Lösningsskisser för TATA

Transkript

1 Lösningsskisser för TATA Funktionen f() = ln( ) är definierad för alla R oc ar derivatan f () = 3 vilket ger följande teckentabell: = = 9( )( 3 ) + 3 2, /( ) f () + + f() lok. ma. lok. min. Gränsvärden: f() då (uppenbart), samt ( f() = ln( 2 ( + 3) )) ( 2 ) = }{{} + 3 ln 2 ln( + 3) då, }{{ 2 } +3 ln(+3)=3 ln enligt standardgränsvärdet =. y Svar: Lokalt maimum f( 3 ) = 5 2 ln(/3), lokalt minimum f() = 7 ln 2. Asymptoter saknas.

2 2. (a) d = ( /3 + 2/3 ) +2 d = 3 ln ln C. (b) Bytet t = ger = t 2 oc d = 2t, oc alltså cos d = 2t cos t = 2t sin t + 2 cos t + C = 2 ( sin + cos ) + C. (c) d 2 +π = ln( π) + C (standardprimitiv!). Svar: Se ovan. 3. (a) ( + 3) /5 = ep ( ln(+3) standardgränsvärde ) ep( 3 5 ) då, enligt ett (b) Bytet t = +, iop med ett par standardgränsvärden, ger e sin(2+2) e sin 2t e sin 2t = = + t t t sin 2t sin 2t 2 = 2, 2t (c) Omskrivningen ln(2 + e 3 ) = ln(e 3 ( + 2/e 3 )) = 3 + ln( + 2/e 3 ) ger + ln(2 + e 3 ) 3 + ln = + 2 ln( + e ) ln då, enligt standardgränsvärden. Svar: (a) e 3/5 (b) 2 (c) /3. Variabelbytet t = ln, med = d/, ger integralerna d ln /2 = d ln = d ln 2 = [ 2t /2] ln 2 ε + + ln( + ) 3 + = = 2 ln 2, t/2 ε [ ] ln 2 t = ln t =, ε + ε t 2 = ε + [ t ] ln 2 ε =. Svar: Den första är konvergent med värdet 2 ln 2, de andra två är divergenta. = 3 5. Sätt f() = ( + 2) e 2 = { ( + 2) e 2,, ( + 2) e 2+,. Sätt g() = ( + 2) e 2 oc () = ( + 2) e 2+ (för R) oc undersök dessa separat. Med produktregeln beräknar vi g () = ( + ) e 2 oc () = ( + 3) e 2+ (för R), oc därmed får vi direkt { f ( + ) e 2, >, () = ( + 3) e 2+, <. (Observera de strikta oliketerna är!) För att säga något om f () måste vi göra en ytterligare undersökning: f +() f() f() g() g() = = = g + + +() = g () = e 2

3 oc f () f() f() () () = = = () = () = 3e 2. Eftersom f () f +() eisterar inte f (). Det är uppenbart att f () = g () < för > oc att f () = () ar teckenvälingen + för < (byter tecken vid = 3), så teckentabellen för f () får följande utseende: 3 f () + ej def. f() lok. min. lok. ma. Vidare ar vi oc ( + 2) e 2 f() = e = f() = ( + 2) ( t + 2) e 2 e2+ = [sätt t = ] = t e t =. Nu kan vi rita grafen y = f() oc läsa av antalet lösningar till ekvationen f() = k för olika värden på k: y 2e 2 y = k /e Svar: Inga lösningar om k > 2e 2 eller k < /e, en lösning om k = 2e 2 eller k = /e eller k =, två lösningar i övriga fall.

4 6. (a) Integralkalkylens medelvärdessats säger att det finns (minst) ett tal ξ [, ] sådant att f(ξ) = 2 f() d. (Tvåan är längden av integrationsintervallet [a, b] = [, ], alltså b a = ( ) = 2.) (b) Om funktionen f ska kunna bryta mot satsens slutsats måste den bryta mot satsens förutsättningar, oc kan alltså inte vara kontinuerlig. T.e. kan vi ta en trappfunktion: f() = 7 för < oc f() = 3 för. Då är 2 f() d = 2 (7 + 3) = 3, oc detta värde ar ju inte f någonstans. (För ett ännu värre eempel kan man ta en icke-integrerbar funktion, t.e. f() = om Q oc f() = annars. Då är satsens utsaga inte ens meningsfull.) (c) Låt f() = sin (för ). Då är f() = sin sin t = [sätt t = /] = =. t + t Funktionen f är kontinuerlig på intervallet [n, n + 2] om n >, oc därmed finns det enligt medelvärdessatsen något ξ [n, n + 2] sådant att g(n) = n+2 f() d = ( (n + 2) n ) f(ξ) = 2 f(ξ). Eftersom ξ n när n får vi Svar: Gränsvärdet är 2. g(n) = 2 f(ξ) = 2 = 2. n ξ För ett givet n kan det finnas flera tal ξ sådana att g(n) = 2f(ξ), så vi ar inte definierat ξ entydigt som funktion av n. För den som eventuellt undrar vad som då egentligen menas med ξ när n kommer är en precisare version av ovanstående resonemang: Ta ett goyckligt tal ε >. Förutsättningen f() = innebär (enligt definitionen av gränsvärde) att det finns ett tal ω sådant att f() ligger ögst ε/2 ifrån för alla > ω. För varje n > ω gäller då följande: om ξ [n, n + 2]) är något tal som fås från medelvärdessatsen enligt ovan så är ξ > ω, vilket medför att g(n) = 2f(ξ) ligger ögst 2 ε/2 = ε ifrån 2. Oc eistensen av ett sådant ω (för varje ε > ) är precis vad som krävs för att definitionen av n g(n) = 2 ska vara uppfylld.

5 7. Insättning av = i den givna oliketen f() ln visar att f() =. Om vi subtraerar detta värde från alla led erålls + f() f() ln. Sätt nu = +, där vi först antar att >, oc dividera alla led med : + + f( + ) f() ln( + ). När + så går ögerledet mot (standardgränsvärde), oc likaså för vänsterledet: = = +. Enligt instängningsregeln är alltså f( + ) f() =. + Om vi istället antar att < så vänds oliketerna vid divisionen: + + f( + ) f() ln( + ). Samma argument fungerar dock även är: när går ytterleden mot, så instängningsregeln ger f( + ) f() =. Detta visar att derivatan f () eisterar oc ar värdet. Svar: f () =. (Ovanstående resonemang kan enkelt modifieras till ett bevis för en allmän instängningssats för derivator: Om g(a) = (a), g (a) = (a) = A oc g() f() () i en omgivning av a, så är f deriverbar i a med f (a) = A.)