TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 4. Sammanfattning av Föreläsning 4, forts. Sammanfattning av Föreläsning 4, forts.

Transkript

1 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 1 / 28 Sammanfattning av Föreläning 4 TSRT9 Reglerteori Föreläning 5: Regulatortrukturer och reglerprinciper Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköping Univeritet Kalmanfilter Optimal obervatör. Kräver tokatik modell av törningarna. Kräver löning av algebraika Riccatiekvationen. Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 2 / 28 Sammanfattning av Föreläning 4, fort. Viktiga överföringfunktioner när G återkoppla med F y : S =(I + GF y ), Känlighetfunktion utignaltörning tyrd ignal, modellfel tyrd ignal. T =(I + GF y ) GF y, Komplementär känlighetfunktion mättörning tyrd ignal, modellfel tabilitet. S u =(I + F y G), Inignal-känlighetfunktion inignaltörning inignal. G wu = S u F y, utignaltörning inignal. G wuy = SG, inignaltörning utignal/tyrd ignal. Stabilitet ho S, S u, G wu, G wuy (och F r ) garanterar intern tabilitet ho lutna ytemet. Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 3 / 28 Sammanfattning av Föreläning 4, fort. S mäter förtärkning från modellfel till utignalfel. Δ z = S Δ G Om Δ G är relativa modellfelet, dv G ann =(I +Δ G )G modell å är återkopplade ytemet tabilt om Detta är i in tur uppfyllt om T (iω) < Δ G T < 1 1, för alla ω Δ G (iω)

2 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 4 / 28 Föreläning 5 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 5 / 28 Met framgångrika regulatorn någonin: PID Vilka regulatorprinciper finn? Vem kall tyra vad? RGA Syntemetod 1: Linjärkvadratik ynte Boulton och Watt 1788: hatighetreglering av ångmakiner, mekanik implementering. Hydraulika och pneumatika implementeringar: ent 18-tal. Elektronikimplementeringar: 193-talet. Datorimplementeringar: 195-talet. PID-on-a-chip : 199-talet. Tillämpningar: alla. källa: Wikipedia Andy Dingley Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 6 / 28 PID, fort. Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 7 / 28 När PID inte räcker till Förutätter en inignal och en utignal. Har man flera in- och utignaler måte man para ihop dem två och två. Tolkning i bodediagram: faavancerande och faretarderande. Kan tälla in med intuition och experimenterande. Reultat: högt halvbra (utom i mycket enkla fall). Sytematik analy (poler, nolltällen, S, T,...) kan ge regulatorintällning med mycket höga pretanda. Förta ytematika angreppättet (poler): Maxwell Robut formning av kretförtärkningen: Åtröm och Hägglund 26. (Betyder oftat att ytemet är flervariabelt och/eller olinjärt.) IMC (Internal Model Control). Minimering av kvadratika kriterier: LQ, LQG. Sytematik formning av överföringfunktioner: H 2, H. Olinjära metoder.

3 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 8 / 28 Flera in- och utignaler. Vem kall tyra vad? Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 9 / 28 Flera in- och utignaler. Interaktion Magert ytem: G = Fler ut- än inignaler. Alla utignaler kan inte tyra perfekt prioritera. Tjockt ytem: G = [ ] Fler in- än utignaler. Hur kall tyrarbetet fördela på inignalerna? Om det finn många in- och utignaler blir regulatorynteen mycket enklare om man kan bryta ned ytemet i delytem om har liten interaktion. RGA ett ätt att mäta interaktion Tillförlitlighetapekter Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 1 / 28 Interaktion/korkoppling Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 1 / 28 Interaktion/korkoppling Tvågreppblandare, ett ytem med jobbig korkoppling. Flera inignaler påverkar (kraftigt) en utignal. Flera utignaler påverka (kraftigt) av en inignal. Tvågreppblandare, ett ytem med jobbig korkoppling. Flera inignaler påverkar (kraftigt) en utignal. Flera utignaler påverka (kraftigt) av en inignal. Vinkel kallvattenvred Temperatur Vinkel kallvattenvred G11 Temperatur Vinkel varmvattenvred Vattenflöde Vinkel varmvattenvred G22 Vattenflöde

4 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 11 / 28 Interaktion/korkoppling, fort. Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 11 / 28 Interaktion/korkoppling, fort. Engreppblandare, ett ytem med näll korkoppling. Varje inignal påverkar (nätan) bara en utignal. Varje utignal påverka (nätan) bara av en inignal. Engreppblandare, ett ytem med näll korkoppling. Varje inignal påverkar (nätan) bara en utignal. Varje utignal påverka (nätan) bara av en inignal. Vinkel temperatur Temperatur Vinkel temperatur G11 Temperatur Vinkel flöde Vattenflöde Vinkel flöde G22 Vattenflöde Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 12 / 28 Decentralierad reglering Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 13 / 28 Temperaturreglering Gör en regulator för ett ytem med flera in- och utignaler genom att låta en utignal tyra en inignal. Reultatet blir ett antal envariabel-loopar. T 1 T 2 u i = F i rr j F i yy j där de olika regulatorerna inte känner till varandra exiten. F y kvadratik överföringmatri. Finn inte lika många in- och utignaler borter man från några av dem. Fungerar bättre ju mindre korkopplingar om finn i ytemet. Man vill para ihop de tarkat kopplade in- och utignalerna: hopparningproblemet. Hur avgör man vilka kopplingar om finn mellan in- och utignaler? PID U 1 U 2 Två rum med en innervägg om eparerar dem. Temperaturerna T 1 och T 2 är tilltånd och mät. Båda rummen kan både värma och kyla genom U 1 och U 2.

5 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 13 / 28 Temperaturreglering Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 13 / 28 Temperaturreglering T 1 T 2 T 1 T 2 PID PID U 1 U 2 U 1 U 2 [ T 2 ] = [ e e 5 ][ U U ] Vilken givare ka tyra vilken värme/kyl-källa? Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 14 / 28 Temperaturreglering, fort. Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 14 / 28 Temperaturreglering, fort. Decentralierad PI-reglering T 1 använd till U 1. T 2 använd till U 2. [ ] F () = Efter 1 timmar kommer 1 peroner in i rum 1. Effekt törning [W] Temperatur [grad. C] Effekt [W] T x Decentralierad PI-reglering T 2 använd till U 1. T 1 använd till U 2. [ ] F () = Efter 1 timmar kommer 1 peroner in i rum 1. Whooop... Temperatur [grad. C] Effekt [W] Effekt törning [W] 1 x T x

6 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 14 / 28 Temperaturreglering, fort. Decentralierad PI-reglering T 2 använd till U 1. T 1 använd till U 2. [ ] F () = Efter 1 timmar kommer 1 peroner in i rum 1. Hade vi kunnat förute problemet analytikt? Temperatur [grad. C] Effekt [W] Effekt törning [W] x x T Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 15 / 28 RGA Betrakta följande ideala fall Utignal j tyr från inignal i och ingen annan tyrning ker. Utignal j tyr från inignal i och alla andra utignaler är perfekt reglerade. Bilda kvoten mellan förtärkningarna i de två fallen (för varje par av in/ut-ignaler). Matematikt: elementvi multiplikation av G och G T (G överföringfunktionen utvärderad t.ex. vid ω =). I Matlab: RGA(A) = A.*pinv(A. ) (pinv = peudoinver, klarar icke-kvadratika matrier). Para ihop mät- och tyrignaler å att diagonalelementen i RGA(G(iω c )) är nära 1 i komplexa talplanet. RGA(G()) inte blir negativa (kan ge intabilitet). Hopparning innebär byte av plat på rader och kolonner i RGA-matrien. Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 16 / 28 Temperaturreglering: RGA Från tidigare lide: Para ihop mät- och tyrignaler å att diagonalelementen i RGA(G(iω c )) är nära 1 i komplexa talplanet. RGA(G()) inte blir negativa (kan ge intabilitet). I temperaturregleringexemplet: En hopparning T 2 använd till U 1 RGA(G(i5)) RGA(G()) = [ ] 1 1 [ 1.17 ] Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 17 / 28 Frikopplad reglering För att decentralierad reglering ka fungera måte det finna naturliga par av in- och utignaler om tår för den dominerande dynamiken. Vad gör man om å inte är fallet? Skapa ådana! Gör variabelbyten på in- och utignal till ytemet. ỹ = W 2 y ũ = W1 u Nytt virtuellt ytem : G() =W2 ()G()W 1 () G() å nära diagonal (frikopplad) om möjligt. Deigna diagonal regulator F y (S). Reulterande regulator: F y () =W 1 () F y ()W 2 () T 1 använd till U 2 bryter alltå mot båda reglerna (raderna byter plat)!

7 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 18 / 28 Frikopplad reglering, fort. Låter bra, men hur väljer man W 1 och W 2? Om man kulle vilja åtadkomma ett helt frikopplat virtuellt ytem kulle det kräva -beroende (dynamika) matrier W 1 och W 2. Oftat inte möjligt efterom det kan leda till en komplicerad eller icke-proper regulator. Itället: välj en frekven där ytemet blir frikopplat. ω = ω = ω c (G (iω c ) approximera oftat för att bli av med komplexvärda element). T.ex. valet W 1 = G () och W 2 = I ger frikoppling i tationäritet. Med rätt val av W 1 och W 2 kan man få en tvågreppblandare att bete ig om en engreppblandare. Mer lätttyrt! Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 19 / 28 Temperaturreglering, fort. Efter 1 timmar kommer 1 peroner in i rum 1. Frikopplad reglering med W 1 = G () och W 2 = I. Effekt törning [W] Temperatur [grad. C] Effekt [W] x T Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 2 / 28 Internal Model Control (IMC) Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 21 / 28 IMC-reglerdeign: Grundidé Återkoppla bara från ny information y Gu. r + u y F r Q G Önkan: Välj Q = G, vilket bl.a. kulle ge G c I. Problem: Önkevalet kulle leda till F y. Löning: Approximera inveren på lämpligt ätt, t.ex. G + Q() = 1 (λ +1) n G () Olika ytemegenkaper leder till olika lämpliga approximationer av inveren. Se id för detaljer. Ger (om G = G) G c = GQ F r, S = I GQ, T = GQ

8 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 22 / 28 Regulatorynte Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 23 / 28 Minimering av kvadratikt kriterium Modell: ẋ = Ax + Bu + Nv 1, y = Cx + v 2, z = Mx Två huvudprinciper: Kvadratik viktning av variabler. Optimering. Linjärkvadratik ynte : LQ, LQG. Direkt formning av S, T,... i frekvenplanet: H, H 2. v 1, v 2 vita bru med inteniteter R 1, R 2. Uppgift: Sök den linjära återkoppling om minimerar kriteriet E(z T Q 1 z + u T Q 2 u)=e(x T Q1 x + u T Q 2 u), Q1 = M T Q 1 M där E betecknar väntevärde. Om v 1 och v 2 är Gauika vita bru kalla metoden för Linear Quadratic Gauian Control (LQG). Kan överföra till ett trevligare determinitikt problem genom 4 obervationer. Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 24 / 28 LQG: Obervation 1 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 25 / 28 LQG: Obervation 2 I Kalmanfiltret är ˆx och x okorrelerade och x oberoende av u. ( x = x ˆx). Se Lemma 5.3 och (5.65). Konekven: E(x T Q1 x + u T Q 2 u)=e(ˆx T Q1ˆx + x T Q1 x + u T Q 2 u) Konekven: För att hitta optimalt u går det lika bra att minimera E(ˆx T Q1ˆx + u T Q 2 u) efterom kattningfelet x inte beror på valet av u. I Kalmanfiltret är innovationen ν = y C ˆx vitt bru med intenitet R 2. Se Sat 5.5 och (5.83). Konekven: Kalmanfiltret kan kriva på innovationform ˆx = Aˆx + Bu + Kν där bru-inignalen ν är vitt bru.

9 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 26 / 28 LQG: Obervation 3 Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 27 / 28 LQG: Obervation 4 Om y v är utignalen från ett ytem med vitt bru om inignal, och y i utignalen från amma ytem med ideal impul om inignal å är Eyv 2 = y i (t) 2 dt Energin i impulvaret = Effekten i vitbruvaret. Se (5.31)-(5.32). Konekven: Det tokatika problemet kan omformulera om ett determinitikt problem. Att lägga en impul på ingången till ett ytem är ekvivalent med att lägga på ett vit begynnelevärde när inignalen är noll. Konekven: Problemet kan formulera om ett optimaltyrningproblem med givet initialtilltånd. Reglerteori 217, Föreläning 5 Daniel Axehill 28 / 28 Konekven av Obervation 1 4 Det urprungliga optimeringproblemet är ekvivalent med att minimera (ˆx T Q1ˆx + u T Q 2 u)dt för ytemet ˆx = Aˆx + Bu, ˆx() givet Löning: u = Lˆx, L = Q 2 BT S,därS ge av Daniel Axehill Reglerteori 217, Föreläning 5 (ver. 1.17) Se Appendix 9A för mer detaljer! Q 1 + A T S + SA SBQ 2 BT S =