REGLERTEKNIK. Formelsamling

Transkript

1 REGLERTEKNIK Formelamling Intitutionen för reglerteknik Lund teknika högkola Juni 27

2 2

3 Matriteori Beteckningar Matri av ordning m x n a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A =. a m a m2 a mn Vektor med dimenion n x x 2 x =. x n Tranponering B = A T b ij = a ji (AB) T = B T A T Om a ij = a ji är matrien ymmetrik. Determinant det A = A = Om A är av ordningen 2 x 2 gäller a a 2 a n a 2 a 22 a 2n. a n a n2 a nn Allmänt gäller det A = a a 22 a 2 a 2 det A = = n a ij ( ) i+j det M ij i= n a ij ( ) i+j det M ij j= där M ij är den matri, om erhålle om rad i och kolumn j i matrien A tryke. Inver Om A är av ordning 2 x 2 gäller A A = A A = I (det A = ) A = det A a 22 a 2 a 2 a

4 Allmänt gäller där elementen i C ge av A = det A CT Egenvärden och egenvektorer c ij = ( ) i+j det M ij Egenvärdena (λ i, i =, 2,..., n) och egenvektorerna (x i, i =, 2,..., n) få om löningar till ekvationytemet om har löning om Ax = λx det(λi A) = λ n + α λ n + α 2 λ n 2 + +α n = λ n +α λ n +α 2 λ n 2 + +α n kalla karakteritikt polynom. det(λi A) = kalla karakteritik ekvation. 2

5 Dynamika ytem Tilltåndekvationer dx = Ax+ Bu dt y = Cx+ Du x(t) = e At x()+ t e A(t τ) Bu(τ)dτ Viktfunktion y(t) = t h(t τ)u(τ)dτ h(t) = Ce At B+ Dδ(t) Överföringfunktion Y() = G()U() G() = C(I A) B+ D = L { h(t) } G: nämnare är karakteritika polynomet till matrien A. Frekvenvar u(t) = inωt y(t) = a in(ωt+ φ) a= G(iω) φ = arg G(iω) Linjäriering Om det olinjära ytemet dx = f(x, u) dt y = (x, u) linjäriera kring en tationär punkt (x, u ) få efter variabelbytet det linjära ytemet d x dt x = x x u = u u y = y y = f x (x, u ) x+ f u (x, u ) u y = x (x, u ) x+ u (x, u ) u 3

6 Tilltåndbekrivningar. Diagonalformen λ β β 2 dz dt = λ 2. z+ u... λ n β n y = γ γ 2... γ n z+ Du 2. Oberverbara kanonika formen a... a 2 dz dt =. z+. u a n a n b n y =... z+ Du 3. Styrbara kanonika formen a a 2... a n a n dz dt =. y = b b 2... b n z+ Du Sytemet överföringfunktion är b b 2 z+ u. vf G() = D+ b n + b 2 n b n n + a n + + a n = D+ β γ λ + β 2γ 2 λ β nγ n λ n 4

7 Laplacetranformen Operationlexikon Laplacetranform F() Tidfunktion f(t) αf ()+ β F 2 () αf (t)+βf 2 (t) Linjäritet 2 F(+ a) e at f(t) Dämpning 3 e a F() 4 ( ) a F a 5 F(a) (a> ) { f(t a) t a> t a< Tidfördröjning (a > ) f(at) Skalning i t-planet ( t ) a f a Skalning i -planet 6 F ()F 2 () t f (t τ)f 2 (τ) dτ Faltning i t-planet 7 c+i F (σ)f 2 ( σ) dσ f (t)f 2 (t) Faltning i -planet 2πi c i 8 F() f() f (t) Derivering i t-planet 9 2 F() f() f () f (t) n F() n f() f (n ) () f (n) (t) d n F() d n ( t) n f(t) Derivering i -planet 2 F() t f(τ) dτ Integration i t-planet 3 F(σ) dσ f(t) t Integration i -planet 4 lim F() lim f(t) t Slutvärdeteoremet 5 lim F() lim f(t) t Begynnelevärdeteoremet 5

8 Tranformlexikon Laplacetranform F() Tidfunktion f(t) δ(t) Diracfunktion 2 Stegfunktion t Rampfunktion 3 2 t2 Acceleration n+ + a (+ a) 2 (+ a) 2 +T a 2 + a 2 a 2 a a 2 2 a 2 (+a) (+T) (+ a)(+b) t n n! e at t e at ( at)e at T e t/t in at inh at co at coh at ( ) a e at e t/t e bt e at a b 6

9 Tranformlexikon, fortättning Laplacetranform F() Tidfunktion f(t) (+ a)(+b) a (+b) 2 + a 2 +b (+b) 2 + a ζω + ω 2 ae at be bt a b e bt in at e bt co at 2 ζ = ζ < ζ = ζ > 2 + 2ζω + ω 2 τ π : ζ < ω inω t ( ) ω e ζω t in ω ζ 2 ζ 2 t te ω t ( ) ω ζ 2 e ζω t inh ω ζ 2 t ( ) ζ e ζω t in ω ζ 2 t+ τ 2 τ = arctan ω ζ 2 ζω ζ = coω t 22 a ( 2 + a 2) (+b) ζ = ( ω t)e ω t ( in(at φ)+ e bt inφ ) a2 + b 2 φ = arctan a b 7

10 Laplacetranformtabell, fortättning Laplacetranform F() Tidfunktion f(t) 23 ( 2 + a 2) (+b) ( co(at φ) e bt coφ ) a2 + b 2 φ = arctan a b ab (+a)(+b) a 2 (+a) 2 a 2 (+ a) (+ a)(+b)(+c) + ae bt be at b a (+ at)e at t a ( e at ) (b c)e at +(c a)e bt +(a b)e ct (b a)(c a)(b c) 28 ω 2 ( 2 + 2ζω + ω 2 ) ( ) < ζ < e ζω t in ω ζ 2 ζ 2 t+ φ φ = arccoζ ζ = coω t 29 (+ a) n+ n! tn e at 3 3 (+ a)(+b)(+c) a ( 2 + a 2) 2 a(b c)e at + b(c a)e bt + c(a b)e ct t 2 in at (b a)(b c)(a c) πt F ( ) πt e σ 2 /4t f(σ) dσ 8

11 G 2 G()=(+T), T= +T G Radianer/ 9 Bodediagram. Typkurvor

12 Bodediagram. Typkurvor, fortättning G G G()=e -L L= Radianer/

13 G 2 2 ω G()= 2 + 2ζω + ω = ω 2 G ζ=. ζ=.5 ζ= ζ=.2 ζ=.5 ζ=. Radianer/ 9 Bodediagram. Typkurvor, fortättning ζ=. ζ=.5 ζ=.2 ζ=. ζ=.5 ζ=. 8.

14 Stabilitet Villkor för aymptotik tabilitet för lägre ordningen polynom + a a > 2 + a + a 2 a >, a 2 > 3 + a 2 + a 2 + a 3 a >, a 2 >, a 3 >, a a 2 > a 3 Routh algoritm Betrakta polynomet F() = a n + b n + a n 2 + b n 3 + Antag att koefficienterna a i, b i är reella och att a är poitiv. Inför tablån a a a 2... b b b 2... c c c 2... d d d där c = a a b /b c = a 2 a b 2 /b. d = b b c /c d = b 2 b c 2 /c. Antalet teckenväxlingar ho viten a, b, c, d är lika med det antal rötter om polynomet F() har i högra halvplanet Re >. Alla rötter till polynomet F() ligger i väntra halvplanet om amtliga tal a, b, c, d,... är poitiva. 2

15 Stabilitetmarginaler.8.6 /A m G (ω o ) φ m G (ω c ) Förtärkning A m ω c 2 5 Fa 5 φ m 2 ω o 25 Frekven [rad/] Amplitudmarginal: Famarginal: Dödtidmarginal: A m = / G (iω ) φ m = π + arg G (iω c ) L m = φ m /ω c 3

16 Tilltåndåterkoppling och Kalmanfiltrering Tilltåndåterkoppling Om ytemet återkoppla med tyrlagen ge det lutna ytemet av dx = Ax+ Bu dt y = Cx u = Lx+l r r dx dt = (A BL)x+ Bl rr y = Cx Kriterium på tyrbarhet. De tyrbara tilltånden ligger i det linjära underrum av tilltåndrummet om pänn upp av kolonnerna i matrien W = B AB A n B Ett ytem är tyrbart om och endat om matrien W har n linjärt oberoende kolonner. Kalmanfiltrering Antag att endat utignalen y kan mäta direkt. Inför modellen d ˆx dt = A ˆx+ Bu+ K(y Cˆx) Rekontruktionfelet x = x ˆx atifierar då d x dt Kriterium på oberverbarhet. till matrien = (A KC) x De tyta tilltånden ligger i nollrummet C C A W o =. C A n Ett ytem är oberverbart om och endat om matrien W o har n linjärt oberoende rader. 4

17 Kompenering i frekvenplanet Faretarderande länk Tumregeln G K () = + a + a/m = M +/a +M/a a=.ω c garanterar att famarginalen minkar högt 6. M > Faavancerande länk G K () = K K N +b + bn = K +/b K +/(bn) Maximal faökning i grader ge av diagrammet nedan: N > φ Fakurvan topp ligger vid frekvenen N ω = b N Länken förtärkning vid denna frekven är K K N 5

18 Enkla intällningmetoder för PID-regulatorn Ziegler Nichol tegvarmetod Betrakta tegvaret ho det öppna ytemet. En tangent dra i den punkt där tegvaret har maximal lutning. Ur tangenten kärning med koordinataxlarna avläe edan förtärkningen a och tiden b. PID-parametrarna beräkna därefter med hjälp av följande tabell. y b a t Regulator K T i T d P /a PI.9/a 3b PID.2/a 2b.5b Ziegler Nichol frekvenmetod Denna metod baera på obervationer av det lutna ytemet. Gången är följande. Koppla bort integral- och derivatadelen ho PID-regulatorn. 2. Jutera K till ytemet jälvvänger med kontant amplitud. Detta värde på K beteckna K. 3. Uppmät periodtiden T ho jälvvängningen. De olika intällningarna på regulatorn parametrar ge av följande tabell. Regulator K T i T d P.5K PI.45K T /.2 PID.6K T /2 T /8 6

19 Lambdametoden Lambdametoden bygger på ett tegvarexperiment där man betämmer proceen tatika förtärkning K p, en dödtid L och en tidkontant T enligt följande figur Mätignal 63 % y Styrignal L T u där K p = y u Regulatorparametrarna för en PI-regulator ge av: K = K p T i = T T L+ λ Regulatorparametrarna för en PID-regulator på erie- repektive parallellform ge av: K = K p T L/2+λ K = K p L/2+T L/2+λ T i = T T i = T + L/2 T d = L 2 T d = T L L+2T 7