TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet. Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Amplitudstabilitet hos svängningar

Transkript

1 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 23 Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet Linjärt system G(s) återkopplat med en statisk olinjäritet f(x) TSRT9 glerteori Föreläsning : Fasplan Daniel Axehill f() =, k f(x) x k 2 Stabilt om nyquistkurvan till inte omcirklar eller går in i cirkeln. glerteknik, ISY, Linköpings Universitet k k 2 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 2 / 23 Sammanfattning av föreläsning 9, forts. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 3 / 23 Amplitudstabilitet hos svängningar Beskrivande funktion: självsvängningar i denna struktur: G f f representeras av amplitudberoende förstärkning, C amplitud. Självsvängningsvillkor: =. Grafisk representation av självsvängningsvillkor: Skärning mellan Nyquistkurvan och /. Grafiskt kan även stabiliteten hos svängningen analyseras. Metoden är bara approximativ. Indikation på stabil (vänster) respektive instabil (höger) självsvängning. Rör sig / mot eller bort från skärningspunkten med?

2 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 4 / 23 Amplitudstabilitet forts. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 5 / 23 Föreläsning Indikation på utdöende (vänster) respektive obegränsat växande (höger) svängningar. Fasplan. Att approximativt kunna skaffa sig en uppfattning om ett olinjärt systems lösningar ( banor ). / skär aldrig. Omcirklas /, eller inte? glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 6 / 23 Fasplan Fasrum: gammalt namn på tillståndsrum. Fasplan: tvådimensionellt tillståndsrum. Fasplan är lätta att illustrera grafiskt. Kan skissas m.h.a. egenvektorer och egenvärden till A-matrisen. Alternativt, datorsimuleringar från ett antal initialtillstånd. Ofta plottar vi x (t) och (t) separat som funktioner av tiden, här sammanfattas de till en. En hel del kan generaliseras till högre dimensioner. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 7 / 23 Linjära system. Egenvektorer egenvektor x t=s x Betrakta ett system utan insignal: ẋ = Ax. Om λ egenvärde och v egenvektor till A gäller: Av = λv. En lösning ges av: x = e λt v.

3 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 8 / 23 Klassificering av jämviktspunkter glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 9 / 23 Tvåtangentnod Stabil (vänster) och instabil (höger) tvåtangentnod: Beroende på om egenvärdena är reella eller komplexa, samt realdelens tecken, fås principiellt olika beteenden. Stabil: Två reella olika negativa egenvärden. Instabil: Två reella olika positiva egenvärden. Principiella utseendet bestäms av egenvektorerna och relationen mellan beloppen av egenvärdena. Hastigheten bestäms av beloppet av egenvärdet. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 23 Tvåtangentnod, forts. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 23 Sadelpunkt t=s Snabb λ = 2.4 Långsam λ 2 = x Två reella egenvärden med olika tecken. Principiella utseendet och hastigheten enl. tidigare. Startar man precis rätt slutar man i origo, annars...

4 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 2 / 23 Sadelpunkt, forts. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 3 / 23 Entangentnod och stjärnnod t=s x Instabil λ =.8 Stabil λ 2 =. Sammanfallande egenvärden λ = λ = λ 2. Stabil entangentnod till vänster (instabil: byt riktning). Det gick inte att hitta 2 st linjärt oberoende egenvektorer. Lösningen byter struktur. Stabil stjärnnod till höger (instabil: byt riktning). Man kan välja 2 st linjärt oberoende egenvektorer. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 4 / 23 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 4 / 23 Komplexkonjugerade egenvärden σ ± iω. [ ] σ ω ẋ = x ω σ Om systemet inte redan är på denna form kan man göra ett variabelbyte x = T x för att komma dit. Utför variabelbyte x = r cos φ och = r sin φ: ṙ = σr φ = ω Lösningen blir spiraler eftersom φ växer (ω > imaginärdelen). Avståndet till origo avtar om σ< ochökaromσ>.

5 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 4 / 23 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 4 / 23 Om σ =så är avståndet konstant till origo, resultatet blir alltså cirklar kring origo. Vi har alltså två fall: Stabilt fokus till vänster (instabilt fokus: byt riktning på pilarna). Centrum till höger. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 5 / 23, forts. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 6 / 23 Samband linjärt olinjärt: nära jämviktspunkt t=s 5 5 Om det linjära systemet ẋ = Ax har en jämviktspunkt av typen en/tvåtangentnod, fokus eller sadelpunkt för x =så har det olinjära systemet ẋ = Ax + g(x), g(x) / x, x samma kvalitativa uppförande nära origo (så snart lösningen befinner sig tillräckligt nära ). 5 5 x

6 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 7 / 23 Samband linjärt olinjärt, forts. På samma sätt, om det linjäriserade systemets jämviktspunkt är ett centrum så kan det olinjära beteendet både vara av typen (instab./stab.) fokus som centrum. en stjärnnod, kan man i princip inte säga något om det olinjära systemets fasplan nära jämviktspunkten. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 8 / 23 Fasplanet långt från jämviktspunkter Givet ett olinjärt andra ordningens system ẋ = f (x, ) ẋ 2 = f 2 (x, ) Bilda derivatan d = d dt = ẋ2 = f 2(x, ) dx dt dx ẋ f (x, ) Detta är alltså lutningen för som en funktion av x, oberoende av tiden t. Speciellt är banan vågrät för de (x, ) där f 2 (x, )= och lodrät där f (x, )=. Beteendet långt ut i fasplanet kan fås från gränsvärdena f 2 (x, ) lim x ± f (x, ), lim f 2 (x, ) ± f (x, ) glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 9 / 23 Två exempel med tre tillståndsvariabler Exempel på generalisering till högre dimension: Stabilt nodfokus (vänster). Fokus + ett reellt egenvärde. Stabil tretangentnod (höger). Generalisering av tvåtangentnod, nu med tre reella egenvärden. Och alla kombinationer av dessa... glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 2 / 23 Fasplan för generator Jämviktspunkten i origo är ett stabilt fokus. Jämviktspunkterna i (±π, ) är sadelpunkter (röda linjerna visar egenvektorerna). Jmf. utseendet hos Lyapunovfunktionen på tidigare föreläsning!

7 glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 2 / 23 Instabilitet hos järnvägsfordon Tvärsrörelsen hos lok och järnvägsvagnar blir ibland instabil: (Källa: La vie du rail) glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 22 / 23 Hjulaxelns fasplan En förenklad linjäriserad modell för en hjulaxel till en järnvägsvagn är: [ ] [ d λ αv = 2 ][ ] ɛ λ dt θ β αv 2 () θ där λ är förskjutningen i sidled och θ är axelns vridningsvinkel i horisontalplanet. α, β och ɛ är positiva konstanter. V är hastigheten i rälsens riktning. Vid måttliga hastigheter är diagonalelementen små så att egenvärdena är nästan rent imaginära med imaginärdelar ± β. aldelarna har samma tecken som 2αV 2 ɛ. Vid låga hastigheter är fasplanet alltså ett stabilt fokus, över gränshastigheten V =.5ɛ/α ett instabilt fokus. glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 23 / 23 Hjulaxeldynamik, forts. Att titta på en ensam axel är naturligtvis mycket förenklat, men en början. Sedan måste man ta hänsyn till att axlarna sitter i boggier, som bär upp vagnarna, som är hopkopplade till tågsätt. Även i mer realistiska fall är slutsatsen densamma: det finns en kritisk hastighet och över den är rörelsen instabil. Utvecklingen mot höghastighetståg har bl.a. möjliggjorts av att man teoretisk förstår och kan räkna på instabilitetsfenomenen. Man tittar numera på möjligheten att styra hjulaxlarna aktivt i ett återkopplat system. Daniel Axehill glerteori 27, Föreläsning (ver..7)