TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6

Transkript

1 TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 6

2 Agenda Kursens status Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet

3 Marcus Posada Kursens status Föreläsning (1), -5: Modellering Föreläsning 6-10, (11): Lösningsmetod/känslighetsanalys Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Redovisas muntligt v. 47. Uppgiften och en anmälningslista ligger på Lisam. Gruppuppgift : Redovisas muntligt v. 49. Uppgiften och en anmälningslista kommer läggas upp på Lisam under v. 47. Gruppuppgift 3: Redovisas skriftligt senast onsdag v. 51. Uppgiften och en anmälningslista kommer läggas upp på Lisam under v. 48

4 Marcus Posada Kursens status Laborationsmomentet: Anmälningslistan ligger ute. Skriv upp er! Läs redan nu labbinstruktionen som ligger på Lisam! Fre. v. 48 Tor. v. 48 Fre. v. 50

5 Marcus Posada Hittills Föreläsning 1: kursadministration, intro: Vad är matematisk modellering?, historia, tillämpningseempel, kompleitet Föreläsning : summering och inde, matematisk modellering Föreläsning 3: matematisk modellering, LP Föreläsning 4: matematisk modellering, HP Föreläsning 5: matematisk modellering, nätverk

6 Marcus Posada Idag Studenten ska efter avslutad kurs kunna: Analysera och formulera optimeringsmodeller inom ekonomiska tillämpningsområden Analysera och dra slutsatser från känslighetsanalys för linjära optimeringsproblem och optimeringsproblem med nätverksstruktur Förklara den grundläggande matematiska teorin på vilka modeller och algoritmer bygger Dra slutsatser från optimeringsmetoder för linjära optimeringsproblem (Simplemetoden) samt för optimeringsproblem med nätverksstruktur (Simple för minkostnadsflödesproblem och Dijkstras algoritm för billigasteväg problem)

7 Agenda Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet

8 Marcus Posada Kvantitativa metoder/modellering Förenklat problem Formulering (Kvantitativ) modell Översättning Indata (AMPL) modell (Kvantitativ)Metod/Algoritm Lösning Känslighetsanalys Utdata

9 Marcus Posada Tolkning utdata Utdata är (naturligtvis) oftast Optimalt målfunktionsvärde Optimala värden på variabler (optimallösningen) Jämför två utdata med olika indata kan ge svar T.e. Vad tjänar vi på om Hur förändras lösningen om Etc.

10 Marcus Posada Tolkning utdata Utdata kan också ge en mängd annan information Hur stabil är lösningen Vad händer vid (mindre, enstaka) förändringar Detta kallas vanligtvis känslighetsanalys Oftast en biprodukt av lösningen Marginell ytterligare databehandling Praktiskt intressant i stora/gigantiska problem Vi tittar på pytteproblem, där metoden blir viktigare än praktiken Metoder återkommer vi till

11 Marcus Posada Linus, igen Linus har kommit på att pannkakor och sockerkakor säljer bra i Norrköping. En pannkaka ger honom 8 kronor i vinst och en sockerkaka 15 kronor. En pannkaka tar 4 minuter att göra, medan en sockerkaka tar 10 minuter. Eftersom Linus även studerar på universitetet, har han högst timmar varje dag i sin firma. Hemligheten bakom hans goda pannkakor och sockerkakor är äggen han köper av en bonde i Askeby, och saltet hämtas ur Gullmarsfjorden. Bonden kan bara sälja 0 ägg per dag till Linus. Varje sockerkaka kräver ägg och varje pannkaka 1/3 ägg. Formulera Linus (vinstmaimerings)problem! Det nordliga klimatet gör att han bara kan få fram 0 kryddmått salt per dag. Varje pannkaka innehåller ett kryddmått salt

12 Marcus Posada Känslighetsanalys Bakproblemet Opttimallösning: 0 pannkakor, 4 sockerkakor Optimalt målfunktionsvärde: 0 Optimalt målfknvärde om 0 minuter till 50 Dvs värde/beredd betala (50-0)/0=1.5/minut Optimalt målfknvärde om ytterligare 0 minuter till 60 Dvs värde/beredd betala (60-50)/0=0.5/minut Optimalt målfknvärde om ytterligare 1 miljard minuter till 60!

13 CPLEX : sensitivity CPLEX : optimal solution; objective 0 1 dual simple iterations (1 in phase I) Optimalt målfunktionsvärde suffi up OUT; suffi down OUT; suffi current OUT; vinst = 0 Lösning Aktuell målfknkoeff : antal antal.rc antal.down antal.current antal.up := pannkaka e e+0 sockerkaka ; Reducerad kostnad (rc) i opt variabelvärde*rc=0 Vi kommer tillbaka till rc lite senare Intervall målfknkoeff med bibehållen lösning (dvs samma värden på variablerna)

14 CPLEX : sensitivity CPLEX : optimal solution; objective dual simple iterations (1 in phase I) suffi up OUT; suffi down OUT; suffi current OUT; vinst = 150 Om vinsten för en pannkaka bara är kr : antal antal.rc antal.down antal.current antal.up := pannkaka e+0.5 sockerkaka e+0 ; rc: marginalförändring av målfunktionen om pannkaka>0 För att vi ska vilja baka pannkakor måste vinsten öka med minst 0.5 per pannkaka

15 CPLEX : sensitivity CPLEX : optimal solution; objective 0 1 dual simple iterations (1 in phase I) Slack=Tillgänglig (outnyttjad) resurs Dual= Förändrat målfknvärde per enhets ökning av HL (HL = Högerled) Om vinsten för en pannkaka är 8kr (som i ursprungsmodellen) Intervall HL med bibehållen samma villkor begränsande, dvs med oförändrat dualvärde Dock naturligtvis förändrad lösning om slack=0 Aktuellt HL : biv.slack biv.dual biv.down biv.current biv.up := agg e+0 salt tid ;

16 Agenda Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet

17 Marcus Posada Generell sökmetod Steg 0 Steg 1 Steg Steg 3 Steg 4 Börja i en tillåten startpunkt Bestäm tillåten och förbättrande sökriktning Kontrollera avbrott. Saknas tillåten och förbättrande sökriktning är vi i (lokalt) opt Bestäm steglängd Beräkna nya punkten genom att gå steglängden i förbättrande sökriktningen Steg 5 Repetera från steg 1

18 1

19 1

20 1

21 1 tid

22 ägg 1 tid

23 ägg salt 1 tid

24 ägg salt 1 tid

25 ägg salt 1 tid

26 ägg salt 1 tid

27 ägg salt 1 tid

28 ägg salt 1 tid

29 Opt! ägg salt 1 tid

30 Marcus Posada Vad händer om vi ändrar vinsten för en sockerkaka från 15 till 0 kronor styck?

31 ägg salt 1 tid

32 ägg salt 1 tid

33 ägg salt 1 tid

34 Opt! Opt! ägg salt 1 tid

35 Agenda Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet

36 Marcus Posada LP-problem på standardform Standardform Alla villkor likhet Ev. inför s.k. slackvariabler (med rätt tecken) Ofta betecknas de s, men det är ingen regel bara tydlighhet Alla variabler ickenegativa Ev. variabelsubsitution Alla högerled ickenegativa Ev. Teckenbyt Eempel ma z då , 0,

37 Marcus Posada Algebraisk formulering av LP A ma z då ,, 3, 4, 5 b c

38 Agenda Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet

39 Marcus Posada Lokala och globala optima k är ett lokalt optimum (min) om k f f för alla tillräckligt nära är ett globalt optimum (min) om för alla f f min då I ett konvet problem är varje lokalt optimum också ett globalt optimum Konve funktion över ett konvet område Konvea problem trevligare än andra f ( ) X X k

40 Marcus Posada Konvea funktioner Konve om Varje rät linje mellan två punkter på funktionskurvan, ligger på eller ovanför kurvan Ej konve om Någon rät linje mellan några punkter på funktionskurvan, ligger under kurvan

41 Marcus Posada Konvea mängder Konve om Varje rät linje mellan två punkter i mängden, ligger i mängden Ej konve om Någon rät linje mellan några punkter på mängden, går utanför mängden Skärning av konvea mängder utgör en konve mängd

42 Marcus Posada Linjärprogrammeringens grunder Linjära bivilkor ger konvea mängder Tillåtna området blir konvet Konve målfunktion Konvet problem Lokalt opt är globalt opt! (Smart) lokal sökmetod funkar bra Simplemetoden Men hur skall denna sökning gå till?

43 Linjärt problem ma f ( ) då g i ( ) b i, i 1 n ma f ( ) då 1 1 1, 9 0 Om f (), g i är linjära ( ), i Konvet problem -> Lokalt opt=globalt 1

44 Ickelinjärt problem ma då g i f ( ) ( ) Om minst en av f (), g i är ickelinjär b i, i ( ), i 1 ma f ( ) sin(1 ) sin( ) ( 1 ) /5 då 9 n 1 1, 0 Ickekonvet problem -> Lokalt opt=???? 1

45 Diskreta problem Om dessutom är diskreta (te. heltal) Vad betyder lokal? Lokalt opt=??? 1 ) ( ma f 0, heltal, 9 då 1 1 n i b g f i i 1, ) ( då ) ( ma 1

46