Matrisavbildningar. Kirsti Mattila K T H

Transkript

1 246 Matrisavildningar Kirsti Mattila K T H 1. Inledning. I denna uppgift etraktas matriser som avildningar på planet R 2 ; speciellt etraktas projektioner och isometrier. En projektion är en avildning P som uppfller villkoret P (P (, )) = P (, ) för varje vektor (, ). Till eempel är P (, ) = (, 0) en projektion som projicerar punkterna i planet på aeln och Q(, ) = (, /2) en projektion som projicerar punkterna på linjen = /2. Vi etraktar två olika normer (längder) i planet, den euklidiska normen (, ) = och maimumnormen (, ) = ma{, }. De punkter i planet som har längden ett är punkterna på enhetscirkeln om normen är den euklidiska normen och punkterna på en kvadrat med hörn (±1, ±1) om normen är maimumnormen. I uppgiften skall estämmas de projektioner som inte förlänger vektorer (kontraktiva projektioner). Om normen i planet är maimumnormen, så gäller för projektionen Q ovan att Q(, ) = (, ), alltså normen ökar inte. Men om normen är den euklidiska normen, så är till eempel Q(1, 0) = (1, 1/2) = 5/2 > 1 = (1, 0). En isometri är en avildning som förvarar längden av varje vektor. Till eempel T (, ) = (, ) är en isometri med avseende på åda normerna. Om normen är den euklidiska normen, så finns det en

2 Matrisavildningar 247 kontraktiv projektion på varje endimensionellt delrum och det finns oändligt många isometrier. Dessa resultat gäller inte om normen är maimumnormen. 2. Om normer och matriser. En norm (eller längd) av en punkt eller vektor X är ett tal X som uppfller de följande villkoren: X 0 och om X = 0, så är X = 0. (1) αx = α X för varje reellt tal α. X + Y X + Y (triangelolikhet). Den vanligaste normen i planet är den euklidiska normen (, ) = Uppgift 1. Visa att den euklidiska normen uppfller villkoren (1). Maimumnormen är (, ) = ma{, }. Uppgift 2. Visa att maimumnormen är en norm. I det följande talar vi om rummet E när normen i R 2 är den euklidiska normen och om rummet Y när normen är maimumnormen. En matris är ett rektulangulärt schema av reella[ tal. ] Vi ehöver a kvadratiska matriser och kolonnmatriser. Vi nämner här några egenskaper av matriser. Mera om matriser kan man läsa i referens [2]. a Matriserna och c d är lika, d v s a = c d om a = a, =, c = c och d = d.

3 248 Kirsti Mattila Motsvarande gäller för kolonnmatriser. Matriser av samma form kan adderas enligt följande a + a + a + c d = c + c d + d och a a a + a + = + Multiplikationen av matriser definieras på följande sätt: a aa c d = + c a + d ca + dc c + dd e ae + f =. f ce + df Vi skriver AA = A 2 om A är en kvadratisk matris. Matriserna I = och 0 = kallas för identitetsmatrisen respektive nollmatrisen. För varje kvadratisk matris B gäller att IB = BI = B och 0B = B 0 = 0. En kvadratisk matris P är en projektion om P 2 = P. Uppgift 3. a) Visa att identitetsmatrisen och nollmatrisen är projektioner. ) Visa att om P är en projektion, så är I P också en projektion. Uppgift 4. Bestäm alla projektioner. En matris A = kan uppfattas som en avildning (funktion) på R 2 som avildar punkten (, ) på punkten (a+, c+d). Vi skriver A(, ) = (a +, c + d) för varje talpar (, ).

4 Matrisavildningar 249 eller på matrisform [ A = ] för varje kolonnmatris. Om är en norm i R 2, så kan man definiera en matrisnorm genom (2) A = ma{ (a +, c + d) : (, ) = 1} där A =. Vi kan också skriva A = ma{ AX : X = 1} där normen av en kolonnmatris X = är X = (, ). Speciellt gäller att I = 1. Uppgift 5. Visa, att om är en norm i R 2, så uppfller motsvarande matrisnorm (2) villkoren (1). Uppgift 6. Visa, att om P är en projektion, så gäller det att P 1 om P 0. En isometri på planet R 2 med en norm är en matris T som uppfller villkoret T X = X för varje kolonnmatris X. 3. Maimumnormen. Om normen i R 2 är maimumnormen (, ) [ = ma{, ] }, så kan motsvarande matrisnorm (2) av en matris uttrckas på ett enkelt sätt som en funktion av matriselement a,, c och d.

5 250 Kirsti Mattila Uppgift 7. Bestäm matrisnormen i rummet Y. Uppgift 8. a) Bestäm alla de projektioner på rummet Y som uppfller villkoret (villkoren) (i) P = 1 (kontraktiva projektioner) (ii) P = I P = 1 (ikontraktiva projektioner). ) Beräkna I 2P för de ikontraktiva projektionerna. Uppgift 9. Bestäm alla isometrier på rummet Y. 4. Den euklidiska normen. Uppgift 10. Bestäm matrisnormen i rummet E. (Ledning: Om (, ) = = 1, sätt = cos t, = sin t och estäm det största värdet av funktionen [ f(t) = A [ Om A är matrisen ] 2 = A [ cos t sin t ] 2, ], så kallar vi mängden 0 t 2π.) V (A) = {(a +, c + d) : och är reella tal} värdemängden för A. Uppgift 11. Visa att V (I) = R 2 och V ( 0 0 ) = {(0, ) : är reellt tal } = aeln. 0 1 Uppgift 12. a) Bestäm alla projektioner P på E som uppfller villkoret P = 1. Beräkna sedan I P för dessa projektioner. ) För varje reellt tal k estäm projektionen P k så att P k = 1 och att värdemängden för P k är linjen = k. c) Vilken mängd är V (I P k )? Uppgift 13. Bestäm alla isometrier på E.

6 Matrisavildningar 251 Egenvärden till en matris A = är nollställen till polnomet p() = (a )(d ) c, d v s egenvärden är [ lösningar ] till ekvationen p() = 0. a c Matrisen A t = är den till A transponerade matrisen. d Uppgift 14. Beräkna egenvärdena till matrisen A t A. Om λ är den större av egenvärdena, visa att A = λ, där A är matrisnormen i E (Uppgift 10). Litteratur Matrisnormen i Y (Uppgift 7) finns i oken [1] Faddeev, D.K. och Faddeeva, V.N., Computational Methods of Linear Algera. Freeman [2] Lang, S., Linear Algera. Addison Wesle Om matrisavildningar i (oändligtdimensionella) normerade rum kan man läsa i [3] Talor, A.E., Introduction to Functional Analsis. Wile 1958.