Läs PP p206 ff om normalformen för ordinära differentialekvationer som används i numeriska metoder,

Transkript

1 F5 BE3 & 3 Page o 5 dinäa dieentialevatione PP CH 6 Dieentialevatione ä mcet vanliga som matematisa modelle ö pocesse oc sstem i natuvetensap oc teni. Den östa tillämpningen va Newtons celesta meani oc meanis modelleing ä en av datosimuleingens avoitgena. Fsimotoe som simulea meani till spel ä en svens specialitet se te pogammen pun oc algodoo ån Umeå ttp:// Läs PP p6 om nomalomen ö odinäa dieentialevatione som används i numeisa metode d a c n d dä ä den obeoende vaiabeln ota tid oc allas t ett sstem av n östa odningens dieentialevatione med begnnelseväden initialväden givna vid = a. Kolumnveton allas tillståndsveton. De n untionena i i = n av an allas ögeledet. De metode vi studea omuleas ö ett allmänt oc vi anta otast att ä sådant att initialvädespoblemet a en uni lösning i det intevall [ab] som vi intessea oss ö. En sådan egensap ä att ä Lipscit-ontinuelig som untion av dvs. att det ö alla uv oming c gälle att det inns en onstant L så att u v L u v Då intessea vi oss ö sillnaden mellan numeis lösning allad ä som beänats med steglängd : E oc det gälle då att E = p e + o p dä p allas onvegensodning elle onsistens-odning ö metoden oc beo inte på. I allmänet ä metode med öge p att öeda etesom de ge minde el. en de modelle man vill simulea ä ju intessanta ö att de a vissa egensape oc då vill man att den numeisa lösningen sall äva dessa egensape. Som eempel ta vi centalöelse enligt Newton oc visa två integale elle invaiante. En patiel med massan m i position tt med astiget i - esp -led ut = d/vt = d/ dä t ä tiden ö sig i ett plan oming en mcet sto massa i oigo unde gavitationsaten som enligt Newton ä popotionell mot poduten av massona oc omvänt popotionell mot avståndet attativ oc itad längs öbindelselinjen mellan oppanas centa F Gm 3 Då ge Newtons lag massan acceleation = summan av veande ate att du d u 3 dv d v 3 dä G =. Katena ä ä onsevativa dvs. det inns en potentialuntion så att F m dä = / Övning: Kontollea det! ultiplicea östa evationen med u = d/ den anda med v = d/ oc addea du dv d d u v d u v d

2 States F5 BE3 & 3 Page o 5 så det gälle att m m u v C : summan av öelseenegin oc potentiella enegin ä onstant längs satellitbanan. tteligae en integal å man av du dv d : m u v Stoeten mu v allas öelsemängdsmoment I oming oigo oc ä alltså onstant. m adius vecto a vinel till positiva -aeln plan-poläa oodinate gälle I = d/. Övning: ontollea det! Keple upptäcte det genom obsevatione oc uttcte det så: adius veto svepe lia to unde lia tide obeoende av va på banan satelliten ä. Geometi ge ju att da = d Visualiseing av lösninga. Det enlaste ä östås att plotta omponentena i tillståndsveton mot den obeoende vaiabeln. I satellit-eemplet bli det a peiodisa uvo ttutvt. illståndsummet allas ocså asum oc man tala om asumsanals elle om n = om asplansanals. ea geometis insit å man om man plotta tillståndsveton som en uva i ett n+- dimensionellt um: en dimension ö vaje omponent oc en ö tiden. I satellitmodellen ä n = 4 så det ä svåt men man an. Pojicea på t e ett -D undeum oc å då banan som en paameteuva elle 3. Använda 3D t. I detta speciella all ä de två anda tillståndsomponentena uv elt enelt d/ oc d/ så de an visas som en astigets pil även i. De te vaiantena visas ä ö satellit-poblemet..5.5 U V.5 ; UV as aows & ime; UV as aows ime Vaiant Vaiant Vaiant ime ime 6 8 Eempel GKN p 3 Fösta odningens eationsineti elle adioativt söndeall dä ämnet A söndealle till B som söndealle till C. A BC : i allas astigetsoeiciente. Låt a b oc c vaa oncentatione av A B oc C. Då gälle da a a db d a b som visive A b A dc c b

3 F5 BE3 & 3 Page 3 o 5 ett linjät sstem med onstanta oeiciente. Hä gälle uppenbaligen att a + b + c ä onstant: Vaje A som ösvinne bli ett B oc vaje B som ösvinne bli ett C. atisen A a således ett egenväde noll. Småningom ösvinne all A oc B oc C a samlat allt. Eempel PP p 8 Fasplansanals av sstemet d A A Ritningsältet ä vetoältet d/ itat ö vaje i asummet. Vi sa nu ita itningsältet till på ett gitte i j i = i = -+i/n i = N öve [-] [-] ita de N+ lösningsuvona med stat i puntena Pogammet använde ett sätt att deiniea dieential-evationssstemet som ALABs vetg använde oc vi vill lösa alla N+ sstem på en gång. Däö samla vi alla oc i en olumnveto öst oc sedan. Nä det sall itas omomas dessa vetoe till N+N+ tabelle med esape. % E DE asplan p 8 clea all clc igue cl n = % ita asplan = linspace-n; = ; % puntena []= mesgid; u = [:; :]; % du-pilana du = p8u; d = esapedu :n*nnn; d = esapedun*n+:endnn; % ita pilana quivedd'' label''; label''; ais equal % lös initialvädespoblemen nn st. igue cl [tuout] = ode3'p8'[:.4:.9]u; % ta isä esultat-tabellen uout [nndum]=sieuout; out = uout: :n*n; out = uout:n*n+:end; % ita lösningsuvsaan i asummet plotoutout label''; label'' ais equal unction du = p8tu % u som olumn med öst sedan n = lengtu;

4 F5 BE3 & 3 Page 4 o 5 n = oundn/; % ploca ut oc = u:n; = un+:n; % di-evationena d = --; d = -; % olumn tillbaa du = [d; d]; Eules metod ä pototpen ö numeisa steg-ö-steg metode dä lösningen beänas vid en uppsättning diseta tidpunte a = till vid = = c. Häledningen an se ut så ä: : d d d d c ta använde man i steglängd så att + = +. Felet E bli. Eemplet nedan visa att en metod som t e Eules an ge sstematisa el som an vaa besväande även om E inte ä så stot oc enla modiiatione an ge en metod anda egensape. Att ita en ciel Paameteamställningen = cos = sin = = ge d/d = -sin = - d/d = cos = som med Eules metod med steg ge + = + = + elle B B Det som visas bli en utåtgående spial vas avstånd till oigo öa till om man gö steg på ett vav. an å nämligen B B B B Kanse se man inte diet att elet ä men man an göa så ä: / / / ln / ln 4 e e dvs. ca. ö =. Så ä bli äningen: En slutsats av denna övning ä att Eules metod oc anda metode av östa odningen a dålig noggannet. en själva spialandet an man åtgäda enelt: :.77

5 F5 BE3 & 3 Page 5 o 5 an använde i -evationen det -väde man just beänat + = + = + + elle C C C Nu omme alla punte att ligga på en ellips med centum i oigo oc med alvala / /. C C C C C dvs. + = onst Rma:.6 Rmin: vaav påståendet ölje. Figuen se nu ut som en acceptabel ciel oc elet ä 4 gånge minde Slutligen an vi se u en eat eusiv beäning av punte på en ciel se ut: cos+ = cos cos sin sin sin+ = sin cos + cos sin dvs + = cos sin + = sin + cos cos sin dä vi änne igen otationsmatisen som vide vineln i positiv led oming sin cos oigo. Föstås an vi göa detta med omplea tal dä vidningen gös med w = e i. Etesom multipliation med i omplea tal svaa mot matismultipliation ån vänste med oc mult. med e i svaa mot matis-mult. med an man to att e cos sin sin cos oc så ä det ocså.