1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel."

Sven Bergman
för 10 år sedan
Visningar:

1 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet BASER CH KRDINATER Vektoe i ett plan Vektoe i ummet BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betakta ektoe som ligge på en ät linje L elle ä paallella med L Låt e aa en icke-nollekto på linjen L och en punkt på linjen Då definiea punkten och ekton e ett koodinatael e A P -aeln En ekto som ligge på L elle ä paallell med L ä också paallell med e och däfö finns det ett tal så att e Vekton e ä en basekto fö alla ektoe som ligge på L elle ä paallella med L BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER I ETT PLAN Vi betakta ektoe som ligge i ett giet plan som i beteckna α SATS Låt e och e aa tå skilda fån nollekton och dessutom icke-paallella ektoe som ligge i planet Vaje ekto i planet kan skias som en linjä kombination a e och e e e * dä och ä entidigt bestämda tal Beis: Vi paallellföfltta e e och så att de stata i samma punkt Vi beteckna e e B och P se figuen nedan Genom punkten P da i linjena paallella med e och e samt beteckna med M N deas skäningspunkte med linjena som gå genom punktena och B Vi se att M N Eftesom M e och N e så finns det ett tal så att M e och ett tal så att N e Däfö M N e e Dämed ha i isat att det finns tal och sådana att

med L ä också paallell med e och däfö finns det ett tal så att e Vekton e ä en basekto fö alla ektoe som ligge på L elle ä paallella med L BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER I ETT PLAN Vi

2 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet e e * Vi ha ka att beisa entdighet Låt e e en godtcklig epesentation a som en linjä kombination a e och e Då ha i e e e e e e Eftesom e och e ä icke- paallella och skilda fån nollekton ä detta möjligt endast om och Vi ha dämed beisat entdighet i * Anmäkning: I samband med base och basektoe anände i följande teminologi: Vi säge att oanstående e och e utgö en bas i planet α och att talen och ä :s koodinate i basen e e Vektoena e och e kallas :s komposante i basen e e Vi säge att planet α spänns upp a ektoena e och e m P ä en punkt i planet α då kan motsaande ektop skias som en linjä kombination a e och e P e e Vi säge också att alla ektoe som ligge i planet bilda ett tå-dimensionell ektoum ummet ha basektoe Beteckning: Vekton P e e följande sätt: P Koodinatsstem i ett plan nä basen e e ä känd anges oftast med endast koodinate på En punkt och tå basektoe icke-paallella och ej nollektoe som ligge i planet och som i beteckna e och e definiea ett paallellt koodinat sstem i planet med tå ala: -aeln gå genom och ha iktningsekto e och -aeln gå genom och ha iktningsekto e

basektoe anände i följande teminologi: Vi säge att oanstående e och e utgö en bas i planet α och att talen och ä :s koodinate i basen e e Vektoena e och e kallas :s komposante i basen e e Vi säge att

3 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet -aeln P B e e A -aeln Låt P aa en gien punkt i planet Vekto P som ha en entdlig famställning P e e kallas punktens otekto Tal kallas punktens koodinate Alltså punkten P och punktens otekton P ha samma koodinate Beteckning: Att punkten P ha koodinate skis i kusböcke på följande tå sätt: P elle P Koodinate fö en ekto mellan tå gina punkte m A och B ä tå punkte i planet A B då gälle AB A B B Alltså AB e elle kotae AB e e e e e e Eempel: A B AB [ alltså ändpunktens koodinate statpunktens kodinate] e BASER CH KRDINATER FÖR GEMETRISKA VEKTRER I RUMMET

kusböcke på följande tå sätt: P elle P ----------------------------------- Koodinate fö en ekto mellan tå gina punkte m A och B ä tå punkte i planet A B då gälle

4 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 4 a 9 Base och koodinate i D-ummet Fö att bilda en bas i D-ummet te-dimensionella ummet behöe i te ektoe e e e som ä skilda fån 0 och som inte ä paallella med ett gemensamt plan man säge ofta de inte ligge i samma plan Då kan aje skias på eakt ett sätt som en linjä kombination a e e och nedanstående figu e se Vi se detta om i paallell föfltta e e e och så att de ha en gemensam stat punkt Den ätta linje genom P :s ändpunkt som ä paallell med e måste skäa planet e e -planet i en punkt Q eftesom e e e ä ej paallella med något gemensamt plan Linjen genom Q paallell med e skä aeln i punkten R Då gälle R RQ QP Men eftesom R e RQ e QP e R e RQ e QP e Däfö e e e Entdighet beisas som i D fallet Koodinatsstem i D_ummet finns det tal så att En punkt och te basektoe icke-paallella med något gemensamt plan och skilda fån 0 e e e definiea ett paallellt koodinat sstem i planet med te ala: -aeln gå genom och ha iktningsekto e -aeln gå genom och ha iktningsekto e och -aeln gå genom och ha iktningsekto e

de ha en gemensam stat punkt Den ätta linje genom P :s ändpunkt som ä paallell med e måste skäa planet e e -planet i en punkt Q eftesom e e e ä ej paallella med något gemensamt plan Linjen genom Q

5 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 5 a 9 Base och koodinate i D-ummet Koodinate fö en punkt P definieas som koodinate med ekton otekto Alltså P e e e P Koodinate fö en ekto mellan tå gina punkte P punktens m A och B ä tå punkte i ummet då gälle AB A B B e e e e e e e e e Alltså AB e e e elle kotae AB Eempel: A B4 AB 0 ÖVNINGAR: Uppgift Uttck u och i nedanstående figu som linjäa kombinatione a basektoe e och e och bestäm deas koodinate Sa: u e e koodinate 5e e koodinate 5 5e e koodinate 5 Uppgift Uttck i nedanstående figu som en linjä kombination a basektoe e och e och bestäm ektons koodinate

AB Eempel: A B4 AB 0 ÖVNINGAR: Uppgift Uttck u och i nedanstående figu som linjäa kombinatione a basektoe e och e och bestäm deas koodinate Sa: u e

6 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 6 a 9 Base och koodinate i D-ummet e e Vi paallell föfltta ekton så att statpunkt hamna i punkten : e e Nu ha i 5e e koodinate Uppgift Bestäm koodinate fö w 0 u i basen e och e om :s koodinate ä och samt u :s koodinate ä 5 och -5 i samma bas e e u 5e 5e w 0 u 0e e 5e 5e 0e 0e e 5e 7e 5e Dämed ä w : s koodinate i basen e och e 7 5 Uppgift 4 Bestäm p och q så att u p e e och e q 5 e bli lika ektoe Vi anände att koodinate ä entdigt bestämda fö en gien bas u { p och q 5} p q 7 Sa: p q 7 Uppgift 5 Agö om u och ä paallella dä a u e e e e b u e e 8e 4e a u och ä paallella om det finns ett tal k så att ku

7e 5e Dämed ä w : s koodinate i basen e och e 7 5 Uppgift 4 Bestäm p och q så att u p e e och e q 5 e bli lika ektoe Vi anände att koodinate ä entdigt bestämda

7 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 7 a 9 Base och koodinate i D-ummet ku e e ke e { k och k} dä båda ekatione måste satisfieas Men fösta ekationen ge k som ä motsägelse med k i anda ekationen och dämed finns inget k som satisfiea ku Detta medfö att u och ä inte paallella b ku 8e 4e ke e {8 k och 4 k} k 4 Alltså 4u ds ä paallella ektoe Sa a nej b ja Uppgift 6 Låt e e e u e e e aa tå ektoe i D ummet med basen e e e Bestäm w 0 u w 0e e e e e e e 4e 7e Uppgift 7 Låt u aa tå ektoe i D ummet i någon bas t e e e e Bestäm a u b u c 5 u d 0 e 5 u 0 Sa: a u 4 b u 0 e 5u 0 5u c 5 u 505 d Uppgift 8 Bestäm p och q om möjligt så att u och definieade nedan med koodinate i en gien bas bli lika ektoe om a u p och q p b u p och q p a Sstemet med te ekatione p q p ha eakt enlösning p och q Då bli u b Sstemet med te ekatione p q p sakna lösning eftesom fösta ek p och tedje ek p ä en motsägelse Sa a p och q b Det finns inte sådana pq att u och bli lika Uppgift 9 Bestäm p om möjligt så att u och gien bas bli paallella definieade nedan med koodinate i en

med basen e e e Bestäm w 0 u w 0e e e e e e e 4e 7e Uppgift 7 Låt u aa tå ektoe i D ummet i någon bas t e e e e Bestäm a u b u c 5 u d 0 e 5 u 0 Sa: a u 4 b u 0 e 5u 0 5u 0 505 c 5 u 505 d 0 0 0 0

8 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 8 a 9 Base och koodinate i D-ummet a u p och 844 b u p och 84 a u och paallella det finns k så att och p k844 Häa sstem : p 8k 4k k/4 och däfö p 6 4k Då bli u 6 uppenbat paallell popotionella koodinate med 844 b Den hä gånge fån p k84 få i sstemet p 8k 4k k som sakna lösning Sa: a u och ä paallella om p 6 b Det finns inte någon p så att u och bli paallella ektoe Uppgift 0 Låt A B 48 aa tå punkte i ummet dä koodinate ä gina i ett koodinatsstem e e e Bestäm koodinate fö punkten P som ligge på stäckan AB och dela AB i föhållandet : Lägg mäke till att en punkt och tillhöande otekto ha samma koodinate Vi ha P AB B B Däfö P P ha samma koodinate som P 7 9 Alltså P Uppgift 0 Låt A och B aa tå punkte i ummet och S mittpunkten på stäckan AB Koodinate ä gina i ett koodinatsstem e e e Visa att mittpunkten ges a S

Uppgift 0 Låt A B 48 aa tå punkte i ummet dä koodinate ä gina i ett koodinatsstem e e e Bestäm koodinate fö punkten P som ligge på stäckan AB och dela AB i föhållandet : Lägg mäke till att en punkt

9 9 a 9 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR Base och koodinate i D-ummet Vi ha B B AB S och dämed S ad skulle beisas Uppgift 0 Låt A B C och aa te punkte i ummet och T tngdpunkten fö tiangeln ABC Koodinate ä gina i ett koodinatsstem e e e Visa att tngdpunkten ges a T B A T A C A AA AT T ] [ C B C B Alltså T ad skulle beisas

tngdpunkten fö tiangeln ABC Koodinate ä gina i ett koodinatsstem e e e Visa att

Relevanta dokument

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e ett koordinataxel.

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e ett koordinataxel. rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR a 9 aser och koordinater i D-rummet SER CH KRDINTER Vektorer i ett plan Vektorer i rummet SER CH KRDINTER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betraktar ektorer som ligger