Bestäm den sida som är markerad med x.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Bestäm den sida som är markerad med x."

Transkript

1 7 trigonometri Trigonometri handlar om sidor och inklar i trianglar. Ordet kommer från grekiskans trigonon (tre inklar) och métron (mått). Trigonometri har anänts under de senaste 2000 åren inom astronomi, lantmäteri och naigation. Anänds numera också inom t e ellära och optik. Säkert minns du från M1a att den rätinkliga triangeln har tå kateter. Eftersom det är iktigt att man et ilken som är ilken a dessa kateter, kallas de närliggande respektie motstående katet, och då utgår man från en a de spetsiga inklarna. Den katet som är närmast inkeln kallas närliggande katet. Den katet som är mitt emot inkeln kallas motstående katet. hypotenusa närliggande katet motstående katet! motstående katet a sin = = hypotenusa c närliggandekatet b cos = = hypotenusa c motstående katet a tan = = närliggandekatet b c b a EXEMPEL 1 Bestäm den sida som är markerad med. Definitionen a cosinus ger cos34 = 7,1 = 7,1 cos 34 5,9 sar: Sidan är 5,9 cm. 7,1 34 (cm) 7 Trigonometri 213

2 EXEMPEL 2 Bestäm inkeln. Sara i hela grader. 15 (cm) Eftersom i et båda kateterna anänder i definitionen a tan. tan 31 = (64, 17 ) sar: EXEMPEL 3 I en likbent triangel är toppinkeln 76,0 och motstående sida 21,6 cm enligt figuren. Beräkna triangelns omkrets och area ,6 cm Vi drar en höjd från toppinkeln mot basen. Höjden delar basen mitt itu och är dessutom bisektris till toppinkeln. I den hala likbenta triangeln kallas sidorna a och b enligt nästa figur. 10,8 sin38 = a 10,8 a = sin38 a 17, a b 10,8 cm Vi anänder räknarens ärde på a när omkretsen beräknas. Omkretsen = (2 17, ,6) cm 56,7 cm. Nu beräknar i sidan b, som är den ursprungliga triangelns höjd. 10,8 tan38 = b 10,8 b = tan38 b 13,82 Triangelns area är 13,82 21, sar: Omkretsen är 56,7 cm och arean 149 cm Trigonometri

3 152 Beräkna de markerade inklarna. Sara i hela grader. a) b) 11 5 c) d) Beräkna den sida som är markerad med. Arunda till tå ärdesiffror. a) b) 15 cm 27 c) 31 dm d) 17 cm m 154 I en rätinklig triangel är kateterna 36 mm och 85 mm långa. Bestäm triangelns minsta inkel. 155 Titta på rektangeln. (m) a) Beräkna inkeln i hela grader. 23,5 15,1 b) Beräkna rektangelns area i hela m a) omkrets 157 B Triangeln ABC är likbent. Beräkna med tå ärdesiffror triangelns b) area. (cm) A ,2 C Utgå från en inkel. Förklara arför sin och cos inte kan bli större än 1, medan däremot tan kan bli hur stort som helst. 7 Trigonometri 215

4 158 Beräkna triangelns area med tå ärdesiffror. (cm) 8, , Rita, utan att anända gradskia, en rätinklig triangel som har en inkel 58. Förklara hur du tänker. Vilka koordinater har punkterna P och Q i koordinatsystemen nedan? Sara med en decimal. y y Q P 5 le 4 le Beräkna husgaelns area. (m) 31 4,5 9,2 162 En båt seglar rakt mot en fyr enligt skissen nedan. Vid tå punkter A och B mäter man inkeln till fyrens topp. Aståndet mellan A och B är 530 m. a) Beräkna aståndet från B till fyren, ds BC. b) Beräkna hur högt öer attenytan som fyrens top ligger, ds CT. T 3,5 5,6 B C Trigonometri 530 m A

5 8 VEKTORER Man brukar skilja på skalärer och ektorer. En ektor är en storhet som har både storlek och riktning. Eempel på ektorer är kraft, hastighet och acceleration. En skalär en storhet som har en storlek, men saknar riktning. Eempel på skalärer är temperatur, area och energi. En ektor markeras med ett streck oanför beteckningen, t e kraften F. Vektorer isas med pilar eftersom en pil har både storlek och riktning. Är några a dessa ektorer lika? Ja u = eftersom de är lika till både storlek och riktning. u B w A AB Här ska i utgå från tå parallella ektorer, nämligen de tå krafterna F 1 = 3 N och F 2 = 2 N. Hur blir det då dessa krafter adderas? F 2 = 2 N F 1 = 3 N F 1 = 3 N F 2 = 2 N R = F 1 + F 2 = 5 N Bilden oan isar att i adderar ektorerna genom att låta dessa bita arandra i sansen! Resultatet a additionen kallas resultant och betecknas ofta R. Låt oss nu addera en positi och en negati ektor, nämligen F 1 = 3 N och F 2 = 2 N. De här ektorerna har motsatt riktning och olika storlek. När i adderar ektorerna placerar i den andra ektorn där den första ektorn slutar. F 1 = 3 N R F 2 R = F 1 + ( F 2 ) = 1 N Summan a ektorerna, ds resultanten R = 1 N. 8 Vektorer 217

6 Till sist ska i addera tå ektorer som inte är parallella. Vi konstruerar resultanten genom att rita en parallellogram och dess diagonal, enligt bilden. Nu gäller att diagonalen = resultanten. Eempel 1 Bilden isar ektorn F. F a) Rita ektorn 3 F. 3F b) Rita ektorn 2 F. 2F Eempel2 a) Bilden isar tå ektorer u 1 och u 2. u 1 = 3 m/s u 2 = 4 m/s Konstruera grafiskt u 1 + u 2. 3 m/s Vi ser att summan (resultanten) blir diagonalen i en rektangel. 4 m/s b) Beräkna summan algebraiskt. Summan beräknas med Pythagoras sats. u 2 = u = 5 sar: u = 5 m/s Vektorer

7 163 Utgå från krafterna F 1 = 24 N och F 2 = 10 N. Hur stor blir krafternas summa om krafterna a) har samma riktning b) har motsatt riktning c) är inkelräta? 164 Här gäller att F = 6 N. Ange följande ektorers storlek. 2F a) 3 F b) c) 4 F + F Nedan ser du tå ektorer u 1 och u 2. Bestäm genom att rita på rutat papper. a) u 1 + u 2. b) 2 u 1 + u 2. u 1 u Addera de tre ektorerna grafiskt och rita den resulterande ektorn. u 1 u 3 u Utgå från tå krafter som är 3 N och 5 N. Vilken blir det största respektie den minsta möjliga resultanten? Motiera! 168 Beräkna då summan a de inkelräta ektorerna F 1 = och F 2 = 50 blir Vektorer 219

8 9 VEKTORER och trigonometri När man anänder ektorer i t e fysiken, är ektorns riktning ofta angien med en inkel. Eempel 1 En basebollspelare skjuter med en inkel på 42º med utgångshastigheten 25 m/s. Bestäm hastighetens komposanter i -led och y-led. höjd Vi placerar ektorn i ett koordinatsystem och beräknar komposanterna. höjd cos42 = ger 25 = 25 cos utslagsinkel = 25 m/s utslagsinkel = 25 m/s y y längd = 25 m/s y y 40 = 25 m/s sin42 = y 25 ger y = 25 sin längd 40 sar: 19 m/s y 17 m/s Eempel 2 Bestäm inkeln a mellan resultanten R och komposanten F. Sara i hela grader. 8 N cos a = 5 8 a 51,3 sar: a 51 a 5 N I följande uppgifter är det lämpligt att arunda till 2 ärdesiffror. 169 Beräkna komposanterna i -led och y-led. y = 30 m/s Vektorer och trigonometri

9 170 Bestäm inkeln a mellan en kraft F = 50 N och komposanten F y = 30 N, när du et att F = 40 N. 171 En kraft F kan delas upp i tå komposanter, F och F y enligt figuren. Hur stora blir F och F y om F = 14 kn? Bestäm den resulterande kraften till storlek och riktning. F y F F F 1 = 25 N F 2 = 45 N 173 En bil åker nerför en brant backe med 15 graders lutning. Hastighetsmätaren isar 90 km/h. Dela upp hastigheten i en horisontell och en ertikal komposant. 174 En kraft med storleken 640 N delas upp i tå mot arandra inkelräta komposanter. Vinkeln mellan kraften och den ena komposanten är 29º. Beräkna komposanterna. 175 En kraft är uppdelad i tå mot arandra inkelräta komposanter. Den ena komposanten är 85 N och bildar inkeln 63º med kraften. Beräkna resultantens storlek och den andra komposantens storlek. 176 Bestäm resultanten till storlek och riktning. y 13 N N 9 Vektorer och trigonometri 221

10 FACIT hypotenusans längd. Här är alltså nämnaren större än täljaren, och saret blir alltid mindre än 1. Vad gäller tan, kan koten bli t e 3/1 eller 7/2 os cm2 motstående katet ska ara 1,6 gånger större än närliggande katet. Rita en triangel där t e närliggande katet = 2 cm och motstående katet = 1,6 2 cm = 3,2 cm. 160 P (3,2; 2,4) m F 12 kn Fy 7,4 kn N riktad 29 snett m/s y 23 m/s N och 170 N b) 86 m N riktad 10 nedåt 8 VEktorer 163 a) 34 N b) 14 N 164 a) 18 N b) 4 N c) 26 N m/s y 20 m/s N och 310 N 162 a) 880 m 9 VEKTORER OCH trigonometri uppåt Q (0,9; 4,9) =3N+5N=8N då krafterna har samma riktning. Minsta resultanten =5N 3N=2N då krafterna har motsatt riktning. 168 = Utgå från tan 58 1,6 167 Största resultanten c) 30 N 165 a) u1 a) a) 6,8 cm c) 25 cm b) 53 b) 16 u1 + u2 b) 272 m2 156 a) 23 cm b) 20 cm2 längsta sidan i en triangel. Både i sin och cos diiderar i med 248 2u1 FACIT 166 u1 u2 u3 u1 + u2 + u3 u2 2u1 + u2 157 Hypotenusan är alltid den 155 a) 40 b) 25 dm d) 7,9 m b) 7 trigonometri 152 a) 27 u2