 r/r), u t (r, 0) = 0. 1 r (rf (r)) = λf(r), f(r) = 0, f(0) < har lösningar f n (x) = J 0 (k n r), k n = α 0,n, n = 1, 2,.... R

4 Utvecklingen: och PDE och BV ger u(r, t) = c n (t)f n (r), som löses genom Svar: c n(t) + (k n c) 2 c n (t) = 0, c n(0) = 0, c 1,2 (0) = c 1,2, c n>2 (0) = 0 c 1,2 (t) = c 1,2 cos(ck n t), c n>2 (t) = 0. u(r, 0) = c 0 J 0 (k 1 r) cos(ck 1 t) + c 2 J 0 (k 2 r) cos(ck 2 t), k n = α 0,n R. (b) Grundfrekvensen är ck 1 = cα 0,1 /R. 3. (a) u n (x) = cos(k n x), k n = π(n 1/2), n = 1, 2,..., λ n = k 2 n. (b) Placera x-axeln längs rörets axel med origo i den slutna änden och så att den öppna ändan hamnar i x = L. Om u(x, t) är rökkoncentrationen i x vid tiden t 0 så kan vi ställa upp följande modell: u t u xx = 0, 0 < x < L, t > 0 u x (0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = q, 0 < x < L. Med hänsyn till resultatet i a) gör vi följande ansats PDE och BV ger att och u n (x, t) = c n (t) cos(k n x), k n = (n 1/2) π L. c n (t) + k2 n c n(t) = 0, Svar: Rökkoncentrationen är 4q( 1) n 1 u(x, t) = (2n 1)π c n (0) = 2 L L c n (t) = c n (0)e k2 nt. 0 q cos(k n x)dx = 4q( 1)n 1 (2n 1)π π2t/l2 sin((n 1/2)πx/L)e (n 1/2)2. 4. (a) En tolkning är att u är stavens temperatur och u 0 omgivningstemperaturen. Staven är ej perfekt isolerad utan svalnar enligt Newtons avsvalningslag, värmeförlusten är proportionell mot temperaturdiferensen. (b) och (c) v(x, t) = u(x, t) u 0 uppfyller v t (x, t) av xx (x, t) + cv(x, t) = 0, x R, t > 0

5 Fouriertransformen ger som har lösningen v(x, 0) = g(x), x R. ˆv(k, t) = ˆv t (k, t) + (ak 2 + c)ˆv(k, t) = 0, Inversa Fouriertransformen ger lösningen v(x, t) = 1 2π dxv(x, t)e ikx ˆv(k, t) = e (ak2 +c)tĝ(k). dk e (ak2 +c)tĝ(k)e ikx = ˆv(k, 0) = ĝ(k) dy G(x y)g(y) där (b) Svar: (c) Svar: G(x) = 1 dk e (ak2 +c)t e ikx = 1 e ct e x2 /(4at). 2π 4πat u(x, t) = u 0 + g 0 1 4πat e ct e x2 /(4at). u(x, t) = u πat e ct dy e (x y)2 /(4at) g(y). 5. Antag att en person befinner sig i x = 0 och ett objekt (t.ex. en oas) i x = l > 0, och vi skall visa att det finns en ljusväg y(x) mellan personen och objektet för vissa l-värden. Enligt ledningen skall ljusets väg extremera funktionalen I[y] = l 0 (1 ay(x)) 1 + y (x) }{{} 2 dx =:F(y(x),y (x)) med randvillkor y(0) = y(l) = 0 där y (0) > 0. Integranden beror ej explicit av x. Vi har därför första integralen Inför u = (1 ay)/a. Ekvationen blir då F y F y = (...) = 1 ay 1 + y 2. u 1 + u 2 x = C 1 med en konstant C 1. Ekvationen är separabel och kan skrivas på formen du (u/c1 ) 2 1 = dx som kan integreras, C 1 arccosh(u/c 1 ) = x + C 2.

6 Detta ger y(x) = 1 a C 1 cosh(x/c 1 + C 3 ), där C 3 = C 2 /C 1 och C 1 bestäms av RV 0 = 1 a C 1 cosh(c 3 ) = 1 a C 1 cosh(l/c 1 + C 3 ). Nu skall man visa att det finns konstanter C 1,3 som uppfyller detta för givna värden 1 av l och a: Första ekvationen ger C 1 = acosh(c 3, och andra ) cosh(c 3 ) = cosh(la cosh(c 3 ) + C 3 ) C 3 = ±(la cosh(c 3 ) + C 3 ) som kan ha en lösning för - om cosh(c 3 ) = 2 la C 3. Man kan visa att det finns en lösning C 3 < 0 om l < /a.