LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8

Transkript

1 LÖSIGR TILL PROLEM I KPITEL 8 LP 8. Vi anta föst att den gina bomsande kaften F k ä den enda kaft som påeka öelsen och dämed också intängningsdjupet. Men eka ingen kaft i öelseiktningen? Fastän man i talspåk kunde ha sagt att kulan kom med en åldsam kaft mot målet ä det inte fågan om en kaft i fysikalisk mening. Kulan ha däemot fån böjan en öelsemängd p m som minska till noll id inbomsningen. Det ä föändingen pe tid a denna öelsemängd som enligt kaftekationen F p ä detsamma som nettokaften på kulan. egynnelseillkoet ä t Vi ska bestämma faten som funktion a läget. En enegiekation ä just en sådan ekation dä tidsbeoendet elimineats. Vi älje hä O k lagen om den kinetiska enegin: U T T () Den kinetiska enegin fån böjan ä gien: T m () betet U, som den bomsande kontaktkaften gö, bestäms genom integeing enligt definitionen U F d åde kaften och föflyttningen ha hä komponent endast i -iktningen. Kaften ä motsatt iktad föflyttningen så att ett minustecken uppstå i skaläpodukten. Insättning i () ge U kd k Insättning i huudekationen () ge k m m (4) () ẋ k m (5) Vi et att intängningsdjupet ä d. Det betyde enligt ek (5) att k m d m k d Insättning i (5) ge esultatet ẋ d

2 LP 8. En kafts abete bestäms med hjälp a definitionen P U F d Fd+ Fdy+ Fdz ( y z ) k β Föflyttningen a kaftens angeppspunkt ske fån läget till längs ägen. Definitionen isa att det ä baa föflyttningen i kaftens iktning elle kaftkomponenten i föflyttningens iktning som ge ett bidag. Vi bestämme nu denna linjeintegal fö de te kaftena i tu och odning. a) Tyngdkaften ha komponenten F sin β i föflyttningens iktning. Komponenten som ä inkelät mot planet bida ej till abetet. U F d sinβd sinβ ( ) b) Fjädekaften ha komponenten F k i föflyttningens iktning. U k k k F d d ( ) c) Kaften P eka i föflyttningens iktning. U F d Pd P ( ) Obseea att om föflyttningen ä uppåt längs planet gö kaften P ett positit abete medan tyngdkaften och fjädekaften gö ett negatit abete. Fö kafte som ä konstanta ä abetet "kaft gånge äg". Fö anda kafte som t e fjädekaften måste abetet bestämmas med en integation.

3 LP 8. Skistången påekas a tyngdkaften och kaftena fån händena. Dessa kafte gö a fö sig abeten unde lyftet. h Tyngdkaftens abete ä U h. Det abete som tyngdlyftaen gö kallas U. Fö hela lyftet gälle lagen om den kinetiska enegin: U T T Insättning ge U h m () Fö att bestämma U måste alltså faten bestämmas. Lyftet ske med konstant acceleation som i kan kalla a. Kinematiksamband ge med begynnelseillkoet ila id. a ẋ at at h h a( t) a Insättning i () ge U h + m h t h ( t ) h t betet som gös fö att paktiskt taget utan fat lyfta skistången ä alltså U h. umeiskt fås U J.kJ

4 LP 8.4 F (M) (m) En kafts abete bestäms med hjälp a definitionen U F d Fd+ Fdy+ Fdz ( y z ) Om kaften iktning sammanfalle med öelseiktningen fås U F d ( ) Denna integal motsaas i figuen a aean unde kuan. I stället fö att integea en funktion gö i en uppskattning a aeans stolek. Vaje uta i figuen motsaa "aean". Mm. ntalet uto uppskattas till 9. Det totala abetet som kaften gö ä alltså U 9 Mm. Lagen om den kinetiska enegin: U T T ge U m U m 6 8 Det numeiska ädet bli 5 m/s m/s LP 8.5 de totala fiktionsfölustena stå luftmotståndet fö 9%. Hu stoa ä då den totala fölusten a mekanisk enegi? TOMI T O M I ntag att motståndskaftena totalt gö abetet U. Lagen om den kinetiska enegin: U T T ge U + h m U h m Om faten längst ne i backen ä noll ha motståndskaftena alltså gjot lika stot abete som tyngdkaften. Luftmotståndskaften ha gjot abetet U 9. h m

5 LP 8.6 α S En kafts abete bestäms med hjälp a definitionen U F d Fd+ Fdy+ Fdz ( y z ) f β Fö kafte som ä konstanta bestäms abetet som "kaft gånge äg". Hä ä tådkaften S och tyngdkaften konstanta. Eftesom acceleationen ä noll i nomalkaftens iktning ä nomalkaften också konstant. Fiktionskaften ä id glidning f µ och den måste då också aa konstant. a) Tyngdkaften ha komponenten F sin β i föflyttningens iktning. Komponenten som ä inkelät mot planet bida ej till abetet. U F d sinβd sinβ ltenatit säge man att föflyttningen i kaftens iktning (niåändingen) ä sin β. betet bli U sinβ umeiskt fås: U sin. kj -.8 kj b) Tådkaften ha komponenten F Scosα i föflyttningens iktning. U F d Scosαd Scosα umeiskt fås: U cos.5 kj.6 kj c) Fiktionsaften f µ ä paallell med föflyttningens iktning. Hä måste föst nomalkaften bestämmas med kaftekationens komponent i nomalkaftens iktning: + Ssinα cosβ cosβ Ssinα U F d µ d µ cosβ Ssinα ( ) ( ) umeiskt fås: U cos. sin 5. kj - 4. kj

6 LP 8.7 En kafts abete bestäms med hjälp a definitionen c U F d Fd+ Fdy+ Fdz ( y z ) O Om kaften iktning sammanfalle med öelseiktningen fås U F d ( ) Fjädekaftens abete bli U c d c Lagen om den kinetiska enegin: U T T ge eftesom fjädekaften ä den enda kaft som gö abete c m m c m c m Det numeiska ädet bli. m/s.4 m/s

7 LP 8.8 β Kulstötaen höje kulans niå och ge den en utgångshastighet som i kalla. Denna hastighet ä indiekt gien a kastpaabelns utseende. Stighöjden ä nämligen tidigae bestämd till h sin β g Detta uttyck skall man kunna ta fam men behöe inte kunnas utantill. Se t e kinematikasnittet i teoiboken. gh sin β Lagen om den kinetiska enegin: U T T ge U h m U h m gh + sin β U h h + sin β 4. Det numeiska ädet bli U J 5. kj sin 6

8 LP 8.9 y En kafts abete bestäms med hjälp a definitionen P U F d Fd+ Fdy+ Fdz ( y z ) β Hylsan påekas a tyngdkaften, kaften P samt nomalkaften. θ R omalkaften ä i aje läge inkelät mot en infinitesimal föflyttning och bida ej till abetet. Tyngdkaftens totala abete ä U R Dela upp kaften P i en hoisontell och en etikalkomposant. De ä båda konstanta och abetet kan bestämmas som "kaft gånge äg". Komposantena gö abetena U P cosβ R P U P sin β R P Lagen om den kinetiska enegin: U T T ge då R + Pcosβ R Psin β R m R m P P ( + cosβ sin β)

9 LP 8. ontainen ha massan m. Den glide på ett hoisontalplan med fiktionstalet µ och påekas a kaften P c+ k. P egynnelseillkoet ä O f t Filägg containen! Föutom den gina hydauliska kaften eka tyngdkaften, nomalkaften samt fiktionskaften f. Vi ska bestämma faten som funktion a läget. Om kaftenas abeten på containen kan bestämmas fås fatändingen indiekt a lagen om den kinetiska enegin: U T T () Tyngdkaften och nomalkaften gö inget abete eftesom de ä inkeläta mot föflyttningen. Enligt kaftekationens etikala komponent ä () Fiktionskaften ä fullt utbildad (ds maimal) id glidning så att f µ f µ () Fiktionskaftens abete ä då U µ d µ µ f [ ] och kan sägas aa kaft gånge äg eftesom kaften ä konstant. (4) Kaften P gö abetet k k UP ( c k ) d + c c + + (5) Obseea att abetet måste beäknas som en integal då kaften ej ä konstant. Insättning i huudekationen () ge nu k c + µ m (6) ẋ m c k ( µ ) +

10 LP 8.9 k k l k l k l l Fjädanas maimala längdänding söks. Motsaande öelsetillstånd måste aa ett ändläge fö hylsan, ds då faten momentant ä noll. Det betyde att den kinetiska enegin som fanns fån böjan ha öegått till potentiell enegi hos fjädana. Föutom a fjädekaftena påekas hylsan också a tyngdkaften och kontaktkaften fån stången. Eftesom stången ä glatt ä fiktionskaften noll och kontaktkaften bestå a enbat en nomalkaft. Vid en enegibetaktelse gö aken elle något abete. De ä däfö inte helle utitade i filäggningsfiguen. egynnelseillkoet ä t Äen om i ska betakta ett ögonblick då faten ä noll handla det om faten i ett isst läge. I en poblemtyp dä man ska bestämma faten som funktion a läget anänds i fösta hand en enegiekation. Vi älje hä lagen om den kinetiska enegin: U T T () Den kinetiska enegin fån böjan ä gien: T m () betet som en fjädekaft gö id en fölängning bestäms med integeing. Det bli negatit, eftesom kaften ä motiktad föflyttningen: F d F d kd k () Huudekationen () ge nu hastigheten i ett godtyckligt läge: k k m m (4) Speciellt fås läget (elle den maimala längdändingen ma ) fö ett ändläge då ẋ k ma k ma m (5) k + k m ( ) ma (6) m k k ma + nm.: Lösningen kan också fås u lagen om mekaniska enegins beaande.

11 LP 8. h a Eftesom hylsan glide på en glatt stång påekas den baa a tyngdkaften och nomalkaften. omalkaften ä inkelät mot hastigheten och gö alltså inget abete. Tyngdkaften ä konseati ilket betyde att den mekaniska enegin beaas. Låt efeensniån fö den potentiella enegin aa i nedesta läget. Den mekaniska enegin ä en öelsekonstant: T + V T + V () Insättning ge m + + h () gh Stångens fom och längd ha ingen betydelse. Det ä endast föflyttningen i tyngdkaftens iktning som ineka. LP 8.4 h h Vagnen påekas baa a tyngdkaften och nomalkaften. omalkaften ä inkelät mot hastigheten och gö alltså inget abete. Tyngdkaften ä konseati. Den mekaniska enegin beaas alltså. Låt efeensniån fö den potentiella enegin aa i utgångsläget. Den mekaniska enegin ä en öelsekonstant: T + V T + V () Insättning ge m h m + () + gh +gh Fö att agnen skall komma öe könet käs en fat min gh

12 LP 8.6 R θ z anet påekas baa a tyngdkaften och nomalkaften. omalkaften ä inkelät mot hastigheten och gö alltså inget abete. Tyngdkaften ä konseati. Den mekaniska enegin beaas alltså. Låt efeensniån fö den potentiella enegin aa i utgångsläget. Lagen om den mekaniska enegins beaande: h T + V T + V () y ge m h m + () + gh + gh LP 8.9 c c b Gummibanden kan ses som fjäda. Stenen påekas a fjädekaftena och tyngdkaften fösummas. Fjädekaften ä konseati. Om efeensniån fö den potentiella enegin motsaa den natuliga längden hos fjäden så kan potentiella enegin skias V fjäde k ( l ) dä l ä fölängningen äknat fån den natuliga längden. Lagen om den mekaniska enegins beaande: c F fjäde c F fjäde b ge T + V T + V () ( ) + m + + k b + c l ( ) k b + c l m ()

13 LP 8. O F fjäde k d Hylsan påekas a tyngdkaften nomalkaften och fjädekaften. Vid cikelöelsen ä dock fjädekaften noll eftesom fjäden då ha sin natuliga längd. omalkaften ä inkelät mot hastigheten och gö alltså inget abete. Tyngdkaften och fjädekaften ä konseatia. Den mekaniska enegin beaas alltså. Låt efeensniån fö den potentiella enegin fö tyngdkaften aa i utgångsläget. Om hylsan nätt och jämt nå den öesta punkten nå den också, eftesom tyngdkaften da den neåt. Lagen om den mekaniska enegins beaande: T + V T + V () ge ( ) () m + + k d + + k( + d ) d + d + k k 4 4 d + k k d 49. m

14 LP 8. h y yk Skateboadåkaen påekas a tyngdkaften och nomalkaften. I det nedesta läget ä nomalkaften etikal. Den bestäms med hjälp a kaftekationens komponent i nomaliktningen (natuliga komponente), som hä öeensstämme med iktningen etikalt uppåt: m ρ () Inde stå fö det nedesta läget. Lagen om den mekaniska enegins beaande ge faten T + V T + V () m h gh () Kökningsadien ä gien i poblemteten. Fö fås ρ / k. Insättning i () ge + m gh / k ( ) ( ) + 4kh

15 LP 8. m g S S S S S S S m g Vi skall bestämma faten efte en iss föflyttning. Det ä just den poblemställningen som en enegilag passa fö. Filägg föst koppana fö att se ilka kafte som gö abete. I ett föegående poblem ha i utett kinematiken. Eftesom linan ä oelastisk måste föflyttningen fö aa te gånge så sto som föflyttningen fö. Tådkaftena som eka på koppana och gö abete men eftesom ö sig i tådkaftens iktning och en tedjedel så långt i motsatt iktning (elatit kaftena) så utätta inte tådkaftena tillsammans något abete. Det ä alltså baa tyngdkaften som utätta abete. Systemet ä konseatit Lagen om den mekaniska enegins beaande T + V T + V () ge m + m h + + () Men () m + m mgh 9 8h m + 9m

16 LP 8.4 ρ ρ h Vagnen påekas a tyngdkaften och nomalkaften. I det öesta läget ä nomalkaften etikal, i det anda läget ä nomalkaften hoisontell. Den bestäms med hjälp a kaftekationens komponent i nomaliktningen (natuliga komponente): m ρ + () m ρ + () Lagen om den mekaniska enegins beaande ge faten ge sambandet mellan faten och. T + V T + V () m + h m + (4) skall bestämmas och ä enligt ek () bestämd om ä känd. Faten uttycks i med ek (4) och ges a (), eftesom / ä gien. lltså, ek () ge m ρ ek (4) ge m ρ + h ek () ge ρ + h ρ ρ + h ρ

17 LP 8.5 F fjäde O F fjäde / k Hylsan påekas a tyngdkaften nomalkaften och fjädekaften. omalkaften ä ständigt inkelät mot hastigheten och gö alltså inget abete. Tyngdkaften och fjädekaften ä konseatia. Den mekaniska enegin beaas alltså. Låt efeensniån fö den potentiella enegin fö tyngdkaften aa i utgångsläget. Potentiella enegin fö fjädekaften ä V fjäde k ( l ) dä l ä fölängningen äknat fån den natuliga längden. Lagen om den mekaniska enegins beaande: T + V T + V () ge m + k m k + + ( ) + Föenkling ge 7 m + m k + 4 () k + 4g+ m 4 7 ( ) k + g + m umeiskt fås m/s ( ) 5. m/s

18 LP 8.6 e F Satelliten ketsa king joden och påekas a en enda kaft, gaitationskaften fån joden. Enligt ewtons allmänna gaitationslag ä den F G Mm e () dä M och m ä jodens espektie satellitens massa, aståndet mellan koppana och G den allmänna gaitationskonstanten. Minustecknet betyde att kaften ä iktad inåt mot joden medan enhetsekton e ha iktning fån joden mot satelliten. Eftesom kaften ä omänt popotionell mot aståndet och lika med id jodytan måste den också kunna skias F R e () dä R ä jodens adie. Poblemställningen gälle i pincip faten som funktion a läget, och i et att lösningen i ett sådant poblem ges a en enegiekation. Gaitationskaften ä konseati och potentialen ä känd: V G Mm R elle V () Potentialfunktionens lutning ä ett mått på kaftens stolek. Med anda od: om potentialfunktionen deieas med aseende på få man kaftkomponenten. Lagen om den mekaniska enegins beaande T + V T + V (4) m R R m (5) + gr Kommenta: Satelliten beskie en centalkaftsöelse men man behöe egentligen inte känna till den teoin fö att kunna lösa poblemet. Det ä ju hä baa kaftens potentialfunktion som utnyttjas. Saet säge att faten ä konstant om aståndet till joden ä konstant, ds om bankuan ä en cikel. Saet ge också flykthastigheten, ds den fat som i det fösta läget käs fö att satelliten ska nå ut oändligt långt utan öeskottsenegi: flykt R / g.

19 LP 8.4 F F h δ Refeensniå En tyngd falle i tyngdkaftfältet. Den inne kinetisk enegi på bekostnad a den potentiella enegin. ä tyngden få kontakt med fjädana minskas den kinetiska enegin och den potentiella enegin associead med fjädana öka då fjädana tycks ihop. Eftesom både fjädekaften och tyngdkaften ä konseatia och de ä de enda kaftena, så ä den mekaniska enegin en öelsekonstant. Den mekaniska enegin beaas. Vi jämfö alltså diekt summan a den kinetiska och potentiella enegin i utgångsläget och det läge som motsaa maimal fökotning a fjädana. Det senae läget måste aa det läge då tyngden ände, ds då hastigheten momentant ä noll. Lösningen bode ges a lagen om den mekaniska enegin: T + V T + V () Vi älje som efeensniå fö fjädekaften det läge dä fjädana ha sin natuliga längd. Om samma efeensniå äljs fö tyngdkaften (det ä inte alls nödändigt) ge ek () δ + kδ + kδ + h + + () Den kinetiska enegin ä noll i båda lägena. Tots att öelsen bestå a tå dela, fitt fall och fjädekontakt, kan hela öelsen betaktas på en gång. Det föutsätte föstås att ingen enegi föloas id en tänkba stöt mot fjädana. Omskining a ekationen ge ( k + k) δ δ h () Vi löse denna andagadsekation: δ h δ k + k k + k (4) δ elle δ k + k ± k + k h + k + k k + k hk+ k + + ( )

20 LP 8.49 Pendelkulan påekas a tyngdkaften tådkaften S. Tådkaften gö inget abete eftesom den ä inkelät mot hastigheten. Tyngdkaften ä konseati så att den mekaniska enegin ä en öelsekonstant. O θ S l e t I poblemteten ges ett illko på tådkaften S, nämligen att den ä noll fö utslagsinkeln π/. Vi ställe däfö upp kaftekationens komponent i nomaliktningen: e n θ m F n ρ () Insättning ge m l S cosθ () Fö inkeln θ π/ fås då m l cos ( π / ) () m l gl (4) Faten ä alltså känd. Sambandet mellan faten och ges a Lagen om den mekaniska enegin: T + V T + V (5) m + l + l m 6 (6) + gl + gl (7) Föhållandet mellan kinetiska enegiena ä T T m m + gl gl/ gl/ + gl 7

21 LP 8.59 En kafts effekt P beäknas med definitionen h P F I det ögonblick som hastigheten fö kaftens angeppspunkt ä ä effekten P F. I detta poblem bestämme i en medeleffekt fö en amhäning as uppåtgående öelse ta tiden t. Om höjdändingen ä h unde tiden t så ä medelfaten h/ t. Effekten bli då P h/ t umeiskt fås P 8. 5 / W 8 W Om man fåga efte effektens stolek utelämnas minustecknet P h/ t LP 8.6 F D f β En kafts effekt P beäknas med definitionen P F Om bilen kö med konstant fat uppfö en backe med lutningsinkeln β måste dikaften f aa lika sto som summan a motståndskaften F D och tyngdkaftens komponent sin β. Om bilen kös på hoisontell äg med konstant fat måste dikaften f aa lika sto som motståndskaften F D. Denna effekt ä gien: P F D Om bilen kös med samma fat uppfö en backe käs föst denna effekt fö att komma öe motståndet. Dessutom käs en effekt fö att öa sig mot tyngdkaften. P P + sin β ( ) umeiskt fås ädet P sin. 5 W P 9 kw