TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI

Transkript

1 TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI SAL: Egypten, Asgård, Olympen, Southfork TID: kl. 14:00 18:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Torkel Glad, tel , BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00 och 17:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum , kl i Ljungeln, B- huset, mellan ingång 25 och 27, A-korridoren. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

2 MATLAB: Matlab kan startas genom att i ett terminalfönster först skriva module add prog/matlab och sedan på en ny rad matlab &. UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2

3 1. (a) Beräkna RGA(G(0)) för systemet G(s) = [ s+0.1 s 3 +3s 2 +2s+2 s+9 s 2 +4s+9 5 s s 2 +s+1 Ange en lämplig hopparning mellan in- och utsignaler. (b) Ange en minimal realisation för överföringsfunktionen G(s) = [ 1 s+1 1 s+a Observera att realisationen kan se olika ut för olika värden på a. (4p) (c) Man vill stabilisera systemet ẋ = x + u där x och u är skalärer och u är begränsad: u 1. För vilka värden på x är stabiliseringen möjlig? (d) Vilka svårigheter uppstår när man vill återkoppla ett system med ett nollställe i höger halvplan? 3

4 2. (a) Betrakta systemet ẋ 1 = sin x 1 + 3x 2 + x 2 1x 2 2 ẋ 2 = sin(x 1 + 2x 2 ) + x 2 2 Vilken typ av jämviktspunkt (nod, fokus,sadelpunkt,...) är origo? Vad kan man säga om stabiliteten hos den linjära approximationen och hos det olinjära systemet (lokalt kring origo)? (b) I ett återkopplat system vill man att störningar på utgången ska dämpas två tiopotenser i frekvensområdet 0 ω 1 och att mätstörningar också ska dämpas två tiopotenser men i området a ω <, där a > Översätt kraven till krav på S och T. 2. Vilka krav på kretsförstärkningen leder detta till? 3. Förklara varför kraven blir svåra eller omöjliga att uppfylla om a ligger för nära 1. (c) Beräkna ett Kalmanfilter för systemet [ 0 1 ẋ = x + v 1 2 [ y = 1 2 x + w där v och w är okorrelerade vita brus med brusmatriserna [ 2 0 R 1 =, R = 5 Vad blir variansen för skattningen av x 1? (4p) 4

5 3. Betrakta nedanstående temperaturreglersystem 0 e K s(s 2 + s + 1) y -1 Mättningen beskrivs av 1 e > 1 f(e) = e e 1 1 e < 1 och har den beskrivande funktionen { 2 Y f (C) = π (arcsin 1 C + 1 C 1 C 2 ) C > 1 1 C 1 Man kan acceptera att temperaturen y självsvänger så länge amplituden blir mindre än 2. (a) Vilket är det största värdet på K som kan användas? Vilken blir motsvarande svängningsfrekvens? (8p) (b) Blir självsvängningen stabil? Varför? 5

6 4. Man vill styra systemet ẋ = x u där alla tillstånd är mätbara med försumbart brus så att kriteriet J = minimeras. 0 (x T Q 1 x + u T Q 2 u)dt (a) Vilka egenvärden har systemet? (1p) (b) Man använder Q 1 = 0 1 0, Q 2 = [ Vilka blir då det återkopplade systemets egenvärden? Hur mycket har egenvärdena flyttats jämfört med (a)? Ge en intuitiv förklaring till varför det blir på detta sätt. (c) Man använder fortfarande samma Q 1 och Q 2 = [ Vilka återkopplade egenvärden fås nu? Förklara skillnaden mot (b) (d) Försök hitta Q 1 och Q 2 som gör att det återkopplade systemets egenvärden har realdelar mindre än 50 6

7 5. När man gör exakt linjärisering kan det ibland vara en nackdel att kompensera bort bra olinjäriteter. Betrakta t ex systemet ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 3 1 x 2 + u (a) Ange en återkoppling som kompenserar bort olinjäriteten helt och ger överföringsfunktionen 2 s 2 + 5s + 2 från referenssignal till x 1. (b) Antag att man använder den i (a) framräknade återkopplingen men att det styrda systemet i verkligheten ges av ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 0.5x 3 1 x 2 + u Visa att det återkopplade systemet (för r = 0) har origo som en asymptotiskt stabil jämviktspunkt men att det inte är globalt asymptotiskt stabilt. (4p) (c) Visa att återkopplingen (för r = 0) gör att systemet ẋ 1 = x 2 u = x 1 ẋ 2 = γx 3 1 x 2 + u blir globalt asymptotiskt stabilt för varje positivt värde på γ. Tips: Testa Lyapunovfunktioner av formen V = ax bx cx dx 1 x 2 + ex 2 2 (4p) 7