Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

Transkript

1 Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen Sal (1) Egypten (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 08:00 12:00 Kurskod TSRT09 Provkod DAT1 Kursnamn/benämning Reglerteori Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Daniel Axehill (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden , Besöker salen cirka kl. 09:00 och 11:00 Kursadministratör/ kontaktperson Carina Lindström, , Carina.E.Lindstrom@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen

2

3 SAL: Egypten TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI TID: kl. 08:00 12:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Daniel Axehill, tel , BESÖKER SALEN: cirka kl. 09:00 och 11:00 KURSADMINISTRATÖR: Carina Lindström, , Carina.E.Lindstrom@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum , kl i examinators tjänsterum 2A:581, B-huset, ingång 25, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!

4 UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2

5 1. (a) Nedan listas fem uppgifter som du kan råka ut för som reglertekniker. Under dessa uppgifter finns fem reglertekniska verktyg listade. Para ihop rätt uppgift (siffra) med rätt verktyg (bokstav) och motivera noggrant varför. Uppgift: 1. Du vill undersöka förstärkningen från mätstörning till reglerstorhet. 2. Du vill använda en reglerstrategi som bygger på idén att bara återkoppla från den nya informationen. 3. Du vill mäta graden av korskoppling i ett system. 4. Du vill undersöka hur stort det relativa utsignalfelet blir givet ett relativt modellfel. 5. Givet ett kvadratiskt uttryck för effekten i reglerfelet och ett kvadratiskt uttryck för effekten i styrsignalen vill du göra en reglering som kan tolkas som en optimal avvägning mellan storleken hos dessa i tidsplanet samtidigt som linjära bivillkor på styrsignaler och tillstånd respekteras. Verktyg: A. IMC. B. RGA. C. MPC. D. Känslighetsfunktion. E. Komplementär känslighetsfunktion. (b) Beräkna poler och nollställen till systemet ẋ = x u [ ] y = x (5p) Vid samtliga räkningar i den här deluppgiften får Matlab endast användas för triviala beräkningar såsom +,,, etc. (3p) (c) Ett system med ett reellt nollställe i z > 0 och en reell pol i p > 0 skall regleras. (Övriga poler och nollställen ligger i vänster halvplan.) Vilket fall är svårast, z > p eller p > z? Motivera. (2p) 3

6 2. I den här uppgiften ska vi studera en boll med massan m och radien r som studsar mot ett plant golv. Bollen kan befinna sig i två principiellt skilda situationer; A och B. I situation A rör den sig fritt i luften utan någon kontakt med omgivningen (golvet) med en dämpning från luftmotståndet som ger en kraft αẏ(t). Då ges dess dynamik av mÿ(t) = mg αẏ(t), y(t) > r där y(t) är avståndet mellan golvet och bollens centrum. I situation B har den kontakt med golvet och dess interaktion med det modelleras som en fjäder och dämpare. Dynamiken ges då i situation B av ( y(t) r mÿ(t) = mg β tan r π 2 ) γẏ(t), y(t) r där β är materialets fjäderkonstant och γ är materialets dämpningskonstant. Välj m = 1, g = 10, α = 0.2, β = 100, γ = 5 och r = 0.1. r y y Figur 1: Boll med radie r som till vänster befinner sig i luften (situation A) och till höger är i kontakt med golvet där den deformeras temporärt (situation B). y anger i båda situationerna avståndet från golvet till bollens centrum. (a) Inför tillstånd x 1 = y och x 2 = ẏ. Ange eventuella jämviktspunkter samt deras respektive typ (entangentnod, tvåtangentnod, sadelpunkt,...). (3p) (b) Skissa systemets fasplan. Ange tydligt de eventuella regioner med olika dynamik som det består av. (4p) (c) Vi inför nu en person som slår på bollen uppifrån med ett racket. Denna rörelse kan tänkas ske på ett sätt så att bollen vänder momentant på höjden 1 m från marken och får hastigheten v 0 m/s. Rita ett nytt fasplan (ta hjälp av det gamla) för fallet att v 0 = 4 som beskriver bollens nya rörelse. I detta nya fasplan, skissa speciellt hur den limit-cycle som kommer att uppstå principiellt ser ut. (3p) 4

7 3. Betrakta en olinjär förenklad modell av propeller-motor-dynamiken longitudinellt i propelleraxelns förlängning för en propeller och motor till en oktakopter (separerad från övriga farkosten) ẋ 1 = ax 1 + b(x 1 + cx 2 )(cx 2 x 1 ) ẋ 2 = dx 2 + u där x 1 är propellerns hastighet relativt luften längs den räta linjen i propelleraxelns förlängning, x 2 propellerns rotationshastighet och u är spänningen till motorn, se figur 2. Konstanterna a, b, c och d antas vara kända. x 2 x 1 Figur 2: Propeller som rör sig i axelns förlängning med hastigheten x 1 och roterar kring samma axel med vinkelhastigheten x 2. (a) Välj en utsignal sådan att det relativa gradtalet blir 2. Visa att så är fallet genom att utföra lämpliga räkningar. (4p) (b) Ta fram en styrlag på formen u = (ū f 1 (x))/f 2 (x) med potentiellt olinjära funktioner f 1 (x) och f 2 (x) sådana att systemet blir exakt linjäriserat och får en ny virtuell insignal ū. (2p) (c) Ta fram en regulator som reglerar propellerns longitudinella hastighet x 1 relativt luften ( farthållare ) genom att använda linjär IMC-teknik. Regulatorn ska styra systemet via ū. Stigtiden för det slutna systemet ska vara 0.3 s och den statiska förstärkningen 1. Din lösning ska innehålla en plot med ett stegsvar för slutna systemet från referens till hastighet där det tydligt framgår att kraven på stigtid och statisk förstärkning är uppfyllda. Om det krävs för din lösning kan du anta att a = b = c = d = 1. (4p) 5

8 4. I figuren nedan visas ett system bestående av en kula som rullar på ett lutande plan. Variabeln r betecknar kulans position relativt centrum på planet och α betecknar planets lutning. Insignal till systemet är momentet som vrider planet runt infästningen. r α Figur 3: Kula på lutande plan. Efter att följande tillståndsvariabler införts x 1 (t) - kulans position, r(t) x 2 (t) - kulans hastighet, ṙ(t) x 3 (t) - planets vinkel, α(t) x 4 (t) - planets vinkelhastighet, α(t) kan systemet från momentet verkande på planet u(t) till kulans position x 1 (t) skrivas på tillståndsform ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) (1) där A = B = 0 1 C = ( ) (a) Verifiera att systemet kan ses som fyra seriekopplade integratorer. (2p) (b) Antag att systemet startas i begynnelsetillståndet x(0) = ( ) T d.v.s. kulan ligger till höger om centrum och planet lutar nedåt på höger sida. Antag att samtliga tillståndsvariabler kan mätas. Bestäm en återkoppling så att följande krav uppfylls från detta initialtillstånd: 6

9 x(t) 0 då t. x 1 (t) 0.2 hela tiden. u(t) 2.5 hela tiden. Bifoga den Matlab-kod som du har använt dig av för att lösa uppgiften, samt en eller flera plottar som tydligt visar att kraven är uppfyllda. Ange slutligen det slutna systemets egenvärden. (6p) (c) I Sats 9.1 i boken (LQ-satsen) är ett av antagandena att (A, B) är stabiliserbar. Förklara vad detta antagande innebär och varför det är rimligt att göra. (2p) 7

10 5. Betrakta följande olinjära system ẋ 1 = x γx 1 + u ẋ 2 = x 2 + γx 1 där γ är en godtycklig reell konstant. (a) Antag u = 0 och γ = 0. Du ska nu analysera stabilitet för det här system med Lyapunov-teori. Vilken av följande tre funktioner är en lämplig kandidat som Lyapunovfunktion för att försöka visa att jämviktspunkten i origo är globalt asymptotisk stabil för systemet ovan? 1. V (x 1, x 2 ) = x V (x 1, x 2 ) = x 2 1 x V (x 1, x 2 ) = x x2 2 Motivera ditt val noggrant, både varför en viss funktion är lämplig respektive varför två funktioner är olämpliga som Lyapunovfunktioner. Notera att du ska inte göra själva analysen än, bara välja en funktion som är lämplig att gå vidare med. (2p) (b) Antag fortfarande att u = 0, men låt γ vara fri. Försök visa global asymptotisk stabilitet kring origo. Ange ett tillräckligt krav på γ R för att origo ska vara en globalt asymptotiskt stabil jämviktspunkt. Ledning 1: Det kan vara en bra idé att först bestämma av vilken typ jämviktspunkten i origo är. Ledning 2: För att få ett globalt resultat kan Lyapunovfunktionen från (a) vara användbar. Ledning 3: x T Hx < 0, x 0 λ max (H) < 0 där λ max ( ) betecknar största egenvärdet. (5p) (c) Antag nu att du är fri att välja insignalen u, vilken alltså inte längre behöver vara identiskt lika med noll. Utnyttja din Lyapunovfunktion från (a) för att välja en tillståndsåterkoppling u(x 1, x 2 ) sådan att origo blir en globalt asymptotiskt stabil jämviktspunkt för det slutna systemet för varje fixt val av γ. Din återkoppling kan bli en funktion av γ. (3p) 8