TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI

Transkript

1 TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI SAL: Egypten och Asgård TID: kl. 14:00 18:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Daniel Axehill, tel , BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00 och 17:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, , ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum , kl i Ljungeln, B- huset, mellan ingång 25 och 27, A-korridoren. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

2 UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2

3 1. (a) Betrakta systemet G(s) = ( 1 s+2 1 s+2 1 s+3 1 s 2 9 ) Bestäm med hjälp av räkningar för hand vilket ordningstal som krävs för att realisera systemet på tillståndsform? (b) Beräkna RGA(G(0)) för systemet G(s) = [ s+1 s 3 +2s 2 +s+1 s+2 s 2 +s+3 ] 3 s+2 4 s 2 +s+2 Ange en lämplig hopparning mellan in- och utsignaler. (c) I kursen har några fundamentala begränsningar diskuterats. Förklara i ord vad följande begränsningar/resultat innebär praktiskt sett och vad de får för konsekvenser i praktiken: I. begränsad styrsignal II. Bodes relation III. Bodes integralsats (6p) 3

4 2. I den här uppgiften ska exakt linjärisering studeras för en backande lastbil med en semi-trailer runt en rät linje. Det finns olika matematiska modeller för systemet. Den modell som ska användas i den här uppgiften gäller för då hastigheten hos trailern är vald som 1 m/s konstant och ges av ż = sin θ θ = tan β L 2 β = tan β tan u L 2 L 1 cos β (1a) (1b) (1c) där z är lateral avvikelse från banan, θ är trailerns orientering relativt banan, β den relativa vinkeln mellan trailern och lastbilen och u är styrvinkeln för lastbilen med för vilken det måste gälla att u < π/2. L 1 och L 2 är längderna hos lastbilen respektive trailern. Modellen är bara giltig i intervallet β < π/2 och θ < π/2. (a) Ett enkelt variabelbyte på insignalen överför systemet till styrsignalaffin form. Utför det och skriv systemet på denna form. (b) Välj en utsignal sådan att det relativa gradtalet blir 3. Visa att så är fallet genom att utföra lämpliga räkningar. (5p) (c) Ta fram en styrlag på formen u = f 3 ((ū f 1 (x))/f 2 (x)) med potentiellt olinjära funktioner f 1 (x), f 2 (x) och f 3 (x) sådana att systemet i (1) blir exakt linjäriserat och får en ny virtuell insignal ū. Tips: Funktionen f 3 (x) relaterar till variabelbytet i deluppgift (a). (d) Finns det någon nolldynamik i det här fallet? Om den finns, ange den. Om den inte finns, motivera varför så är fallet. (1p) 4

5 3. När man ska ge sig ut på större vatten med sin fritidsbåt kan det vara intressant att känna till hur den beter sig om den skulle kapsejsa, d.v.s. slå runt. Detta kan t.ex. hända om den träffas av en större brytande våg. För de flesta segelbåtar med köl kommer båten inom ett stort spann av rollvinklar att vända sig rätt igen p.g.a. kölens massa och skrovets utformning. Detta vinkelspann kallas för range of stability (ROS). Befinner sig roll-vinkeln utanför detta vinkelspann kommer båten istället att lägga sig upp-och-ner. Se figur 1. Detta fenomen ska du nu undersöka med hjälp av olinjär analys av en segelbåts rollrörelse. Rollrörelsen med rollvinkel Φ och rollvinkelhastighet ω kan förenklat tänkas beskrivas på tillståndsform med två olika dynamiker. En dynamik då båten befinner sig inom range of stability Φ = ω (2a) ω = ( m kd k + m m h m ) g sin(φ) η n ω m tot gf n sin(φ) (2b) J x J x J x då 5π 6 Φ + 2πn 5π 6 för n =..., 2, 1, 0, 1, 2,..., och en då båten befinner sig utanför range of stability Φ = ω (3a) ω = ( m kd k + m m h m ) g sin(φ) η i ω + m tot gf i sin(φ) (3b) J x J x J x annars. Låt konstanterna anta värdena m k = 5000, d k = 3, η n = 10 4, η i = 10 6, m m = 200, h m = 10, m tot = 9200, f n = 1, f i = 2.5, J x = och g = (a) Vilka jämviktspunkter finns och av vilken typ är de (entangentnod, tvåtangentnod, sadelpunkt,...)? (4p) (b) Skissa systemets fasplan. Ange tydligt de eventuella regioner med olika dynamik som det består av. (4p) (c) Antag nu att båtens rollvinkel befinner sig utanför range of stability. Kan en person som väger 100 kg som befinner sig på relingen 2 m ut från båtens centrumlinje klara att räta upp båten från vila oavsett vilken rollvinkel båten har i området utanför range of stability? Motivera noggrant i termer av jämviktpunkter. Tips: Vi kan modellera personen på relingen genom att addera J x till ekvation (3b) ovan. 5

6 Φ, ω ROS ROS Figur 1: En segelbåts rollrörelse sedd bakifrån med range of stability (ROS) utritad som 5π 6 Φ 5π 6. 6

7 4. Du har fått i uppgift att designa ett reglersystem för styrning av läsarmens vinkel i en hårddisk. Överföringsfunktionen för systemet från inspänning till motormoment ges av G 1 (s) = 1000 s (4) Överföringsfunktionen från motormoment till läsarmens vinkelhastighet ges av G 2 (s) = (5) s Slutligen fås armens vinkel som en ren integration av hastigheten. (a) Skriv systemet från inspänning till läsarmens vinkel på tillståndsform med tillstånden motormoment x 1, armens vinkelhastighet x 2 och armens vinkel x 3. (b) Designa en LQ-regulator (vi antar direkt mätta tillstånd, ingen observatör) för systemet där det slutna systemet uppfyller följande krav om referenssignalen till det slutna systemet är ett enhetssteg Stigtid < 1 ms. Vinkelhastigheten hos armen får inte överstiga Beloppet av inspänningen får inte överstiga 400. Det slutna systemets statiska förstärkning ska vara 1. Redovisa din lösning genom att lämna in all den kod du använt för att lösa uppgiften samt plottar som visar att kraven är uppfyllda. (4p) (c) Antag att förutsättningarna i sats 9.1 i boken är uppfyllda. Illustrera i det komplexa talplanet ett område där man med säkerhet vet att polerna för det slutna systemet vid LQ-reglering inte kan hamna oavsett val av straffmatriser (principiellt, inga räkningar för just det här systemet behöver göras). (d) Förstärkningen i det verkliga systemet som modellerats som G 2 ovan är inte helt känd. Man har fått indikationer på att den kan vara så hög som 10 5 istället. Vilka konsekvenser kan man i så fall förvänta sig för det slutna systemets stabilitet med regulatorn du designat ovan? 7

8 5. I den här uppgiften skall vi arbeta med en robotarm där motorarmen påverkas av en olinjär friktionkraft f(v) som är styckvist affin i rotationshastigheten v, med större friktionskoefficient i högre hastigheter. 0.5v v 1 f(v) = 1.5v 1 v 1 1.5v + 1 v 1 Detta kan man skriva om med hjälp av en mättning φ(v) f(v) = 1.5v φ(v) Den linjära termen 1.5v i friktionsmodellen kan bakas in i den linjära modellen av övriga robotarmen, vilket möjliggör att vi kan få en praktisk separation i linjära och olinjära block. Vi väljer att reglera vinkeln y med en lågpassfiltrerad PD-regulator F (s) och med den kan det slutna systemet representeras som i figur 2. F (s) = s 0.1s + 1, G(s) = s + 20 s s + 30 φ(v) v r = 0 F (s) G(s) 1 s y Figur 2: Blockschema för robotarm där friktionen är beskriven m.h.a. en mättning φ(v). (a) Gör om blockschemat i figur 2 så att det passar in i ramverket för beskrivande funktion, d.v.s. en sluten loop med 1 st statisk olinjäritet och 1 st linjärt dynamiskt system. Ange uttrycken för det olinjära resp. linjära systemet. Var noggrann med tecken! (4p) (b) Beräkna med hjälp av beskrivande funktion amplitud och frekvens för eventuella självsvängningar och ange deras amplitudstabilitet. (6p) 8