LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 6

Transkript

1 LÖSNINGR TILL RLEM I KITEL 6 L 6. cceleionen söks. Vi unj efiniionen hsighe: ẋ och cceleion: Hä ä läge en funkion ien. 3 = + b + c ẋ = + b+ 3c = b+ 3c = b+ 6c L 6. Vi unj efiniionen på hsighe: ẋ och cceleion: Hsigheen fås genom inegeing cceleionen. Läge fås genom inegeing hsigheen. De une inegionsgänsen besäms begnnelseillkoe: Vi inege hä je em fö sig: = = = = k+ p ẋ = k( )+ p ẋ = + k + p 3 = + k + p 3 = + + k + p 6 3 Konolle esule genom eie!

2 L 6.3 egnnelseillkoe ä gie: h = = = cceleionen (=ngcceleionen g ) ä också gien. Hsigheen fås genom unj efiniionen på cceleion: Vi unj begnnelseillkoe i inegeingen: ẋ = g = g+ = g + h = h ge ipunken = och sluhsigheen = g = gh. g Senn ö sig på smm sä. Tisinelle melln plsken ä äföτ. Sluhsigheen ä = gh L 6.4 m hsigheen ä gien kn cceleionen fås me eieing. Läge fås me inegeing och å behös också en inegionskonsn. egnnelseillkoe ä: = = ) cceleionen fås genom unj efiniionen cceleion: ẋ = k + c = k+ c b) Läge fås genom unj efiniionen på hsighe ẋ =. ẋ = k + c 3 = k + c + 3

3 L 6.5 Sion s De kn nulig sue gnens och åges öelse fö sig. Vi lägge oigo i sionen, beeckn åges f och n gnens cceleion ä =. Tåges -kooin fås enkel i en hög kolumnen men ken fen elle ien å gnen nå sionen ä kän. = Vgn ẋ = + = + ẋ = + = = + = = + = = = = = = ẋ = Tåg = = = = elig enkle bli lösningen om mn fös sue hsighe-i-igmme fö öelsen. Hsighe gn åg Ti Vgnen bomss me konsn cceleion. Hsigheen å älinjig. Tåges hsighe ä konsn. en une hsigheskuon ä esmm som säckn. Tåge h äfö kommi ubbel så lång nä gnen nå sionen.

4 L 6.6 cceleionen ä gien: = µ g. Hsigheen fås genom inegeing cceleionen. Läge fås genom inegeing hsigheen. De une inegionsgänsen besäms begnnelseillkoe: = = = Vi lägge llså oigo i en punk ä senen ä i =. Vi få = µ g ẋ = µ g( ) ẋ = µ g = ( ) µ g = g µ Me å l oigo moss glisäckn lägeskooinen å hsigheen ä noll. Denn ipunk klls ( ẋ = ) µ g = = µ g Läge i enn ipunk ä å = µ g = = µ g µ g g g µ µ µ g = µ g µ g = De ä en onöig kånglig meo som i e llmänne fll bli möosm. De gälle hä i sälle inse ien ä hel oinessn. Den finns ine på någo sä me i poblemfomuleingen. Vi söke ju i pincip läge som funkion hsigheen. Me beeckningen ẋ kn cceleionen skis = = = llså, lösningen bli g = µ = µ g = µ g = µ g ( ) Läge å hsigheen = ä å = µ g

5 L 6.7 Vi bek fös bilns öelse fö sig. Vi lägge oigo ä en bke bilen ä i omköningens böjn. mköningen ns slu efe ien. = ẋ = + = + + = ẋ = = + = Vi ien = gälle llså =. Insäning ge + = = 4 = 4 = + 4 = = + = Någo enkle bli lösningen om mn sue en eli öelsen, en omköne bilens öelse eli en omkö. + Hsighe Ti ( ) = el ( ẋel) = ( el) = ( ) = ge el = h kö säckn länge än. Denn säck moss ingelen i igmme. Då ien llså ä kän kn en ol säckn fö också besämms u igmme.

6 L 6.8 h cceleionen ä gien: = g. egnnelseillkoe ä = = h = åe hsigheen och läge fås genom inegeing. egnnelseillkoe ge inegionskonsnen = g ẋ = g+ = g + + h Vi ilken ipunk inäff änläge? ẋ = ge Insäes e fås läge elle en miml höjen = g g + Vi ilken ipunk nå hissen boen läge? =. g h g + = + h g = ge g + + h = gh = ± + g g g Sä in e i hsighesucke ẋ = g+! g h g h = ẋ g gh = + + g g g + ẋ gh = + å uppägen liksom neägen ä fen i = h. Hsighesillskoe efe fi fll fån höjen h ä gh. leni unjs cceleionen kn skis g = = g = + gh =± + gh

7 L 6.9 Hsigheen ä gien: ẋ = e k Vi unj efiniionen hsighe: och ) cceleionen fås genom iseieing: cceleion: k = ( k) e = ke k ẋ b) Läge fås me inegeing. egnnelseillkoe ä: =, =. = e k k = e = + k e k = + ( k e k ) = + k e k L 6. egnnelseillkoe ä gie = = = ä hsig- Une isinelle,τ heen konsn: ẋ = = = τ =τ Efe enn i ä eionen konsn: = Vi = ä = = ( ) τ + ( )+ τ τ = τ + m ekionsien ä τ = så bli såne = m ekionsien ä τ = så bli såne = +

8 L 6. Hlsns läge ges kooinen = cos () Hsigheen bli = ( cos )= sin = sin () De ä hsigheen som funkion ien. Vi en kuell ipunken fås = ωsin (3) bsee ω ä e ögonblicksäe på inkelhsigheen. Nä hsigheen iseies få i ine n inkelhsigheen ä konsn. Vi eie helle ucke () ä ä en isfunkion. cceleionen bli = ( sin )= cos sin (4) = cos ω sin α = ω cos + αsin (6) Kommene: sången h en inkelhsighe king eln i behöe ine be en gå hel e un. Den kn e säng fm och illbk någ ge king en iss inkel. m inkelhsigheen ä konsn is (3) en cikelöelse hos moss en älinjig sinusfom sängning hos hlsn.

9 L 6.4 cceleionen ä gien som funkion hsigheen: = k 3 () egnnelseillkoe ä = = = De gå ine inege högelee i ek () me seene på ien, efesom e fo hsigheen ä en kän funkion ien. Sepe ible! 3 = k () Tisinegion ge = k 3 (3) = k (4) + = k = + k (6) = + k (7) b) Me efiniionen på hsighe få i in lägeskooinen och (7) bli = + k Ekionen gå isinege iek: = +k = + k k = + k k (8) (9) () () Vi = ä = och ẋ =. egnnelseillkoe ä llså sisfie. Me iseieing se kn mn också få en konoll.

10 L 6.5 cceleionen ä gien som funkion hsigheen: = k () egnnelseillkoe ä = = = De gå ine inege högelee i ek () me seene på ien, efesom e fo hsigheen ä en kän funkion ien. Efesom ien ine ä inessn i pobleme älje i unj e leni ucke fö cceleion: () Ek () kn å skis k = (3) Sepe ible och inege! = (4) k Muliplice me k så äljen ä nämnens ei! Inegionsgänsen ä = och k = k k = sm = och =. ln k = k (6) k = ln k

11 L 6.7 cceleionen ä gien som funkion hsigheen: = k () egnnelseillkoe ä = = / = ) De gå ine inege högelee i ek () me seene på ien, efesom e fo läge ä en kän funkion ien. Me beeckningen kn cceleionen me kejeegeln emellei skis () Insäning i () ge k (3) = k = k (4) / k k = = 4 = ge = k 4 3 k (6) b) Ek kn skis = k 4 (7) Sepe ible! = (8) / k 4 = (9) k / 4 Ineglbell ge = ln + k 4 / () 3 = + k 4 ln ln () 3 + = ln 4 k () S: = ln( + k 3)

12 L 6.5 Vi fi fll ä cceleionen = ge ä g ä ngcceleionen. h Me figuens kooinssem bli begnnelseillkoe =,, = =(,, ) = = Komponenis isinegion, me hänsn ge ill begnnelseillkoe, en gin cceleionen ge: = () = g (4) ẋ = () ẏ = g+ = + (3) = g + (6) Nä säcken nå gole ä = h. Den i e fll ill gole fås å u ek (6): h= g h = (7) g De sök såne fås å om ien h = säs in i ek (3): g h = = g (8)

13 L 6.6 llongens kooine ä gin: = () = k () Läge som funkion ien ä å kän, efesom i () ges () och sm k ä konsne enlig een. ) Lägeekons komponene moss bllongens kooine: b) Enlig efiniionen på hsighe = (,, z)= (, k, )= (, k, ) = fås (3) = (,, z )= (, k, ) (4) c) Enlig efiniionen på cceleion = fås = (, k, )= (, k, ) m kooinsseme ä ngie kn mn s me ekoen i komponenfom. m mins eksmhe föeligge, e om fle kooinssem h näns, ä e bäe nge esule me bsekoen: S: ) = e + k e b) = e + k e c) = k e

14 L 6.9 Vi sk äkn på säckens öelse. Vi fi fll un lufmosån ä cceleionen = ge ä g ä ngcceleionen. egnnelseillkoe ä gie i een. Säcken h smm läge och hsighe som bllongen, å en släpps. Me figuens kooinssem bli begnnelseillkoe = = (, h, ),, = h Komponenis isinegion, me hänsn ge ill begnnelseillkoe, en gin cceleionen ge: = () = g (4) ẋ = () ẏ = g+ = + (3) = g + + h (6) Säcken nå mken å =. De illko i ek (6) ge ipunken : g + + h = (7) Vi löse ngsekionen: g h = g h = ± g g + g gh = + + (8) g Säckens f ä = + Insäning () och ge = + g + Vi ipunken ä fen = + + (9) () ( = ) = + g + g g () Me ek (7) fås ( = ) = + + gh () esämningen fen kn gös enkle. Vi e ju besäms som funkion läge enlig g = g = Fö = fås å = + gh. = = g gh ä konsn, men

15 L 6.37 Gie: ẏ = () = () nkuns ekion ä + = (3) Smbne melln ẋ och ẏ kn fås me iffeenieing ek (3): elle + = (4) = ẋ (6) Fen ä = + = + = + = = (7) (I sälle fö iffeenieingen kn mn unj inkeln och ski = sin, ä = cos och n = ) / Fö besämm cceleionen iseie i ek (6). Vi e ju = Sä in () och och unj (3)! = + (8) / + = = = (9) cceleionens solek ä = + men efesom = ä = = ( ) 3 /

16 L 6.43 e Infö e nulig kooinsseme me kooinen s = i ien = å bilen s, och bsekoen e och e n enlig figu. e n s egnnelseillkoe ä = s = s = cceleionen ges e llmänn ucke s = se + en () Den ngeniell cceleionen ä gien i een: = s s = = = () cceleionen i nomlikningen besäms enlig () fen och kökningsien. Fen fås genom inegeing (): = + (3) Insäning i () me unjne () och (3) ge e e e e = + = + n n (4) cceleionens solek ä llså = + = + 4 Speciell fö = 6 s, = 6 m och = m/s fås =. 44m/s 3. m/s.

17 L 6.44 ω cceleionen i e nulig sseme ges e llmänn ucke s = se + e n () I e hä flle h i en cikelöelse me ien (kökningsien). Efesom båglängen ä s=, så kn fen och fökningen pe i ucks i inkelhsigheen: s =, s =. cceleionens nomlkomponen klls of fö cenipelcceleionen: s = = n = () ) Vi en iss inkelhsighe = ω bli cenipelcceleionen lik me en föeskin cceleionen = g. Insäning i () ge g = ω (3) g ω = (4) Enheen fö inkelhsighe ä /s. Vle fås genom iie me π och muliplice me 6. llså, nle pe minu bli 6 π g Nämeäe fö = 5. m och g = m/s bli 9 pm b) m inkelcceleionen ä konsn = α fås me inegeing efiniionen på inkelcceleionen ω α = (6) ω = α (7) Vinkelcceleionen bli llså α α = g ω =. Insäning inkelhsigheen on ge elle α 33. /s

18 L 6.45 De llmänn ucke fö cceleionen i e nulig sseme ä 8 s = se + e n 4 Fen fö je el bne måse en och ensmm. Efesom inkelhsigheen ä kän fö en unes clinen ä fen ṡ = 5 ω () Konsn f ṡ = () ω 5 cceleionen (i nomlikningen) ä llså sös å kökningsien ä mins, s fö en mins clinen m s min 5ω = = = 5ω Numeisk fås m = m/s 3.4 m/s

19 L 6.46 De llmänn ucke fö cceleionen i e nulig sseme ä s = se + e n () R R Tummns inkelhsighe ä = = R R Vinkelcceleionen ä = R (men efesom också h en cceleion inå) Fen fö punken ä = = R = = R (men, efesom också h en cenipelcceleion) Insäning i ek () ge = e e R + R n = e e R + R n

20 L 6.48 e cceleionen i e nulig sseme ges e llmänn ucke e n s = se + e n () Hä ns åges f konsn så och ṡ = = 36 km/h () ṡ = (3) cceleionen ä å enlig ek () ṡ = en = e n (4) cceleionens solek få enlig een ej öesig äe g. De illko kn skis g < elle g < ilke ge en mins illåen kökningsie min = g (6) Numeisk fås 36 km/h m/s min = = = = g m/s m/s m (7) S: Kökningsien måse söe än min = g elle min = km

21 L 6.5 e e n b cceleionen ges i e nulig sseme e llmänn ucke s = se + en () Hä ä emellei bnkuns ekion gien i e kesisk kooinsseme så i böj me besämm uck fö hsighe och cceleion i e ssem. Vi e en hoisonell hsigheskomponenen L ä konsn: ẋ = () De bee cceleionen i -ikningen ä noll, =, s koppens cceleion ä llså eikl, = e! Vi unj e = bsin (3) L π π bπ π = bcos = cos (4) L L L L bπ π π bπ π = sin = sin L L L L L Nu ä b = L/3 och läge ä gie: = L/3. Vi få llså fö e läge Lπ π π = cos = (6) 3L 3 6 Lπ π 3 π = sin = (7) 3L 3 6L Fen kn skis = + = + = + π π = 36 + π (8) Hsighesekon bil i e läge inkeln me -eln. π n = = = 6 sin = π π + 36 och cos 6 = π + 36 (9) ojice nu cceleionen på ngenil- och nomlikningen: 3 3 π π 3 π = e = sin = = 6L π L π π 6 3 π n = en = cos = = 6L π + 36 L π + 36 () () Kökningsien kn nu ehålls u (), (8) och () = ( 36 + π ) n = = 36 3 π 3 / n L

22 FR 5 - L 6.5 e n e ω Vi fi fll ä koppens cceleion lik me ngcceleionen g. Vi en cikelöelse me konsn f ä cceleionen ik in mo cikelns cenum. cceleionen i e nulig kooinsseme skis s = se+ e n Kökningsien fö bnkun ä. Fen ä konsn så ṡ =. cceleionen kn å skis = en siklinjen äns bee hsighesekon än ikning. Hsigheen ä inkelä mo nomlikningen e n och is llså me smm inkelhsighe = ω som lägeekon fån cikelns cenum. Vi cikelöelse ä fen lik me ien gånge inkelhsigheen. Fen kn llså skis s = =. Insäes e i cceleionsucke fås /ω n = Vi fi fll ä enn cceleion lik me ngcceleionen g. g /ω = g ω = ω = g

23 L 6.55 Hsigheen i clinekooine ä i pln öelse = e + e () e e Fö komponenen fås å me hänisning ill figuen = sin () = cos (3) Fö e gin ögonblicke gälle å espekie = sin β (4) = Rω cosβ e cceleionen i e plnpolä kooinsseme skis + ( + ) = e e (6) e Fö komponenen fås å me hänisning ill figuen (i e cceleionen ä ik eikl uppå) sin = (7) cos = + (8) Fö e gin ögonblicke gälle å (unj ek (4) och ) sin β = Rω Rω sin β cosβ = Rα + cosβ De fös ess smbn äcke fö besämm cceleionens solek = Rω sin β

24 L 6.56 ω e e Röelsen ske i e pln så en kn beskis me plnpolä kooine. I e llmänn ucken fö hsighe och cceleion i plnpolä kooine ingå kooinen och sm es iseio. Vi böj llså me besämm ess iseio. Vinkelhsigheen ä konsn: = ω = ω = () nkun ä gien: b = cosh () elle e e e ω e ω = ( + )= ( + ) (b) Tiseieing ge om () unjs: ω ω ω = ( e e )= ωsinhω ω ω ω = ( e + e )= ω coshω (3) (4) ) De llmänn ucke fö hsigheen i clinekooine ä Insäning smbnen (-3) ge = e + e + z e z = ωsinhωe + ωcosh ωe (6) b) De llmänn ucke fö cceleionen i clinekooine ä Insäning smbnen (-4) ge + ( + ) + = e e z ez (7) + ( + ) = ω coshω ω coshω e ω sinh ω e (8) = ω sinhωe c) Ek () ge b = cosh cosh = b sinh + cosh = b Insäning i (8) ge = ω e = ω b e b sinh =

25 L 6.58 e Röelsen ske i e pln så en kn beskis me plnpolä kooine, e specilfll clinekooinsseme. Vinkelhsigheen ä konsn: e = ω = () nkun ä gien = c bcos () Tiseieing ge om () unjs = = b sin bωsin (3) cos = bω = bω cos (4) De llmänn ucke fö hsigheen i clinekooine ä = e + e + z e z Insäning smbnen (-4) ge = bωsine + ( c bcos ) ωe (6) och fen bli = = + = b ω sin + c bcos ω (7) = ω b + c bccos (8) De llmänn ucke fö cceleionen i clinekooine ä Insäning smbnen (-3) ge + ( + ) + = e e z ez (9) [ ] + ( + ) = bω cos c bcos ω e bωsin ω e = ( bcos c) ω e + bω sine () Soleken cceleionen ä å = = + = bcos c ω 4b ω sin () = ω 4b + c 4bccos () Fö = fås = ( c b)ω ; = ω 4 b + c 4 bc Fö = π fås = ( c+ b)ω ;

26 L 6.6 L - e e L n n Fen begänss illkoe cceleionen ine fö någon bil få öesig = 8 m/s. esäm en i e fö biln kl hel kun som begänss linjen CC. De llmänn ucke fö cceleionen i e nulig sseme ä s = se + e Hä ä fen konsn så n ṡ = () cceleionen i nomlikningen ä Den miml fen ges å smbne fö : fö : = n n = () (3) fö : m = = m (4) fö : = = m m Tien fö hel säckn ä π = = π m = + π + = π m (6) (7) Numeisk fås 7 = π s. s = + 3 3π s.6 s 6

27 L 6.6 Vi sk besämm ṙ och som funkion sm besämm cceleionens solek. De llmänn ucke fö hsigheen i plnpolä kooine ä e e = e + e Figuens geomei ge = sin () b = cos () Men såne ä en funkion! b = cos (3) Insäning i () ge cos = b (4) De llmänn ucke fö cceleionen i plnpolä kooine ä + ( + ) = e e Hä ä enlig (-4) cos = = cos = b cos b 3 b = cos cos b 3 = cos b b = = cos = sin cos sin cos sin = b b cos b Insäning i ge =, men e ju gie! Hsigheen konsn!

28 L 6.6 esäm inkelhsigheen fö sången så fen fö hlsn bli konsn =! e e nkuns ekion ä gien = b () och klls kimees spil. Hsigheen i plnpolä kooine besäms me en llmänn fomeln = e + e () Fö besämm hsigheen måse llså e ingåene iseion och besämms. Ugå fån e gin ucken fö läge! = b = b = b (3) Insäning i ekionen () ge nu = b e + b e (4) De gin illkoe ä fen sk konsn: b b = b + = + = b ( + ) =± b + H någon cceleion? J fö besämm en behöe i b besämm inkelcceleionen och sä in i e llmänn ucke Efe en el äkning fås + ( + ) = e e [ ] + = e + e b +

29 L 6.63 nkuns ekion ä e e = + bcos Hsigheen och cceleionen hos koppen skll besämms som funkion inkeln fö e fll inkelhsigheen ä konsn = ω. Hsigheen och cceleionen i plnpolä kooine besäms me e llmänn fomlen = e + e () + ( + ) = e e () Vi måse llså fös besämm e ingåene iseion och. = ω = (3) Ugå fån e gin ucke = + bcos fö läge! = bsin = bωsin (4) = bωcos = 4bω cos Insäning i ekionen () ge nu = bωsin e + + bcos ωe (6) Insäning i ekionen () ge nu (bs i ine eie!) [ ] + = 4bω cos + bcos ω e 4bω sin e (7) = + 5bcosωe 4bω sin e Fö numeisk äen, eempelis = m, b = m, = 3, ω = /s fås 45e 35e m/s ( )

30 L 6.64 z Röelsen beskis som funkion ien i clinekooine e e z e R = R = ω z = h π h esäm bnes f och cceleion efe e hl! Hsigheen och cceleionen i clinekooine besäms me e llmänn fomlen = e + e + z e () z + ( + ) + = e e z ez () Vi måse llså fös besämm e ingåene iseion, och z. = ω = ω = ω (3) = R ṙ = = (4) z = h π hω z = h = π π z h = ω π Insäning i ekionen () ge hω = e + Rω e ez (6) π Insäning i ekionen () ge nu (bs i ine eie!) 4 hω = ( 4Rω ) e + ( Rω + ) e ez (7) π Tipunken å bne åk e hl besäms u ek (3 ) π = ω = π ω hω Insäning i (6) och (7) ge = Rω π e ez π hω = 4πRω e + Rω e e π z (8)

31 L 6.65 z ω β e z b e esäm fö kuln fen och cceleionens solek om β = 3. De llmänn ucke fö hsigheen i clinekooine ä = e + e + z e z Figuens geomei och iseieing ge = bsin β = b sin β = sin β = () = ω = () z = bcos z = b cosβ = cosβ z = (3) Fen ä llmän = +( ) + z (4) Insäning (-3) ge fö β = 3 sin β bsin β ω cosβ = + + = + bω De llmänn ucke fö cceleionen i clinekooine ä + ( + ) + = e e z ez (6) Insäning (-3) ge = bω sin β e ( ω sin β) e + ez (7) + + cceleionens solek fö β = 3 ä llså b = ( b ) + ( ) = ω ω sin β ω sin β + ( ω ) åe fen och inkelhsigheen ω ä konsn. Vfö bli e i ll fll en cceleion?

32 L 6.66 z Gie ä läge som funkion ien ges kooinen = ω () z = k Kooinen äns också men jus i e beke ögonblicke ä = R () Fö hsigheen och cceleionen gälle å = V = ω z = k = = (3) z = k De llmänn ucke fö hsigheen i clinekooine ä = e + e + z e (4) Insäning ge = Ve + Rω e + ke Fen ä = V + R ω + 4k (6) Numeisk fås å = m/s = 5 m/s (7) De llmänn ucke fö cceleionen i clinekooine ä + ( + ) + z z = e e z ez (8) Insäning ge = Rω e R Vω e ke (9) z = Rω e + V e + ke () ω z cceleionens solek ä 4 = = R ω + 4V ω + 4k () Numeisk fås å = m/s = ( )+ m/s = m/s. 43 m/s

33 CHERKEE L 6.68 e N4FL e Röelsen ske i e pln så en kn beskis me plnpolä kooine. Smbne melln ess ä gie efesom höjen h ä kän: h = sin () h Efesom flgplne i ien = psse k onfö och hsigheen ä gien kn mn också ski = cos () Smbnen () och () illsmmns me hgos ss ge som funkion ien: = h + (3) De llmänn ucke fö hsigheen i clinekooine ä = e + e + z e (4) ojice nu hsighesekon på bsekoens ikning. Figuens geomei och ek (4) ge illsmmns me smbnen (-3) z = cos ṙ = h + = sin sin = = h h + (6) De llmänn ucke fö cceleionen i clinekooine ä + ( + ) + = e e z ez (8) Men cceleionen ä enlig een noll! Komponenen ä llså fö sig noll och om och (6) unjs fås h = = / h + 3 (9) + = = 3 h ( h + ) ()