TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Transkript

1 1808 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 1808 Sva och anvisninga Uppgift 1 a) Läget som funtion av tid fås genom sambandet: x(t) = v(t) dt = v 0 (1 t )dt = v 0 ( t 1 3 t3 ) + x 0 Eftesom x(0) = 0 gälle att x 0 = 0. Vi söe nu öviga tidpunte då x = 0 och sätte: v 0 ( t 1 3 t3 ) = 0 som ha lösningana t = 0, t = ± 3 dä t = 3 s > 0 och ä tidpunten då patieln ommit tillbaa till oigo. Sva: 3 s b) Gundläggande sambanden ge: a c = v = v 0e t/t0 Vi vet att vid t = t 0 gälle: v 0e a t = d dt v(t) = d dt v 0e t/t0 = v 0 t 0 e t/t0 = v 0 e v 0e = 1 = t 0 v 0 e t 0 t 0 Sva: t 0 v 0 e

2 1808 TFYA16 Uppgift a) Vi använde enegipincipen: E p + E = W f dä W f ä (det negativa) abetet som fitionsaften utfö: 0 mgh + 0 = f 1 L f s s = mgh f 1L f dä h = L sin θ. Fö att beäna fitionsaften då lådan glide längs planet filägge vi: F N f 1 a mg cos θ θ mg sin θ mg θ f 1 mg sin θ = ma (1) F N mg cos θ = 0 () mg som tillsammans med allmänna sambandet f 1 = µf N ge att f 1 = µmg cos θ Längs den hoisontella stäcan ha vi att F N mg = 0 och dämed f = µmg. Vi an nu beäna stäcan: mgl sin θ µmgl cos θ sin θ µ cos θ s = = L µmg µ Numeist: Sva: 1,9 m Altenativ lösning: s = 5,0 sin 30 0, cos 30 0, m = 1,9 m Man an lösa denna uppgift på flea sätt. Man an beäna acceleationen längs med planet fö att föst ta eda på hastigheten då lådan nått maen med hjälp av (1) samt uttycet fö f 1 ovan: ma = µmg cos θ mg sin θ = ma Hastigheten bli: v = al Däefte an man t ex beäna etadationen p g a fitionsaften längs maen u: ma = f och sedan beäna stäcan med det inematisa sambandet: v = a s

3 1808 TFYA16 3 b) Vi alla tycet i slangen p 1 och tycet utanfö p. Benoullis pincip: p 1 p + ρ (v 1 v ) + ρg(y 1 y ) = 0 dä y 1 y = 0 och hastigheten inuti slangen ä v 1. Vi söe sillnaden p = p 1 p. p = ρ (v v 1) = 0 Hastigheten vid mynningen, v, an elateas till v 1 med ontinuitetsevationen: A 1 v 1 = A v πd 1 v 1 = πd v v = d 1 d v 1 så att: Numeist: Sva:,0 Pa p = p = ρ 997, ( v1 d 1 d ) v1 = ρ ( d 1 v 1 d ) 1 = 0 ( ) 1,59 (0,6 ) 1 Pa = 3, Pa,0 Pa

4 1808 TFYA16 Uppgift 3 Vi filägge de te oppana va fö sig: a T 1 T T 1 F N T M a Mg a M Mg Mg a) Fö de två hängande lossana gälle: vänsta lossen ( ) T 1 Mg = Ma (1) höga lossen ( ) T Mg = Ma Mg T = Ma () och fö lossen på bodet gälle: F N Mg = 0 (3) T T 1 = Ma () Genom att addea evation (1)+()+() få vi: Sva: g/ Mg Mg = Ma a = g b) Evation (1) och () ge med insatt väde på a: T 1 = Mg + Mg = 5 Mg och T = Mg M g = 3 Mg Sva: Mellan vänsta och mellesta lådan: 5/M g, och mellan höga och mellesta 3/M g

5 1808 TFYA16 5 Uppgift a) Ifån utgångsläget omme oppen sjuna stäcan y innan den vände. Dämed gälle att amplituden ä y/. Vi an beäna y med hjälp av enegipincipen: E p + E = W f mg y 1 y 0 = 0 y = 0 elle y = mg dvs amplituden ä mg Sva: mg Kommenta: Obsevea att i vändläget ä fjädeaften stöe än tyngdaften. Kaftena ä lia i jämvitsläget, stäcan mg/ unde utgångsläget.

6 1808 TFYA16 6 b) Fö dämpade svängning gälle att amplituden sjune enligt: A(t) = A(0)e bt/m (1) Att amplituden minsa till hälften efte 5 svängninga uttyce vi som: och löse ut b enligt 5bT m = ln 1 Vi vet att fö dämpad svängning ä vinelfevensen: ω = m dvs 1 T = ω π = 1 π Vi sätte in detta i evationen ovan och få: m ln 1 b = 5 π m Fö att lösa ut b vadea i båda leden: ( ) ( ) ( ln b = m b b 5π b = A(5T ) = A(0)e 5bT/m = 1 A(0) () ( ) ln m 5π ( ) ln π b = m ln 5T b m m b m b m = ln m b 5π 1 + = ± ( ln 5π ( 5π ln ) ) 1 = m m ) + 1 dä endast den positiva oten (b > 0) an vaa den söta lösningen. Sva: ( 5π ln m ) + 1 ( ) ln 5π Kontoll: Man an enelt ontollea sitt sva genom att sätta b = m/c, dä och uttyca peiodtiden som: C = ( ) 5π + 1 ln m T = π = π m m = m b m m/c Nu ha vi att poduten m m π bt = C = m π 1/C C 1/ = m dvs evation (1) ge med t = 5T att ( 5π ln π 1/C π ) = m 5 ln + 1/ 1/ vilet stämme med villoet i evation (). e b5t/(m) = e ln = 1

7 1808 TFYA16 7 Uppgift 5 a) Vi filägge cylinden: T g mg Newtons anda lag med a = 0 fö masscentum få utseendet: T mg = 0 T = mg dä m ä sivans massa. Kaftmomenten + T R = Iα dä I = mr /. Om snöet inte glide gälle ullvilloet a = Rα fö punten P. mgr = 1 mr a R g = a a = g Sva: g b) Vi filägge cylinden och tecna jämvitsvilloen: g f F N T T + F N cos 5 + f cos 5 mg = 0 (1) F N sin 5 f sin 5 = 0 () + fr T R = 0 (3) 5 mg Evation (3) ge diet att T = f, som insatt i () ge T = F N. Vi an nu uttyca evation (1) i spännaften T + T 1 + T 1 ( mg = 0 T 1 + ) = mg T = mg 1 + Sva: mg 1 +

8 1808 TFYA16 8 Uppgift 6 a) Vi alla bollens sluthastighet u. Bevaande av öelsemängd (summan av ytte afte på systemet ä noll) ge diet: p föe = p efte Sva: Bollens hastighet ä v 0 v mv 0 = mu + mv u = v 0 v b) Summan av alla ytte afte och aftmoment på systemet (boll+stav) ä noll, och däfö bevaas öelsemängd och öelsemängdsmoment. Eftesom stöten ä elastis bevaas ocså öelseenegin. Bevaande av öelsemängdsmoment med avseende på stavens centum: Bevaande av öelseenegi: mv ml 1 ω ml u = 0 ω = 6 u L = 1 mv + 1 ml 1 ω + 1 mu v0 = v L ω + u Vi sätte nu in uttycen fö ω och u ovan och få: v 0 = v + L 1 Eftesom v 0 v ha vi Sva: 3v 0 /5 ( ) 6 (v 0 v) + (v 0 v) (v 0 v)(v 0 + v) = (v 0 v) L v 0 + v = (v 0 v) v = 3 5 v 0

9 Fomelblad TFYA16 Meani utdelas vid sivningstillfälle vesion Pefix SI-enhete p n µ m c d M G T längd tid massa fevens aft enegi effet tyc m s g Hz = s 1 N = g m/s J = Nm W = J/s Pa = N/m Impuls I = p = F dt Centipetalaft Fc = mv Abete W = F ds = F s cos α = mω Måttenhete 1 lite = 1/1000 m 3 = 1 dm 3, 1 atm = 101,3 Pa, 1 u = 1, g Kinetis enegi E = mv, W = E 1 Kinemati Lägesenegi Ep = mgy v = ẋ = dx dt dv, a = v = v dx = 1 d dx (v ) Ciulä öelse s = θ, ṡ = ω, s = α, ω = θ, α = θ a = a + a t, a = v Peiodis öelse: ω = πf = π T Lifomig acceleation at = d dt v, f fevens, T peiodtid x(t) = 1 at + v0t + x0, as = v v 0, s = v θ(t) = 1 + ω0t +, αθ = ω ω, θ = ω 0 + ω αt θ0 0 Kastöelse x(t) = v0t cos α, y(t) = v0t sin α gt, g = 9,81 m/s Relativ öelse Punt P :s läge i systemet A ä P A = P B + BA Patieldynami Röelsemängd p = mv m massa Newtons laga 1. En opp som inte påveas av en aft föbli i sitt tillstånd av vila, elle lifomig öelse längs en ät linje.. Då en opp påveas av en aft F, ändas dess öelsemängd enligt: dp dt = F 3. En opp A som påvea en opp, B, med aften FAB, påveas av aften FBA = FAB. t t Konsevativa afte Fx = de p(x) dx, W 1 + W 1 = 0 Enegilagen Ep + E = Wf, Wf ice-onsevativa aftes abete Effet P = dw = F v, veningsgad η = P nyttig dt! Ptillföd F Fitionsaft statis: fs µsfn, FN nomalaft inetis: f = µfn µs, µ fitionstal, Kaftmoment τ = F sin φ Röelsemängdsmoment L = p sin φ Hooes lag F = l, fjädeonstant Hamonis svängning x(t) = A sin (ωt + α) = A sin m Total enegi: E = A / Dämpad svängning Retadeande aft Fd = bv! F m!! p=mv ( ) π T t p=mv + α x(t) = Ae bt/(m) sin (ωt + α), ω = L Matematis pendel T = π g, L pendellängd Reducead massa µ = mm m + M 3 Patielsystem och stela oppa Masscentum g = 1 i M m ii, M = i m i Masscentums öelse M dv g dt = Fext, T = π m b m m

10 Rullvillo vg = ωr Töghetsmoment I = i i m i = dm x x' Homogen cylinde y Iy = 1 MR, Ix = 1 MR ML R Ix = 1 MR ML L Tunn stav (R = 0) Ciulä siva (L = 0) Ix = 1 1 ML, Ix = 1 3 ML Iy = MR, Ix = 1 I y z Ciulä ing Iz = 1 M(R 1 + R ) Klot Ix = Iy = Iz = 5 MR Tunt sfäist sal Ix = Iy = Iz = 3 MR R R 1 x y z Fysialis pendel T = π I O mgh, h avstånd fån svängningsaxeln O till masscentum Rotationsöelse L = Iω, dl dt = Iα = τ, W = τ dθ, E ot = 1 Iω Allmän plan öelse E = 1 I gω + 1 Mv g Elasticitet Elasticitetsmodul E = σ/ε [ E ] = [ σ ] =N/m = Pa spänningen σ = F/A, töjningen ε = L/L Δx A Sjuvmodul G = τ/γ [ G ] = [ τ ] = N/m = Pa sjuvspänningen τ = F/A, sjuvningen γ = x/h Tycmodul B = pv/ V [ B ] = [ p ] = N/m = Pa tycet p = F/A, ompessibilitet κ = B 1 h A sjuvning 5 Fluidmeani Densitet ρ = m V, V volym luft: ρ = 1,9 g/m3, vatten: ρ = 997 g /m 3 Aimedes pincip Flyft = ρgv, ρ mediets densitet, V föemålets volym F Vätsetyc p = ρgh h djup Kontinuitetsevationen A1v1 = Av Benoullis pincip p1 + 1 ρv 1 + ρgy1 = p + 1 ρv + ρgy Luftmotstånd F = 1 CρAv, C luftmotståndsoefficienten 6 Matematisa samband Geometi omets ytaea volym ciel πr πr sfä πr πr 3 /3 cylinde πrl πr L a c b α c = a + b sin α = a c, cos α = b c, tan α = a b Tigonometisa samband sin (90 α) = cos α, cos (90 α) = sin α e ix = cos x + i sin x cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix d d dx sin x = cos x, dx cos x = sin x i Andagadsevationen x + px + q = 0 ha lösninga x1, = 1 p ± 1 p q Diffeentialevationen y + ay + by = f(x) ha lösningen y(x) = yh(x) + yp(x) Om f(x) = D och b = 0 ä yp(x) = Dx/a. Om f(x) = 0 ä yp = 0. { C1e 1x + Ce x om 1 yh(x) = (C1x + C)e 1x om 1 = dä 1, ä lösningana till evationen + a + b = 0 Då 1, = α ± iβ : yh = e αx (A cos βx + B sin βx) McLauinutveclinga f(x) = f(0) + f (0) 1! e x = 1 + x 1! + x sin x = x x3 cos x = 1 x x + f (0)!! +... = n=0 3! + x5 5!... = x +... = n=0! + x!... = n=0 x n n! n=0 ( 1) n (n + 1)! xn+1 ( 1) n (n)! xn f (n) (0) n! x n