Sida 1 av Låt VV = RR nn där RR nn är mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Sida 1 av Låt VV = RR nn där RR nn är mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs"

David Hellström
för 5 år sedan
Visningar:

1 Sida av 7 ALLMÄNNA VEKTORRUM VEKTORRUM Definition Mängden V sägs vara ett reellt vektorrum om det finns i) en additionsoperation som till varje uu VV och vv VV ordnar uu vv VV ii) en operation kallad multiplikation med skalär som till uu VV och aa RR ordnar aauu VV som uppfller följande villkor (aiom) för alla uu, vv, ww VV och alla aa, bb RR :. Om u V och v V så gäller uv V ( slutenhet under addition). Om a R och u V så gäller au V ( slutenhet under skalärmultiplikation). uv vu. (uv)w (uv)w. Mängden V innehåller ett nollelement ( nollvektor) som för alla uu VV uppfller uu uu uu 6. För varje u V eisterar det ett element u V så att u( u) 7. a( uv) auav 8. (ab)u aubu 9. (aaaa)uu aa(bbuu) a(bu) u u Några eempel på vektorrum:. Låt VV RR nn där RR nn är mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs RR nn {(aa, aa,., aa nn ) ddärr aa,., aa nn RR} med addition och skalär multiplikation definierad som vanligt (aa, aa,., aa nn ) (bb, bb,., bb nn ) (aa bb, aa bb,., aa nn bb nn ) RR nn λλ(aa, aa,., aa nn ) (λλaa, λλλλ,., λλaa nn ) RR nn Nollvektorn i rummet är (,,.,). Det är enkelt att alla villkor ( aiom ) - är uppfllda och VV RR nn är ett vektorrum.. Om V innehåller eakt ett element som vi betecknar med, med räkneoperationer och. då är V {}ett vektorrum.. Låt M vara mängden av alla matriser med matrisaddition och multiplikation med skalär definierade som vanligt. Då är M ett vektorrum. Nollvektorn i rummet är nollmatrisen. ( Kontrollera att alla aiom - är uppfllda.)

2 Sida av 7. Låt M mn vara mängden av alla mm nn matriser med matrisaddition och multiplikation med skalär definierade som vanligt. Då är M mn ett vektorrum. Nollvektorn i rummet är nollmatrisen OO mm nn.. Låt P n vara mängden av alla polnom av grad nn. Summan av två polnom av grad nn är ett polnom grad nn och multiplikation av ett sådant polnom med ett konstant tal är igen ett polnom av grad nn. Nollvektorn i rummet är polnomet PP() (P() är identiskt, dvs för alla ). Det är enkelt att kolla att alla aiom - är uppfllda, alltså är P n ett vektorrum. 6. Låt FF(, ) vara mängden av alla reella funktioner med addition och multiplikation med skalär definierade på vanligt sätt. (fg)() f()g() och (λf)() λ(f()) för alla Då är FF(, ) ett vektorrum. Nollvektorn i rummet är funktionen ff(). 7. F[a,b]. Mängden av alla reella funktioner definierade på [a,b] är ett vektorrum. 8. CC(, )Mängden av alla reella kontinuerliga funktioner definierade på (, )är ett vektorrum. 9. C[a.b] Mängden av alla reella kontinuerliga funktioner definierade på[a.b] är ett vektorrum. UNDERRUM En delmängd W till ett vektorrum V kallas för ett underrum om W är ett vektorrum med den addition och den multiplikation med skalär som gäller i V. Definition. Låt W vara en delmängd till vektorrummet V. Mängden W är ett underrum till V om och endast om följande tre villkor är uppfllda: Vilkor: W ( nollvektorn tillhör W) Vilkor: u, vv W uu vv W ( om u, v tillhör W då summan uv tillhör också W, vi säger att W är sluten under addition ) Vilkor: (uu W, λ R) λuu W ( om u tillhör W då λ u tillhör också W för varje skalär λ, vi säger att W är sluten under multiplikation med skalär) Anmärkning: Definitionen utesluter inte att WV. Eempel. Bestäm om följande mängder är underrum i R a) W är mängden av alla vektorer i R som har första och tredje koordinaten, dvs

3 Sida av 7 W {(,,, ), ddärr, RR} ( ) b) W är mängden av alla vektorer i R som har första och tredje koordinaten, dvs W {(,,, ), ddärr, RR} a) Om vi väljer och i (*) får vi att ser vi att nollvektorn (,,,) ligger i W och därmed är Villkor ( i definitionen för underrum) uppflld. Vi testar Villkor Vi antar att uu, vv W dvs uu (,,, ) och vv (,,, ) Då gäller uv (,,, ) W ( för första och tredje koord. är ) och Villkor är uppflld ( Vi säger att W är sluten under addition). Nu kontrollerar vi Villkor Vi antar uu W dvs uu (,,, ). Då, för ett tal λ R, vi har λuu (, λ,, λ) W ( för första och tredje koord. är ) och Villkor är uppflld ( Vi säger att W är sluten under multiplikation med tal). Eftersom Villkor, Villkor och Villkor är uppfllda är mängden W ett underrum till V. Svar a) W är ett underrum till V. b) Vi antar att uu, vv W dvs uu (,,, ) och vv (,,, ) Då gäller uu vv (,,, ) W eftersom koordinater på första och tredje plats är och inte som i mängden W. Med andra ord summan av två element i W hamnar utanför W. Villkor är inte uppflld och därför W är INTE ett underrum till V. ( Lägg märke till att varken Villkor eller Villkor är uppflld) Svar b) W är INTE ett underrum till V. Eempel. Bestäm om följande mängder är underrum i M där M betecknar vektorrummet av alla matriser. a) W är mängden av alla alla matriser som har på platsen i, j dvs W ddärr kk RR b) W är mängden av alla alla matriser som har på platsen i, j dvs W ddärr kk RR Svar a) W är ett underrum till V. Svar b) W är INTE ett underrum till V ( summan av två element i W har och inte på platsen i, j}.

4 Sida av 7 Eempel. Bestäm om följande mängder är underrum i P där P betecknar vektorrummet av alla polnom av grad a) Alla polnom aa aa aa aa aa med aa. b) Alla polnom aa aa aa aa aa med aa. Svar a) Underrum Svar b) Ej underrum LINJÄRT BEROENDE OCH OBEROENDE VEKTORER Definition Låt V vara ett vektorrum. Vektorerna vv, vv,, vv nn är LINJÄRT OBEROENDE om λλ vv λλ vv λλ nn vv nn λλ λλ λλ nn. ( dvs ekvationen har endast den triviala lösningen) Därmed är vektorerna vv, vv, vv nn LINJÄRT BEROENDE om ekvationen λλ vv λλ vv λλ nn vv nn (eeeeeeee) har icketriviala lösningar ( dvs om det finns en lösning där minst ett λλ kk ) och därmed minst en vektor bland vv, vv,, vv nn är en linjär kombination av andra vektorer. Eempel. Är följande tre vektorer linjärt oberoende? u v och w. Enligt definitionen, vektorerna u, v, w är oberoende om ( och endast om) ekvationen w v u (*) har endast den triviala lösningen,,.

5 Sida av 7, Alltså har ekvationen (*) endast den triviala lösningen,, och därför är vektorerna u, v, w oberoende. Eempel. a) Är följande tre vektorer linjärt oberoende? b) Om vektorerna är beroende bestäm maimalt antal linjärtoberoende vektorer bland dem. c) Om vektorerna är beroende skriv en vektor som en linjär kombination av andra vektorer u v och w. Vektorerna u, v, w är oberoende om ( och endast om) ekvationen w v u har endast den triviala lösningen,,. ( Vi bter plats på tredje och fjärde ekv.) Sstemet är lösbart, med två ledande variabler, och en fri variabel, t. Lösbart sstem och minst en fri variabel implicerar oändligt många lösningar. ( t, t, t ) I vårt fall betder detta att vektorerna är beroende. c) w t tv tu w v u för alla t. Vi förkortar med t eller t e substituerar toch får en linjär kombination,,

6 Sida 6 av 7 u v w Härav w u v ( d v s w är en linjärkombination av u och v ) Svar a) Vektorerna u, v, w är beroende. b) Maimalt antal linjärt oberoende vektorer bland dem är ( ledade variabler). c) w u v Eempel 6. Låt u och v vara två linjärt oberoende vektorer i ett vektorrum V. Bestäm om a och b är linjärt oberoende där i) a u v och b u v ii) a u v och b u v i) a b (uv) (u v) ()u ( ) v (*) Eftersom uu och vv är enligt antagande oberoende (*) är möjligt endast om Sstemet har endast den triviala lösningen och. Därför är a och b linjärt oberoende vektorer. ii) a b (uv) (uv) ()u () v (*) Eftersom uu och vv är enligt antagande oberoende (*) är möjligt endast om Sstemet har oändligt många lösningar ( t och t) Därför är a och b linjärt beroende vektorer. Anmärkning: Det är uppenbart att a och b Eempel 7. Vi betraktar M, vektorrummet som består av alla matriser. a) Är följande tre vektorer linjärt oberoende? b) Om vektorerna är beroende bestäm maimalt antal linjärtoberoende vektorer bland dem. c) Om vektorerna är beroende skriv en vektor som en linjär kombination av andra vektorer u, v och w. uu vv ww Vi förenklar och identifierar element i matriserna på båda sidor: Gausselimination ger

7 Sida 7 av 7 a) Alltså har homogena sstemet oändligt många lösningar ( t, t, t ) och därmed är vektorerna ( dvs matriser betraktade som element i vektorrummet ) LINJÄRT BEROENDE. b) Maimalt antal linjärt oberoende vektorer bland dem är ( ledande variabler). c) Vi har nu uu vv ww ttuu tvv ttww ( för alla reella tal t ) Om vi t e tar t har vi uu vv ww och vi kan uttrcka t e w som en linjär kombination av u och v ww uu vv Eempel 8. Låt P vara vektorrummet av alla polnom av grad. Bestäm om följande vektorer (polnom) är linjärt oberoende. ii) pp(), qq(), rr() iiii) pp(), qq(), rr() a) aaaa() bbbb() cccc() aa bbbb cc( ) aa (bb cc) cc Polnom är för alla (identiskt lika med ) endast om alla koefficienter är och därför har vi aa, bb cc ooooh cc Därmed aa, b och c ( endast triviala lösningen). Svar i) Vektorerna dvs polnomen pp(), qq(), rr() är linjärt oberoende Svar ii) Beroende ( vi ser omedelbart att r() p() q() ).

Relevanta dokument

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,