TFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 10 januari :00 13:00. Tentamen består av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poäng.

Transkript

1 Institutionen fö fysik, kemi och biologi (IM) Macus Ekholm TYA16/TEN2 Tentamen Mekanik 10 januai :00 13:00 Tentamen bestå av 6 uppgifte som vaea kan ge upp till 4 poäng. Lösninga skall vaa välmotiveae samt följa en tylig lösningsgång. Låt gäna in lösning åtföljas av en figu. Numeiska väen på fysikaliska stohete skall anges me enhet. Det skall tyligt famgå av eovisningen va som ä et slutgiltiga svaet på vaje uppgift. Makea gäna itt sva me exempelvis Sva:. Skiv baa på ena sian av pappet, och behanla högst en uppgift pe bla. Skiv AID-numme på vaje bla Tillåtna hjälpmeel: äkneosa (även gafitane) me tömt minne bifogat fomelbla Peliminäa betygsgänse: betyg 3 betyg 4 betyg 5 10 poäng 15 poäng 19 poäng Om u fick gokänt betyg på kontollskivningen (KTR1) 2016 få u tillgooäkna ig in skivningspoäng på uppgift 1. Om u välje att behanla uppgift 1 vi agens tentamenstillfälle så komme et mest föelaktiga esultatet att äknas. Examinato, Macus Ekholm, besöke skivningssalen vi två tillfällen och nås i övigt via telefon, n Lycka till

2

3 TYA16 1 Uppgift 1 a) En patikel ö sig längs x-axeln. Dess läge som funktion av ti, t, ges av uttycket: x(t) = ( 4t 2t 2) m å 0 t 4 s Bestäm patikelns stösta hastighet i et angivna tisintevallet. b) En patikel stata ifån vila och ö sig sean längs en cikel me aie 2,0 m. Dess fat beskivs av: v(t) = 3t Bestäm patikelns acceleation vi t = 1,0 s. Uppgift 2 a) En peson me massan 85 kg som abeta på ett bygge sitte och äte lunch på en 2,5 m lång jänbalk. Balken ha massan 15 kg och ä upphäng i te lino, som betecknas 1 3 i figuen, ä θ = 60,0 och = 1,5 m. Bestäm spännkaften i vaje lina å balken ä i jämvikt b) Potentiella enegin fö en patikel som kan öa sig längs x-axeln ges av: E p (x) = xe x/2 Bestäm va patikeln kan befinna sig i jämvikt. Uppgift 3 a) En vattenkanon me läng L = 2,25 m ä ikta akt uppåt. Kanonen bestå av ett ö som ha tväsnittsaean 45 cm 2 vi botten och 10 cm 2 vi toppen. Vatten lämna mynningen me faten v = 9,5 m/s. Beäkna ett väe på tyckskillnaen mellan botten och toppen av öet. g v L Sunay, Januay 1, 2017 b) En patikel som kan öa sig längs x-axeln ha en potentiella enegin: E p (x) = Ux sin x Visa genom beäkninga att å patikeln svänge king oigo kan öelsen betaktas som hamonisk å amplituen ä liten.

4 TYA16 2 Uppgift 4 En kloss me massan 2,0 kg ä fäst i ett snöe som löpe öve ett hjul så som figuen visa. Det kinetiska fiktionstalet mellan klossen och maken ä 0,6. Hjulet ha fomen av en cikulä skiva me aien 0,5 m och massan 4,0 kg. Då man a me kaften = 24 N i snöet ö sig klossen åt höge utan att snöet glie öve hjulet. a) Bestäm klossens acceleation. b) Antag att klossen stata fån vila. Hu sto effekt utveckla kaften i et ögonblick å klossen gliit stäckan 3,0 m? Uppgift 5 En leksakskanon bestå av ett 30,0 cm långt fiktionsfitt ö. I öet finns en lika lång fjäe, me fjäekonstanten 1,0 N/m. Röet bila vinkeln α = 30,0 me maken och laas me en liten kula som väge 25 g. Kanonen placeas på maken och fjäen tycks ihop så att kulan ä i läge A i figuen nean, och släpps äefte fi. g A B Beäkna et hoistonella avstånet fån utgångsläget (A) till kulans neslagsplats på maken. ösöket utfös på en plats ä tyngacceleationen g = 9,82 m/s 2. (4 p) Uppgift 6 En smal, homogen stav me läng l och massa M ligge stilla på ett fiktionslöst bo. En patikel me massan m glie me fat u och kolliea elastiskt me stavens ena äne, une ät vinkel. Detta illusteas i figuen till höge, ä = l/2. Patikelns öelseiktning ä ensamma föe och efte kollisionen. u a) Häle ett algebaiskt samban mellan faten fö stavens masscentum, V, och stavens vinkelhastighet, ω, efte stöten, uttyckt i givna stohete. b) Bestäm V, ω samt patikelns fat efte kollisionen å m = 2M och l = 4,0 m Tuesay, Januay 3, 2017

5 omelbla TYA16 Mekanik utelas vi skivningstillfälle vesion 3 Pefix p n µ m c k M G T Impuls I = p = t SI-enhete läng ti massa fekvens kaft enegi effekt tyck m s kg Hz = s 1 N = kg m/s 2 J = Nm W = J/s Pa = N/m 2 Centipetalkaft c = mv2 Abete W = s = s cos α = mω 2 Måttenhete 1 lite = 1/1000 m 3 = 1 m 3, 1 atm = 101,3 kpa, 1 u = 1, kg 1 Kinematik v = ẋ = x t v, a = v = v x = 1 2 x (v2 ) Kinetisk enegi Ek = mv2 2, W = E k Lägesenegi Ep = mgy Konsevativa kafte x = E p(x) x, W W2 1 = 0 Cikulä öelse s = θ, ṡ = ω, s = α, ω = θ, α = θ a = a 2 + a 2 t, a = v2 Peioisk öelse: ω = 2πf = 2π T Likfomig acceleation at = t v, f fekvens, T peioti 2 2 x(t) = 1 2 at2 + v0t + x0, 2as = v 2 v 0 2, s = v 2 θ(t) = 1 + ω0t +, 2αθ = ω 2 ω 2, θ = ω 0 + ω 2 αt2 θ Kastöelse x(t) = v0t cos α, y(t) = v0t sin α gt2 2, g = 9,81 m/s2 Relativ öelse Punkt P :s läge i systemet A ä P A = P B + BA 2 Patikelynamik Röelsemäng p = mv m massa Newtons laga 1. En kopp som inte påvekas av en kaft föbli i sitt tillstån av vila, elle likfomig öelse längs en ät linje. 2. Då en kopp påvekas av en kaft, änas ess öelsemäng enligt: p t = 3. En kopp A som påveka en kopp, B, me kaften AB, påvekas av kaften BA = AB. t t Enegilagen Ep + Ek = Wf, Wf icke-konsevativa kaftes abete Effekt P = W = v, vekningsga η = P nyttig t Ptillfö iktionskaft statisk: fs µsn, N nomalkaft kinetisk: fk = µkn µs, µk fiktionstal, Kaftmoment τ = sin φ Röelsemängsmoment L = p sin φ Hookes lag = k l, k fjäekonstant Hamonisk svängning x(t) = A sin (ωt + α) = A sin m Total enegi: E = ka 2 /2 L Matematisk penel T = 2π g, L penelläng Reucea massa µ = mm m + M 3 Patikelsystem och stela koppa Masscentum g = 1 M Masscentums öelse M v g t i m ii, M = i m i = ext m p=mv ( ) 2π T t p=mv + α, T = 2π m k

6 Rullvillko vg = ωr Töghetsmoment I = i 2 i m i = 2 m x x' Homogen cyline y Iy = 1 2 MR2, Ix = 1 4 MR ML2 R Ix = 1 4 MR ML2 L Tunn stav (R = 0) Cikulä skiva (L = 0) Ix = 1 12 ML2, Ix = 1 3 ML2 Iy = MR2, Ix = I y z Cikulä ing Iz = 1 2 M(R2 1 + R 2 2) Klot Ix = Iy = Iz = 2 5 MR2 Tunt sfäiskt skal Ix = Iy = Iz = 2 3 MR2 R 2 R 1 x y z ysikalisk penel T = 2π I O mgh, h avstån fån svängningsaxeln O till masscentum Rotationsöelse L = Iω, L t = Iα = τ, W = τ θ, E k ot = 1 2 Iω2 Allmän plan öelse Ek = 1 2 I gω Mv2 g 4 Elasticitet Elasticitetsmoul E = σ/ε [ E ] = [ σ ] =N/m 2 = Pa spänningen σ = /A, töjningen ε = L/L Δx A Skjuvmoul G = τ/γ [ G ] = [ τ ] = N/m 2 = Pa skjuvspänningen τ = /A, skjuvningen γ = x/h Tyckmoul B = pv/ V [ B ] = [ p ] = N/m 2 = Pa tycket p = /A, kompessibilitet κ = B 1 h A skjuvning 5 luimekanik Densitet ρ = m V, V volym luft: ρ = 1,29 kg/m3, vatten: ρ = 997 kg /m 3 Akimees pincip lyft = ρgv, ρ meiets ensitet, V föemålets volym Vätsketyck p = ρgh h jup Kontinuitetsekvationen A1v1 = A2v2 Benoullis pincip p ρv2 1 + ρgy1 = p ρv2 2 + ρgy2 Luftmotstån = 1 2 CρAv2, C luftmotstånskoefficienten 6 Matematiska samban Geometi omkets ytaea volym cikel 2πR πr 2 sfä 4πR 2 4πR 3 /3 cyline 2πRL πr 2 L a c b α c = a 2 + b 2 sin α = a c, cos α = b c, tan α = a b Tigonometiska samban sin (90 α) = cos α, cos (90 α) = sin α e ix = cos x + i sin x cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix x sin x = cos x, x 2 cos x = sin x 2i Anagasekvationen x 2 + px + q = 0 ha lösninga x1,2 = 1 2 p ± 1 4 p2 q Diffeentialekvationen y + ay + by = f(x) ha lösningen y(x) = yh(x) + yp(x) Om f(x) = D och b = 0 ä yp(x) = Dx/a. Om f(x) = 0 ä yp = 0. { C1e 1x + C2e 2x om 1 2 yh(x) = (C1x + C2)e 1x om 1 = 2 ä 1,2 ä lösningana till ekvationen 2 + a + b = 0 Då 1,2 = α ± iβ : yh = e αx (A cos βx + B sin βx) McLauinutvecklinga f(x) = f(0) + f (0) 1 e x = 1 + x 1 + x2 sin x = x x3 cos x = 1 x2 x + f (0) = 3 + x = x = 2 + x = x n n ( 1) n (2n + 1) x2n+1 ( 1) n (2n) x2n f (n) (0) n x n