TENTAMEN Tillämpad Systemanalys 5hp för W3

Transkript

1 TENTAMEN Tillämpad Systemanalys 5hp för W3 Tid: , Plats: Polacksbacken, Skrivsal. Ansvarig lärare: Kjartan Halvorsen, tel Kjartan kommer och svarar på frågor ungefär kl och Tillåtna hjälpmedel: Ett A4-papper med egna notater, miniräknare och matematisk formelsamling (Mathematics handbook, BETA, TEFYMA, Formel och tabellsamling i sannolikhet och statistik, samt Physics handbook). Preliminära betygsgränser: 3:[30, 38[, 4:[38, 45[, 5:[45, 60 = maxpoäng] Uppgift Max poäng Skrivningspoäng 50 Bonuspoäng 10 Totalt 60 OBS: För in dina lösningar på separat papper. Skriv din kod på varje blad. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade. Lycka Till och God Jul!

2 2

3 Uppgift 1 En vattenreservoar ska byggas för att ge jämnare tillgång på vatten i ett bevattningssystem (irrigation district). Det finns två variabler som ska optimeras: X är mängden vatten avledat till bevattning under året och Y är kapaciteten på reservoaren. Året är indelat i en torkperiod och en regnperiod. Under torkperioden töms hela reservoaret, vilket ger ett tillskott på Y till mängden vatten i floden, medan under regnperioden fylls reservoaren igen. Två flodgrenar rinner ihop precis innan bevattningsssystemet, och det är den ena av dessa två som ska dämmas upp. Typiska totala vattenmängder i regnrespektive torkperiod är angivna i figur 1 i miljarder kubikmeter. Figur 1: Flöden i vattensystemet. Från Stark and Nicholls, Av hela årets förbrukning av vatten i bevattningssystemet används 60% under torkperioden och 40% under regnperioden. Att under ett år bevattna med en mängd vatten X ger en nytta i form av ökad produktivitet i jordbruket. Nyttan uppskattas till 40X. Å andra sidan är det en kostnad förknippat med att bygga och underhålla reservoaren. Kostnaden är ungefär proportionell mot reservoarens kapacitet och uppskattas till 30Y. (a) Visa och motivera kortfattat att modellen ovanför ger upphov till linjärprogrammeringsproblemet maximera X,Y f = 40X 30Y under bivillkoren Y X + Y X Y 1.8 X, Y 0. (3p) 1

4 (b) Lös problemet grafiskt. Rita in alla bivillkor samt en nivåkurva för kriteriefunktionen. Markera i vilken riktning kriteriefunktionen växer och identifiera den optimala lösningen. Räkna ut den optimala lösningen X, Y och f. (4p) (c) Lös problemet med Simplexmetoden. (4p) (d) Antag istället att kostnaden för reservoaren är (30 + θ)y. För vilka värden på θ löner det sig inte längre att anlägga reservoaren? Vad blir den optimala lösningen då? (3p) (e) Beskriv kort två viktiga antaganden (2-3 meningar per antagande) som måste ha gjorts för att kunna formulera problemet så som i uppgiftstexten. (2p) Uppgift 2 En kommun ska reda ut huruvida man ska ge tillstånd till att bygga och driva en ny industrianläggning i kommunen. Om man ger tillstånd så räknar man med en högre sysselsättning i kommunen och ett tillskott i skatteintäkter från industrins verksamhet. Dock innebär den nya industrin en belastning på miljön. Det finns ett känsligt vattendrag i kommunen, och en analys av den nya industrins miljöpåverkan har identifierat tre möjliga scenarier: Liten påverkan (sannolikhet 0.3), medel påverkan (sannolikhet 0.5) och hög påverkan (sannolikhet 0.2). Kostnader för försämringen av miljön har uppskattats till 2 miljoner per år vid låg miljöpåverkan, 4 miljoner per år vid medel påverkan och 8 miljoner per år vid hög påverkan. (a) Rita ett beslutsträd. Ta med alla möjliga utfall. (3p) (b) Hur stora måste de extra skatteintäkterna vara per år för att kommunen ska ge tillstånd till industrin, givet att kommunpolitikerna är rationella beslutsfattare? (3p) (c) Beskriv kort två antaganden som kan tänkas ligga till grund för den enkla modell av beslutssituationen som beskrivs ovan. (2p) Uppgift 3 Ett program för strålningsbehandling innebär att en cancerpatient gör ett antal besök till en strålningsklinik under en viss behandlingsperiod. Antal strålningsbehandligar som en patient ska genomgå varierar från individ till individ. Vi tänker oss att antalet behandlingar som läkaren ordinerat till en given patient ges av slumpvariablen X. En strålnings-behandling tar 1 timme (deterministisk). Det finns en enstaka strålningsapparat i kliniken. Det är M stycken patienter i behandlingsprogrammet samtidigt, och dessa genomgår behandling i tur och ordning. När en patient är klar med en behandling ställs hen i kö för nästa behandling om antalet behandlingar patienten har genomgått är mindre än X. Om patienten har nått upp till sina X behandlingar, så är patienten klar, och en ny plats i programmet öppnas upp. Denna plats tas i anspråk av den patient som står först i kön av patienter som remitterats till behandlingsprogrammet. Nya cancerpatienter ankommer enligt en Poissonprocess med frekvensen λ. Dessa 2

5 hamnar alltså i kö tills dess att en plats i behandlingsprogrammet blir ledig. (a) Gör flödesscheman för processerna i det beskrivna kösystemet. Flödesscheman ska vara process-baserade och kunna användas för pseudo-parallell simulering av systemet. Ange eventuella egna antaganden. (7p) (b) Ge två förslag på rimliga förbättringar av modellen som gör den mer realistisk. (2p) (c) Hur försäkrar man sig om att simuleringar av modellen ger bra underlag för beslut gällande det verkliga systemet? (3p) Uppgift 4 En ofta förekommande dynamisk modell för HIV-viruset i kroppen består av tre variabler: T (t) är antalet icke-infekterade T-celler, T (t) är antalet infekterade T-celler och V (t) är antalet viruspartiklar. Modellen är dt = λ ρt ηt V dt dt = ηt V δt dt dv dt = NδT cv (a) Parametern N är antalet viruspartiklar som produceras per infekterad T-cell. Beskriv kort den biologiska tolkningen av de andra parametrarna i modellen: λ, ρ, η, δ och c. (2p) (b) Visa att i en kropp som inte är infekterad så är antalet T-celler lika med T 0 = λ ρ. (1p) (c) I början av infektionen är antal viruspartiklar få och antalet icke-infekterade T-celler stort och approximativt konstant. Det ger modellen dt = ηλ dt ρ V δt dv dt = NδT cv Denna modell avses i denna och resterande deluppgifter. I figur 2 är nollisoklinerna utritade i fasdiagrammet. Bestäm riktningen på vektorfältet (som definieras av differentialekvationerna) på nollisoklinerna samt på axlarna. Motivera huruvida jämviktspunkten i origo är stabil eller inte. Figuren återges även sist i häftet. (5p) (d) Antag att en frisk person (T (0) = 0) infekteras med ett litet antal viruspartiklar (V (0) = V 0 ). Skissa i fasplanet (samma som i din lösning till (c)) ungefär hur antalet infekterade T-celler och antalet viruspartiklar utvecklar sig enligt modellen. (2p) 3

6 T (antal infekterade T-celler) dt dt = 0 dv dt = 0 V 0 V (antal viruspartiklar) Figur 2: Fasdiagram för modellen av HIV-infektionens början (e) I fasdiagrammet i figur 2 så gäller c N < ηλ ρ. Hur tror du infektionen skulle bete sig om istället c N > ηλ ρ? (1p) (f) Gör en grafisk simuleringsmodell (Simulink eller Powersim) av modellen för infektionens början. (3p) 4

7 T (antal infekterade T-celler) dt dt = 0 dv dt = 0 V 0 V (antal viruspartiklar) 5

8 6

9 Lösningar Uppgift 1 (a) Funktionen som ska optimeras är självklart vinsten, vilket är intäkter minus kostnader, alltså f = 2X 30Y. Flödet i floden kan inte vara negativt. Alltså har vi för flödet direkt efter förgreningen där vatten ledas ut för bevattning Regnperiod3.9 Y 0.4X 0 Torkperiod1.8 + Y 0.6X 0 Detta ger med lite omskrivningar det givna LP-problemet. (b) Y Tillåtna rummet X + Y = 3.9 f 0.6X Y = 1.8 optimala punkten X (c) Simplexlösning 7

10 Basvar. f X Y s 1 s 2 s 3 Högerled f s /10 s 2 0 2/ /10 s 3 0 3/ /5 f / /3 120 s /10 s / /3 27/10 X 0 1-5/ /3 3 f /5 s /5 2/5 42/25 Y /5-2/5 81/50 X /10 (d) Det finns flera sätt att lösa det på. Man kan betrakta problemet geomtrisk utifrån den grafiska lösningen och argumentera för att det inte längre lönar sig när nivåkurvorna på kriteriefunktionen lutar mer än linjen 0.6x y = 1.8. Det ger villkoret med lösningen θ > θ < 0.6 1, = Man kan också använda simplextablån i matrisform: Basvariabler f x x s högerled f 1 c T 0 T 0 x s 0 A I m b f 1 c T B B 1 A c T c T B B 1 c T B B 1 b x B 0 B 1 A B 1 B 1 b För optimalitet så ska alla koefficienter i f-raden vara icke-negativa. Med simplexlösningen från (c) fås [ ] 1 3/5 2/5 B 1 = 0 3/5 2/ och c T B = [ 0 30 θ 40 ]. Vilket ger c T BB 1 = [ θ θ + 40 ]. 5 5 Elementen blir negativa (och därmed är inte optimalitetsvillkoret uppfylld) för θ > 200 θ >

11 Den andra gränsen ger det värdet för θ för vilket den optimala lösningen hamnar i punkten där Y = 3.3. Det skulle innebära en negativ kostnad för reservoaren, så det har endast ett akademisk värde att ta fram denna gräns. Man får θ < 200 θ < 130. Den optimala lösningen om reservoaren är för dyr är X = 3, Y = 0, och f = 90. (e) Viktiga antaganden (finns helt säkert fler) Nytta av bevattning proportionell mot mängden vatten. Ingen tröskel- eller mättningseffekt har tagits hänsyn till. Också troligt att de sista litrarna vatten inte ger samma positiva effekt som de första. Detta har inte tagits hänsysn till. Kostnad för bygget av reservoar direkt proportionell mot kapaciteten. Troligen beror kostnaden på storleken, men det finns helt säkert en fix kostnad oavsett storlek, och troligen också effekter där det kostar mycket extra att öka kapaciteten utöver någon naturlig storlek, givet geografin i området. Ingen spridning i angivna flöden. Det kan vara stora skillnader i vattenflödet från år till år, och kanske bör reservoaren kunne jämna ut även skillnader mellan år. Uppgift 2 (a) ge tillstånd p = 0.2 p = 0.5 p = 0.3 Hög miljöpåverkan Medel miljöpåverkan Låg miljöpåverkan 8 + x 4 + x 8 + x inget tillstånd 0 9

12 (b) Det förväntade utfallet av att ge tillstånd till industrin är V = i P (U = i)v(i) = x = x 4.2 För att det ska vara rationellt att ge tillståndet måste alltså intäkterna vara större än 4.2 miljoner per år. (c) Tänkbara antaganden (finns helt säkert fler) Miljöpåverkan har skattats med en kostnad per år. Då har man helt säkert gjort ett antal antaganden om hur industrins utsläpp påverkar vatten- och luftmiljön, hur försämrad miljö kan ge minskade intäkter för fiske- jordbruk och/eller turistnäring. Andra faktorer som spelar in i beslutet är inte med. Sådana kan vara politiska utan att vara rent ekonomiska: På gott och ont kopplas ortens namn till den tänkta industrin. Vill man det? Kan det leda till frånflyttning eller ökad inflyttning i kommunen? Uppgift 3 (a) Lösningsförslag: 10

13 (b) Tänkbara förbättringar Behandlingstiderna är olika långa Strålningsapparaten (och tillhörande personal) jobbar enbart vissa tider på dygnet Patienter får förhinder och missar sin tid Patient får hälsoproblem under behandlingen och avbryter denna (går ut ur gruppen av M patienter till behandling). (c) Det är två saker som är viktiga att ta upp: 1) Validering av modellen: Är modellen en för syftet tillräcklig bra beskrivning av verkligheten. Och 2) Göra upprepade simuleringar då modellen är stokastisk. Uppgift 4 (a) λ ρ η δ c Antalet T-celler som kroppen genererar per tidsenhet Mortaliteten för friska T-celler (fraktion av pop som dör per tidsenhet) Frekvensen med vilken celler infekteras. Enhet fraktion per virsupartikel per tidsenhet Mortaliteten för infekterade T-celler Mortaliteten för fria viruspartiklar. (b) Jämvikt för V = 0, T = 0 blir med lösningen 0 = λ ρt T 0 = λ ρ (c) Nollisoklinerna blir 0 = ηλ ρ V δt T = ηλ ρδ V 0 = NδT cv T = c Nδ V. 11

14 Vektorfältet blir T (antal infekterade T-celler) dt dt = 0 dv dt = 0 V 0 V (antal viruspartiklar) (d) Se fasdiagram ovanför. (e) Infektionen dör ut av sig själv pga hög mortalitet för viruspartiklarna. 12

15 T (antal infekterade T-celler) dt dt = 0 dv dt = 0 V 0 V (antal viruspartiklar) (f) Simulink-lösning 13

16 delta 1 1 s T* g1 Integrator g2 1 1 XY Graph 1 s V Integrator1 c 1 14