MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Transkript

1 Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Datum:... Fredag 6/5 006 kl Plats:... Gasquesalen Antal uppgifter:... 6 Poäng: Namn:... Personnummer:... Sektion och åk:... Kontrollera att Du fått rätt skrivning! Skrivningen består av 6 sidor (exklusive försättsblad och formelsamling). Kontrollera att du fått samtliga sidor! Betygsgränser: Betyg p Betyg p Betyg p Alla lösningar skall vara väl motiverade. Varje uppgift ska skrivas på separat papper. Skriv namn och årskurs överst på varje papper. Uppgifterna är inte anordnade efter svårighetsgrad. Tillåtna hjälpmedel: Ej förprogrammerad miniräknare, utdelad formelsamling LYCKA TILL! Resultat anslås:... Senast Tisdag Juni 006 i M-husets entré, norra delen På anmodan efter att resultat anslagits, expeditionen produktionsekonomi Tentamensvisning:... Eventuella klagomål på rättningen skall lämnas in skriftligen i anslutning till visningen. Skrivningen delas ut 0 dagar efter visningen. Inga synpunkter beaktas efter att skrivningen delats ut.

2 Uppgift (0p) a) För originalformuleringen av ett LP-problem med tre variabler gäller att: Målfunktionen är: max Z = 4x + x + 7x. Alla bivillkoren är av typen: Ax b Alla variabler är icke-negativa: x 0. Problemet löses med Simplex metoden varvid nedanstående optimallösning erhålls. Värt att notera är att i tablån nedan är x 4, x 5 respektive x 6 slackvariabler i bivillkor, och. Det är också känt att basmatrisen för den optimala baslösningen är: 0. B = Bestäm de koefficienter som saknas i nedanstående optimala simplextablå så att den blir komplett. (4p) Basvar. x x x x 4 x 5 x 6 b Z x x 0 7 x 4 7 b) Hur mycket kan man förändra högerledskoefficienten för bivillkor, (dvs b ) utan att den optimala lösningen ändras. (p). c) Hur mycket kan man ändra koefficienten för variabel i målfunktionen (d.v.s. c ) utan att optimallösningen ändras. (p) d) Hur ser orginalformuleringen av problemet ut? (p)

3 Uppgift (0p) Problemet (P) Min z = 800x + 000x + 000x då () 4x + x + 5x 500 () 4x + 4x + x 000 () x + x + x 000, x, x 0 x ( har optimallösningen x, x, x ) = (0, 75, 65). a) Bestäm skuggpriserna till de tre bivillkoren i (P) utan att använda simplexmetoden. (5p) b) Vad kan man säga om relationen mellan det optimala målfunktionsvärdet till (P) ovan och målfunktionsvärdet för en godtycklig tillåten lösning till det tillhörande duala problemet (D) - motivera. (p) c) Det finns ingen lätt identifierbar tillåten startlösning till (P) ovan. För att bestämma en sådan kan Fas metoden användas. Formulera Fas problemet till (P) ovan och ställ upp starttablån på kanonisk form. Ange inkommande och utgående variabel i första iterationen (OBS! Utför inga pivoteringar i simplex) (4p)

4 Uppgift (0p) Kalle Kula, festarrangör, skall inför en nära förestående tillställning hos sin gamle stamkund Party Ola blanda till den populära punschen Hawaii och den mer sofistikerade drinken Taj Mahal. För framställningen av de två drinksorterna använder Kalle sig av fem olika sorters fruktdrinkar som han har i lager. Varje fruktdrink är sammansatt av ett antal fruktjuicer enligt Tabell nedan. Det finns inga möjligheter att skaffa fram mer råvaror på den korta tid som återstår innan festen. Den kvalitetsmedvetne finsmakaren Party Ola ställer vissa krav på innehållet i Hawaii resp. Taj Mahal som måste tillgodoses vid framställningen. Punschen Hawaii skall innehålla minst 0% apelsinjuice, minst 0% grapefruktjuice och minst 5% vinbärsjuice. Drinken Taj Mahal måste innehålla minst 5% apelsinjuice, minst 5% grapefruktjuice och minst 0% kiwijuice. Till den nämnda festen har Party Ola har lagt en beställning på 400 liter Hawaii och 00 liter Taj Mahal. Data angående Kalles lager av olika fruktdrinkar finns angivet i Tabell nedan. Observera att varje fruktdrink förutom de olika fruktjuicerna också innehåller vatten men att andelen vatten inte finns explicit angiven i Tabell. Fruktdrink Apelsinjuice (%) Grapefrukt -juice (%) Vinbärsjuice (%) Kiwijuice (%) Tillgång (l) Kostnad (kr/l) A B C D E Vatten Tabell. Lagerdata för Kalle Kula a) Formulera en LP modell som beskriver Kalle Kulas problem att till lägsta kostnad tillfredsställa Party Olas beställning. (5p) b) Antag att Kalle Kula har bestämt att fruktdrink B endast får användas i blandningen av Taj Mahal om den också används i blandningen av Hawaii. Introducera lämpliga heltalsvariabler och visa hur formuleringen i a) behöver modifieras för att hantera detta villkor. (p) c) Antag att fruktdrinken A börjar närma sig sitt "bäst före" datum och att Kalle förutom att minimera sina kostnader också vill försöka bli av med hela lagret av fruktdrink A. Av principskäl vill Kalle nämligen i det längsta undvika att kasta råvaror. Utgå från LPmodellen i a) och formulera en målprogrammeringsmodell som i första hand beaktar målsättningen att minimera kostnaderna enligt tidigare (målvärde 0) och i andra hand målsättningen att minimera utgående lagret av fruktdrink A (målvärde 0). (p) OBS! I samtliga deluppgifter gäller att alla variabler måste definieras och ev. antaganden motiveras. Poängavdrag ges för svårtydbara lösningar!

5 Uppgift 4 (0p) Lös följande binära heltalsproblem (BIP problem) med branch-and-bound teknik. Det är känt att den optimala lösningen till LP-relaxationen av ursprungsproblemet (P) nedan är (x *,x *,x * ) = (, /, ). För full poäng krävs korrekt formulering av alla relevanta subproblem med tillhörande LP-relaxationer. Det är fullt tillåtet att lösa relevanta LP-relaxationer grafiskt. (P) Max Z = x + x + x då x + x + x x x x, x 4x, x x + x = (0,) Ledning: Välj alltid att förgrena vidare från den nod i lösningsträdet med högst extremvärdesuppskattning (=bound). Förgrena alltid över den variabel med lägst index som ej är binär i den optimala lösningen till den aktuella LP-relaxationen. (0p). 4

6 Uppgift 5 (0p) På Tivoli i Köpenhamn finns attraktionen fritt fall. Det finns plats för exakt två personer att åka högst upp i tornet och sedan släppas ned i fritt fall. Attraktionen körs aldrig om inte båda platserna kan fyllas upp. Alltså, varje gång attraktionen körs så är det exakt två personer som åker upp i tornet för att sedan åka fritt fall ner. Tivolibesökare anländer till denna attraktion som en Poissonprocess med intensitet per minut. Om en ankommande tivolibesökare finner fyra personer i kön till fritt fall så väljer denna person en annan attraktion istället. Eftersom det ska finnas en viss spänning i åkningen så låter man åkarna hänga uppe i tornet olika långa tider innan de släpps ner. Antag därför att den totala åktiden är exponentialfördelad med medelvärde minuter. a) Rita en tillståndsgraf för problemet. (p) b) Tag fram de stationära sannolikheterna för antal personer i systemet. (6p) c) Beräkna det förväntade antalet kunder som går vidare till en annan attraktion p g a att kön är för lång. (p) 5

7 Uppgift 6 (0p) På en bank finns ett nummerlappsystem där kunder tar en nummerlapp och blir betjänad av en kassör i tur och ordning. Antag att det bara finns en kassör. Kunder anländer som en Poissonprocess med intensiteten λ kunder per minut. Det visar sig att kunderna är otåliga och är villiga att vänta i kön en exponentialfördelad tid med medelvärde / μ minuter. D v s, kunder kan lämna kön utan att ha blivit betjänade. Kassörens betjäningstid är exponentialfördelad med medelvärde / μ minuter. Antag för enkelhets skull att det inte finns någon begränsning på antalet kunder som kan vistas i banken samtidigt. a) Rita en tillståndsgraf samt ange vilket slags kösystem problemet kan modelleras som (ange på formen A / B / c )? (p) b) Beräkna det förväntade antalet kunder i systemet då λ = och μ =. (5p) c) Sätt λ = och μ =. Beräkna den medelintensitet som otåliga kunder (kunder som inte blivit betjänade) lämnar banken. (p) 6