Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats."

Transkript

1 Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor: l ij x ij u ij Noddata för nod i: b i : källstyrka/sänkstyrka. (måste vara givet) Nodjämviktsvillkor: x ji x ij = b i för alla i N (in - ut) Krav på indata: i b i = 0. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 / Specialfall av kostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Sats Varje anslutningsmatris är fullständigt unimodulär. Slutsats Flödesproblem kan betraktas som LP-problem. Flödet blir automatiskt heltal. Obs: Inga andra bivillkor får finnas. Minkostnadsflödesproblemet Skicka efterfrågade mängder så billigt som möjligt. (i,j) B x ji l ij x ij u ij x ij = b i för alla (i, j) B för alla i N Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 / Specialfall av kostnadsflödesproblemet Billigaste väg-problemet: Minkostnadsflödesproblem med en källa och en sänka, båda av styrka ett. i = s b i = i = t 0 f ö Riktade brevbärarproblemet: Cirkulerande kostnadsflödesproblem med undre gräns ett för alla bågar. l ij = 0 och u ij stor (men i praktiken ) för alla bågar. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 3 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 4 /

2 Specialfall av kostnadsflödesproblemet Maxflödesproblemet: Inför återbåge (t, s). Sätt c ts = och c ij = 0 för alla (i, j) B \ (ts). Sök cirkulerande flöde (inga källor eller sänkor). max f x ji 0 x ij u ij för alla (i, j) B f fri 0, 5 0, 3 3 f i = s x ij = f i = t 0 f ö 0, 0, 5 0, 4 0, , 0, 6 6 för alla i N Specialfall av kostnadsflödesproblemet Transportproblemet: Minkostnadsflödesproblem i tudelad graf. m j= n n x ij = s i j= m x ij = d j x ij 0 i =,... m j =,... n för alla i, j Kan ses som ett matrisproblem, där i står för rader och j för kolumner. Bivillkoren specificerar radsummor och kolumnsummor. (Eftersom detta är ett kostnadsflödesproblem blir lösningen heltal.),m Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 5 / Specialfall av kostnadsflödesproblemet Tillordningsproblemet: Transportproblem med all tillgång och efterfrågan lika med ett. Varje person i skall göra en uppgift och varje uppgift j ska göras en gång. Variabeldefinition: om person i gör uppgift j. n j= n n j= n x ij 0 i =,... n j =,... n för alla i, j Lösningsmetod: Ungerska metoden. Baseras på LP-dualen. (Eftersom detta är ett kostnadsflödesproblem blir lösningen heltal.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 7 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 6 / Utvidgning av kostnadsflödesproblemet Flervaruflöde: Flödet består av olika sorters varor med separat tillgång/efterfrågan men med gemensamma kapaciteter. Även för olika start- och slutnodsbundna signaler, som i telekomnät. Variabeldefinition: xij k = flöde av sort k i båge (i, j). cij k xij k (i,j) B k C x k ji xij k u ij k C l k ij x k ij u k ij x k ij = b k i för alla i N, k C för alla (i, j) B Bivillkorsmatrisen är ej fullständigt unimodulär. för alla (i, j) B, k C Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 8 /

3 Lösningsmetod för kostnadsflödesproblemet (i,j) B x ji l ij x ij u ij x ij = b i för alla (i, j) B för alla i N Simplexmetoden ( Vore det inte bättre att skicka så istället? Metodiskt!) Baslösning: Icke-basvariabler: x ij = l ij eller x ij = u ij. (Övre och undre gränser behandlas implicit.) Hur många basvariabler? Ett av nodjämviktsvillkoren är redundant. En n n-matris vore linjärt beroende. Kan bara ha bas av dimension n. Alltså n basvariabler. Simplexmetoden för kostnadsflödesproblemet En iteration: Basvariablerna ger ett uppspännande träd. Inkommande variabel bildar en unik cykel. Man vill skicka runt så mycket som möjligt i cykeln. Utgående variabel begränsar flödesändringen i cykeln. Den hamnar på övre eller undre gräns. Utgående variabel bryter upp cykeln. En cykel motsvarar linjärt beroende. Alltså ingen cykel i basen. Slutsats: En bas motsvarar ett uppspännande träd. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 9 / Simplexmetoden för kostnadsflödesproblemet Hur välja inkommande variabel? y: dualvariabler till nodjämviktsvillkoren. y i kallas nodpris för nod i. Reducerade kostnader: ĉ ij = c ij + y i y j. (Nod i till j: Jämför skillnaden i nodpris, y j y i, med direktvägen, c ij.) Minimering ĉ ij < 0 Båge (i, j) billig. Skicka så mycket som möjligt. Öka x ij. x ij = u ij är optimalt. ĉ ij > 0 Båge (i, j) dyr. Skicka så lite som möjligt. Minska x ij. x ij = l ij är optimalt. Optimalitetsvillkor ĉ ij < 0 x ij = u ij, (billig ickebas) ĉ ij > 0 x ij = l ij (dyr ickebas) samt l ij < x ij < u ij ĉ ij = 0 (bas). (Används för att räkna ut y.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 0 / Simplexmetoden för kostnadsflödesproblemet 0. Finn tillåten startbas (träd).. Sätt y = 0. Beräkna resterande y via basträdet. (c ij = y j y i för alla basbågar.). Beräkna reducerade kostnader ĉ ij = c ij + y i y j för alla icke-basbågar. 3. Kontrollera optimalitet. Om optimum: Stopp. 4. Välj mest lovande variabel som inkommande. 5. Finn cykeln som bildas. 6. Ändra flödet i cykeln maximalt i önskad riktning. 7. Välj den variabel som begränsar ändringen som utgående variabel. 8. Gå till. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 /

4 Simplexmetoden för kostnadsflöde: Exempel Simplexmetoden för kostnadsflödesproblemet Indata: 3 6,,0 3,, Startlösning Bågdata: c,u,x,, 3,,,, 5,,,,0 Känslighetsanalys Ändring av kostnad för icke-basbåge eller införande av ny båge: Beräkna ny reducerad kostnad, ĉ ij = c ij + y i y j och kontrollera optimalitet. 5,, 4 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 3 / LP-dual: max n α i + n j= n n j= n Komplementaritetsvillkor: x ij 0 i =,... n j =,... n för alla i, j n β j α i + β j c ij för alla (i, j). j= x ij (α i + β j c ij ) = 0 för alla (i, j). Metod: Lös dualen: Öka α och β, utan att överskrida duala bivillkoren. Försök sedan finna en tillåten primallösning som uppfyller komplementaritetsvillkoren. Ändra α och β om det inte går. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 5 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 4 / Arbeta med reducerade kostnader: ĉ ij = c ij α i β j för alla (i, j). Duala bivillkoren (primal optimalitet): ĉ ij 0 för alla (i, j) Komplementaritetsvillkoren: ĉ ij x ij = 0 för alla (i, j) Optimalitetsvillkor: ĉ ij > 0 x ij = 0, x ij > 0 ĉ ij = 0 Tillåtna positioner: där ĉ ij = 0 Mål: Placera exakt en etta i varje rad och i varje kolumn på de tillåtna positionerna. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 6 /

5 Lös dualen. Sätt α i = 0 för alla i och β j = 0 för alla j (vilket ger ĉ ij = c ij ). Öka enstaka α i och β j så mycket som möjligt (utan att ĉ ij blir negativt). Kan en etta placeras i varje rad och kolumn på de tillåtna positionerna? Om ja, stopp. Om inte, ändra dualvariablerna i par: Öka α i och ska β j så att inget ĉ ij blir negativt. Gör detta så att nya tillåtna positioner, ĉ ij = 0, bildas, samtidigt som ĉ ij 0 för alla i, j. Upprepa tills tillåten lösning fås. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 7 / Matris av reducerade kostnader, Ĉ. Stryk alla tillåtna positioner med sta möjliga antal streck. Sats Högsta antalet ettor som kan placeras ut är lika med sta antalet streck som behövs. Öka α i för ostrukna rader, och ska β j för strukna kolumner. Effekt: Ostrukna element skas, enkelt strukna element oförändrade, dubbelt strukna element ökas. ĉ ij skas inte för någon tillåten position. Inget ĉ ij blir negativt. Minst en ny tillåten position bildas. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 8 / Ungerska metoden: Exempel ĉ ij = c ij α i β j 0. Starta med de ursprungliga kostnaderna (α = 0, β = 0).. Dra bort det sta elementet i varje rad från alla elementen i raden (öka α).. Dra bort sta elementet i varje kolumn från alla elementen i kolumnen (öka β) α Stryk alla nollor med sta möjliga antal streck. Om antalet streck är lika med n, finn tillåten lösning, och sluta. 4. Dra bort sta ostrukna element från alla ostrukna element och addera till alla dubbelt strukna element. (Öka α i för ostrukna rader, och ska β j för strukna kolumner.) Gå till 3. β Till slut återstår bara en nolla. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 9 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 0 /

6 Ungerska metoden: Exempel Optimallösning: x = Person gör uppgift, person gör uppgift 3, person 3 gör uppgift 4, person 4 gör uppgift. Total kostnad: 7 Duallösning: α = (3, 6,, 5) β = (0,,, ) (Kolla starka dualsatsen.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering september 06 /

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,

Läs mer

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång.

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång. Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF och Nätverkssimplex Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter:

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10 TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF

Läs mer

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?

Läs mer

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j

Läs mer

Föreläsning 6: Nätverksoptimering

Föreläsning 6: Nätverksoptimering Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem

Läs mer

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Krister Svanberg, april 2012 1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Ett nätverk består av en given mängd noder numrerade från 1 till m (där m är antalet noder) samt en given mängd riktade bågar mellan vissa

Läs mer

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t. 1(8) (5p) Uppgift 1 Företaget KONIA tillverkar mobiltelefoner I en stor fabrik med flera parallella produktionslinor. För att planera produktionen de kommande T veckorna har KONIA definierat följande icke-negativa

Läs mer

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod. Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk

Läs mer

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3. TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal

Läs mer

Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg

Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2017-08-22 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Variabeldefinition:

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 17 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 0 augusti 201 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 9 april 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012 Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 08 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP6/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 2 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 9 augusti 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 april 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 08 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: oktober 08 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5 TNSL5 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 5 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem 28--5 4 Hittills Föreläsning

Läs mer

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3. TNSL05 2(8) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F2. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: juni 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering. Kaj

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: augusti 017 Tid: 8-1 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 1 p, betyg

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 1 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 19 oktober 2017 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: oktober 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK49 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 7 Nätverksoptimering Billigaste uppspännande träd (MST) Billigaste väg (SP) Projektnätverk Minkostnadsflödesproblem Agenda Terminologi för grafer/nätverk

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s

Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta s Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2014-01-15 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: (Detta problem

Läs mer

TENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12

TENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12 1( 9) TENTAMEN Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12 Provkod: TEN1 Kursnamn: Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p, betyg kräver

Läs mer

z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet

z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet Bendersdekomposition Blandade heltalsproblem med ett stort antal kontinuerliga variabler och få heltalsvariabler. Mycket lättare att lösa om heltalsvariablerna fixeras. Bendersdekomposition (primal dekomposition)

Läs mer

Föreläsning 6: Transportproblem (TP)

Föreläsning 6: Transportproblem (TP) Föreläsning 6: Transportproblem (TP) 1. Transportproblem 2. Assignmentproblem Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Transportproblem Transportproblem Varor ska transporteras från fabriker till varuhus:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: oktober 08 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 1 oktober 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 maj 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: oktober 01 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 13 januari 2018 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 8 januari 201 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning

Läs mer

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 24 oktober 204 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 19 april 2017 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08

Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08 Lösningar till SF8 Optimeringslära för E, 6/ 8 Uppgift (a) Problemet är ett transportproblem, ett specialfall av minkostnadsflödesproblem Nätverket består av 7 st noder A,B,C,P,Q,R,S, alternativt kallade,,,7,

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 (6) TENTAMEN Datum: augusti 07 Tid: 8- Provkod: TEN Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt p, betyg kräver

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07

Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07 Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: 6 april 2018 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,

Läs mer

Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg.

Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2015-01-14 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Givna data:

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 6 Det duala problemet Relationer primal dual Optimalitetsvillkor Nätverksoptimering (introduktion) Agenda Motivering av det duala problemet (kap 6.)

Läs mer

Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform. Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform

Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform. Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform Vägar: Bllgaste väg Bllgaste väg s t Indata: Rktad graf med bågkostnader c, start/slutnod s, t. Bllgaste väg-problemet: Fnn en väg från s tll t med mnmal kostnad. Kostnaden för en väg är summan av kostnaderna

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 11 januari 2017 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 18 januari 2019 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer