Föreläsning 7: Stabilitetsmarginaler. Föreläsning 7. Stabilitet är viktigt! Förra veckan. Stabilitetsmarginaler. Extra fördröjning i loopen?

Transkript

1 Föreläning 7 Föreläning 7: Känlighetfunktionen och Stationära fel 4 Februari, Standardkreten 3. Känlighetfunktion Förra veckan Stabilitet är viktigt! yquitkriteriet Im G(iω) Amplitud- och famarginal Im G(iω) - Re G(iω) - /Am Re G(iω) φm yquitkriteriet (förenklad verion): Antag att G() är tabil. Då är även lutna ytemet ockå tabil (under enkel återkoppling) om punkten ( + i) ligger till vänter om G(iω) när ω går från till (dv omcirklar ej ( + i)-punkten). OBS! Genom att analyera öppna ytemet överföringfunktion G(iωc) = Go = G R Gp drar vi lutater om lutna ytemet tabilitet G cl = + = Go + Go. Vi ritar alltå nätan alltid Bode- och yquit-diagram ωc kalla kärfrekven. Amplitudmarginal: "max förtärkningändring utan intabilitet" Famarginal: "max faförlut utan intabilitet" för Go() är ockå viktigt! 2 3 X29 4 Extra fördröjning i loopen? Im G (iω) - /A m Re G (iω) φ m G (iω c ) Amplitudmarginal: "möjlig förtärkningändring utan intabilitet" Famarginal: "möjlig faförlut utan intabilitet" Viktigt med tillräckliga tabilitetmarginaler för bra reglerpretanda Tumregel: A m > 2, φ m > 45 5 Reaktiontid: Hur påverka tabilitet om man inför extra fördröjning i återkopplingen? 6

2 Dödtidmarginal/fördröjningmarginal Dödtidmarginal/fördröjningmarginal Dödtidmarginalen talar om hur lång dödtid om kan addera till reglerkreten utan att den blir intabil. Antag att vi har en kretöverföringfunktion G () och att vi kompletterar denna med överföringfunktionen för en dödtid, e. Den nya kretöverföringfunktionen blir då G ny () = e G () där är dödtiden. Förtärkningen och favridningen för den nya kretöverföringfunktionen ge av G ny (iω) = G (iω) arg G ny (iω) = arg G (iω) ω 7 Förtärkningen påverka alltå inte av dödtiden, medan favridningen minkar. Antag att den urprungliga kretöverföringfunktionen G har kärfrekvenen ω c, det vill äga G (iω c ) =, med motvarande famarginal ϕ m. Efterom G ny har amma förtärkning om G kommer G ny ockå att ha kärfrekvenen ω c. Famarginalen kommer däremot att minka efterom favridningen har minkat. Den nya famarginalen blir 8 ϕ ny m = ϕ m ω c Standardkreten Om dödtiden är alltför lång förvinner famarginalen och det lutna ytemet blir intabilt. Standardkreten Detta R inträffar E då U + G R + G P + ω c = ϕ m Detta ger o följande grän för hur lång dödtiden kan vara innan ytemet blir intabilt m = ϕ m ω c Dödtiden Reducera m kalla inverkan dödtidmarginalen av lattörning och är en robuthetmarginal på amma ätt om förtärkningmarginalen Reducera inverkan av mätbru A m och famarginalen ϕ m. iten känlighet för variationer i proceen Följa variationer i R 9 Farthållare i bil Att bedöma en reglerkret Ett exempel R E U + Farthållare + Drivytem + R E U + k + ki + (+) 4 + R ange av föraren inverkan från vägen lutning mätfel hatighetmätning k =.755 k i =.3779 Viktigt att titta på 4 överföringfunktioner! ( Gang of four ) Amplitudkurvor för den enkla reglerkreten Stegvar för den enkla reglerkreten 2 T=Gyr=GpGc/(+GpGc) 2 Gyl=Gp/(+GpGc).4 Gyr=T=GpGc/(+GpGc).6 Gyl=Gp/(+GpGc Frequency (rad/ec) 6 Frequency (rad/ec) Gur=Gc/(+GpGc) S=Ger=/(+GpGc).6 Gur=Gc/(+GpGc) Ger=S=/(+GpGc) Frequency (rad/ec) Frequency (rad/ec)

3 Var ligger de dominerande polerna? Singularitetdiagram för ( + G R ) åt polerna (egenvärdena) till ytemet ẋ = Ax vara p,..., p n. åt v,..., v n vara motvarande egenvektorer. Då har löningarna formen x(t) = c e pt v + + c n e pnt v n En pol i b + ia motvara av en tranient av formen e bt in at Från tegvaren uppkattar vi b.2 a Känlighetfunktionen Känlighetfunktion Överföringfunktionen (luten loop) G S () = S() = + G R ()G P () kalla känlighetfunktionen. Den ger mycket information om lutna ytemet reglerpretanda. 6 Tolkning av känlighetfunktionen (/3) Tolkning av känlighetfunktionen (/3) ol () = G P ()() + () ol () =... () +... () cl () = G P ()() + () cl () = G P () + G R ()G P () () + + G R ()G P () () Känlighetfunktionen ger ett mått på inverkan av återkoppling. S(iω) < törningar med frekven ω reducera av regulatorn S(iω) > törningar med frekven ω förtärk av regulatorn Trade-off: Regulatorn kommar alltid förtärka törningar i något frekvenområde å viktigt att deigna utifrån detta. G P () cl () =... ()+... () cl () = + G R ()G P () ()+ 7 + G R ()G P () () Tolkning av känlighetfunktionen (2/3) Tolkning av känlighetfunktionen (3/3) 8 Känlighetfunktionen ger även ett mått på lutna loopen känlighet mot modellfel. Anta att G P är en modell för vår proce. G P = G P ( + G) GP motvarar den riktiga dynamiken, G är relativa modelleringfelet. Man kan via att ( ) = + S G S i känlighetfunktionen för det riktiga ytemet. / S(iω) är avtåndet mellan yquit kurvan och punkten + i. M = up ω S(iω) kan använda för att ge ett mått på tabilitetmarginalen. 9 3 = S G 2

4 Speciella överföringfunktioner Känlighetfunktionen G = /( + G o ) Kretöverföringfunktionen Känlighetfunktionen G o = G R Viar hur relativa felet i påverkar relativa felet i G t : G = S = /( + G o ) Komplementära känlighetfunktionen d log G t d log = G G t = T = G o /( + G o ) 2 22 Härledning Känlighetfunktionen mäter avtåndet till kritika punkten G t = G R + G R.5 Im.5 log G t = log G R log ( + G R ) G R () ().5 dg t G t = d G Rd d = + G R + G R d log G t = G d log Stabilitetvillkor Re G R < + G R G R G < En annan tolkning Maximal känlighet M = max G (iω) ett mått på reglerkvalitet Stabilitetvillkoret G R G <.5 kan även kriva < G t Stora variationer i proceen kan tillåta vid de frekvener där det lutna ytemet G t har mindre förtärkning än det öppna ytemet. Im Re Rimliga krav är M < 2 eller M < Regulatorproblemet reglera bort lattörningar Simulering av lutet ytem för olika kretförtärkningar G o = G R + G R R + + G R + + G R tegvar rampvar G R + G R i relevant frekvenområde + G R i relevant frekvenområde

5 Slutvärdeaten åt G() vara en rationell funktion där alla poler till G() har negativ realdel. åt g(t) vara motvarande impulvar. Då gäller lim g(t) G() Begynnelevärdeaten åt G() vara en rationell funktion med högre gradtal i nämnaren än i täljaren. åt g(t) vara motvarande impulvar. Då gäller lim g(t) G() t Reglerfel vid teg i referenignalen åt e(t) = r(t) y(t) där, t > r(t) =, t lim e(t) E() + ()G R () R() + ()G R () 29 + ()G R () 3 Reglerfel vid ramp i referenignalen åt e(t) = r(t) y(t) där t, t > r(t) =, t lim e(t) E() Fel vid ramp G R () = K () = ( + T ) + ()G R () R() lim e(t) + K (+T ) = + ()G R () 2 + ()G R () 3 lim e(t) + K (+T ) = K 32 Regulatorproblemet Reonera intuitivt! () = + G R () Exempel G R = k/, = /( + ) Vi finner lim y(t) () Exempel 2 G R = k, = /( + ) Vi finner ( + ) + k = Hög förtärkning före den punkt där törningen kommer in! Vad menar vi med förtärkning? Vad är förtärkningen ho en integrator vid låga frekvener? lim y(t) () ( + ) + k = k Det är alltå viktigt var integratorn itter Sammanfattning äta föreläning, F8. Standardkreten Referenignal attörning Mätbru Robuthet 2. De viktiga överföringfunktionerna Tilltåndåterkoppling Styrbarhet Kretöverföringfunktionen G = G R Känlighetfunktionnen /( + G R ) Komplementära känlighetfunktionen G o /( + G o ) Integraldel i regulator 3. ångamma ignaler Rollen av integratorer och dera placering