Digital signalbehandling Kamfilter och frekvenssamplande filter

Transkript

1 Institutionen för eletroteni Kamfilter och frevenssamplande filter I frevenssamplande filter utgår vi från en filterstrutur som har ett stort antal nollställen i frevensgången och modellerar filtrets frevensgång genom att ta bort lämpliga nollställen. Filtret med många nollställen som vi utgår från allas amfilter. Det finns ett antal olia amfilterstruturer varav vissa innehåller ett stort antal poler i stället för nollställejn och vi ser på dessa innan vi går in på frevenssamplande filter Kamfilter Kamfilter med nollställen Vi ser på filtret med differensevation [] n x[] n x[ n ] dvs ett filter med överföringsfuntionen () som har stcen nollställen i π och stcen poler i origo. Figurerna visar pol/nollställesplacering och beloppsurvan för Tio poler CALMERS LIDOLME Sida Institutionen för eletroteni Sven Knutsson Box Göteborg Besösadress: örselgången Telefon: Telefax: E-post: sven@ios.chalmers.se Web: sven

2 Vi ser att vi har stcen nollställen vid f s frevenserna och toppar vid f s +.,. Vi an ocså utgå från differensevationen [] n x[] n + x[ n ]..... med överföringsfuntionen + () + som har stcen nollställen i π + och stcen poler i origo. Återigen visar figurerna pol/nollställesplacering och beloppsurvan för Vi ser att vi har stcen nollställen vid frevenserna f s + och toppar vid, dvs i jämförelse f s med det första filtret har nollställen och toppar btt plats. Båda är filtertperna är användbara då vi fill filtrera bot en frvensomponent med övertoner, t ex nätbrum ( ) och dess övertoner. Frevensurvan mellan utsläcningarna är doc som snes gansa olinjär. Vilen variant vi väljer beror på hur de önsade utsläcningsfrevenserna ligger i förhållande till lispänníng och om vi önsar utsläcning eller passband vid lispänning... Tio poler,..... Kamfilter och frevenssamplande filter Sida

3 Kamfilter med poler Vi an ocså bgga upp amfilter med poler och an då utgå från differensevationen [] n x[] n + r [ n ] r måste vara mindre än ett för stabilitet. Vi har överföringsfuntionen r r () som har stcen nollställen i origo π och stcen poler i r. Vi ser på pol/nollställesplacering och beloppsurvan för och r, 98. Vi ser att vi har stcen dämpningar vid frevenserna f s + och toppar vid f s, här an vi få smala toppar i stället för gansa smala notchar genom att välja stort r (nära enhetscireln). Tio nollställen,, r.98 Även här an vi bta tecen och utgå från differensevationen [] n x[] n r [ n ] med överföringsfuntionen r + r () Tio nollställen som har stcen nollställen i origo och stcen poler i π r +. Kamfilter och frevenssamplande filter Sida

4 Vi ser på pol/nollställesplacering och beloppsurvan för och r, 98. Vi ser att vi har stcen dämpningar vid frevenserna och toppar vid f s f s +, i jämförelse med den första tpen av amfilter med poler bter alltså dämpningar och toppar plats.,, r Frevenssamplande filter Idén baom frevenssamplande filter är att vi utgår från ett amfilter med nollställen, dvs en av de första tperna ovan, och eliminerar ett eller flera av nollställena och får därigenom ett passband vid denna frevens i stället. Genom att ta bort ett antal närliggande nollställen an vi ontrollera bredden på filtret. Bredden ontrolleras naturligtvis ocså av antalet fördröjlingssteg, dvs avståndet mellan nollställena. Metoden fungerar bäst för stora värden på, lämpligen över hundra, men i den efterföljande texten nöjer vi oss med för att få tdligare figurer. Vi använder ocså den första amfiltermodellen med [] n x[] n x[ n ] Vi avslutar med ett par mer realistisa exempel. ur tar vi nu bort ett nollställe? Vi eliminerar det genom att placera en pol i samma punt. Vi lägger alltså en pol i π för önsat värde på. Ligger inte det nollställe vi vill eliminera på reella axeln ( ± ) så får vi dessutom lägga en pol vid nollställets omplexonjugat för att få reella onstanter. Vi får vidstående figurer (för ice-reella poler) om vi ser till att ha lia många nollställen som poler (figurerna har och ). Den observante läsaren bör nu protestera och invända att vi inte an lägga en pol på enhetscireln om vi önsar ett stabilt sstem, vilet vi rimligen vill. I pratien har vi doc ingen pol på enhetscireln eftersom vi har ett nollställe i samma punt, de två tar ut varandra. Filtret med en pol på enhetscireln allas en resonator och får överföringsfuntionen () [ cos( Ω )] [ cos( Ω )] cos( Ω ) + Två nollställen Kamfilter och frevenssamplande filter Sida

5 Vi serieopplar alltså ett amfilter med en resonator och har den totala överföringsfuntionen Kamfilter Resonator () ( Ω ) [ cos( Ω ) + ] cos cos ( Ω ) + med differensevationen + [] n x[] n x[ n ] + + cos( Ω ) [ n ] [ n ] Åtta poler,, Medelvärdesbildande filter Lägg märe till att ett medelvärdesbildande filter är ett specialfall av ett frevenssamplande filter där vi eliminerar nollstället i. Vi ompletterar dessutom med salfatorn, där är antalet termer vi vill ta medelvärde över. Vi utgår då från amfiltret [] n x[] n x[ n ] med överföringsfuntionen ()..... och ompletterar med en resonator med en pol i och eftersom denna är reell behövs inget omplexonjugat. Vi har Kamfilter och frevenssamplande filter Sida

6 () och får då total, med salfatorn. [ ] ( ) () dvs evationen för ett termers medelvärdesbildande filter. Figurerna visar resultatet för., io poler Mer om frevensamplande filter Om vi återgår till det tidigare mer generella frevenssamplande filtret så vill vi nu öa bandbredden genom att ta bort ett nollställe till genom att lägga en resonator till parallellt med den första. Blocschemamässigt är det möjligt att x[n] rita ett enda amfilter och två parallella resonatorer men i pratien ombineras amfilter och resonator till ovanstående totala överföringsfuntion vilet innebär att hela evationen realiseras i varje parallell län. Lägg doc märe till att alla evationer har samma täljare varför denna räver en enda minnesarea. ämnarsamplen är doc inte de samma i de olia länarna, [] n är inte det samma som [] n +. x[n] Kamfilter Resonator Resonator + Filterlän Filterlän + [n] + [n] + [n] [n] + + [n] [n] Kamfilter och frevenssamplande filter Sida

7 Vi ser nu på pol/nollställesplacering och beloppsspetra om vi ompletterar ovanstående frevenssamplande filter med och med en parallell län som eliminerar nollstället vid. Resultatet blir inte det önsade. Vi ser att vi får ett nollställe mitt mellan de två topparna trots att vi har eliminerat två närliggande nollställen. Det na nollstället ligger alltså mitt emellan de två eliminerade nollställena. Vi har uppenbarligen förbisett något.,,..... Vi ser på belopp- och fasgång för det första filtret med och. Ur figuren ser vi att filtret inte har någon fasvridning vid mittfrevensen medan det har positiv fasvridning vid frevenser strax nedanför mittfrevensen och negativ fasvridning strax ovanför mittfrevensen Fre vens relativt fs) fasvinel relativt pi Fre vens relativt fs) Tittar vi nu på fasvridningen för båda länarna så ser vi att mitt emellan de två mittfrevenserna där de två urvorna borde samvera ommer de att släca ut varandra genom att ligga i motfas. fasvinel relativt pi Fre vens relativt fs) Fre vens relativt fs) fasvinel relativt pi. -. Kamfilter och frevenssamplande filter Sida Fre vens relativt fs) Fre vens relativt fs)

8 Vi fasvänder då den senare länen och ser på resultatet. Som snes har vi nu lcats få två samverande filter. 7,,..... För att göra ett filter som består av ett antal parallella länar så får vi alltså ha omvänt tecen på varannat filter. Vi an ocså förändra filtrets storle genom att ge de parallella länarna olia förstärning. x[n] A -A A Filterlän Filterlän + Filterlän + + [n] -A Filterlän + Realistisa exempel Vi ser på ett mer realistist exempel genom att öa till och eliminerar nollställe. Vi ser att vi får gansa stora svängningar i passbandet. Dessa svängningar an minimeras genom att orrigera förstärningen i de olia analerna. Vi ser ocså att passbandsförstärningen inte är ett utan den måste orrigeras., -, - (db) - 8 (db) Kamfilter och frevenssamplande filter Sida 8

9 Genom att ändra de olia analerna förstärning an vi ocså sapa frevensurvor som inte efterlinar den vanliga lådformen. Figurerna visar samma exempel som ovan men med orretionen (), [ () () + () + () + () + () + () + () + () ] + 9 () + () 7 8 +, -, - (db) - 8 (db) Pratisa hänsn I pratien sall vår differensevation implimenteras i en dator med begränsad ordlängd och då är sannoliheten stor att något nollställe och den pol som sall släca ut detta nollställe inte hamnar i exat samma punt. Resultatet blir då att vi får en pol på eller anse strax utanför enhetscireln som inte är utsläct av ett nollställe. Vi får alltså ett instabilt sstem. För att råda bot på detta så placerar ci nollställena och de ompenserande polerna på en cirel med radie strax under ett. Vi får då i respetive län () r r cos ( Ω ) + r Om vi använder r, 999 i det första realistisa exemplet ovan så får vi nedanstående figurer. Kamfilter och frevenssamplande filter Sida 9

10 , - r.999, - r.999 (db) - 8 (db) Som snes sjuner passbandsförstärningen något men filter formen består. Säner vi radien till r, 99 så blir figurerna, - r.99, - r.99 (db) - (db) Vi ser att nu händer en del med urvformen men inte så mcet. Kamfilter och frevenssamplande filter Sida