Steg och impuls. ρ(x) dx. m =

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Steg och impuls. ρ(x) dx. m ="

Agneta Lindqvist
för 7 år sedan
Visningar:

1 Seg och impuls Punkmssor, punklddningr och punkkrfer hr llid en viss ubredning även om den är lien. En mer verklighesrogen beskrivning v en punkmss m är en densie ρ(x) som är skild från noll på e mycke lie inervll < x < b. y ρ(x) b x m = ρ(x) dx Om mn isälle nvänder en enhespuls p(x) med dimensionen m och med p(x)dx = så kn en punkmss m beskrivs som densieen ρ(x) = mp(x). På smm sä kn då en punklddning q beskrivs som lddningsäheen (densieen) qp(x) och en punkkrf F som krffördelningen (densieen) Fp(x). En liknnde siuion är en srömbryre där srömmen slår om från ill direk. I verkligheen måse de en viss id och en rimligre beskrivning v srömmen är därför funkionen s() där srömmen går från ill på en mycke kor id. s() Av figuren ser vi luningen, dvs derivn, går från ill e mycke sor värde och därefer illbk ill. Derivn får useende s () Dessuom gäller s ()d = [ ] s() = s( ) s() = =. De innebär s () är en enhespuls v smm yp som vi nvände för beskriv punkmssor. För få enkl räkningr pproximers ofs srömbryren v en segfunkion (Hevisidefunkion).

2 om < Definiion: θ() = odef om = om > θ() Mosvrnde pproximion v derivn skulle då bli en explosion (impuls) i origo. om < Definiion: δ() = θ () = om = om > δ()d = δ() Probleme är de ine är en funkion un en så klld generliserd funkion eller disribuion. För sådn finns en memisk eori som vi ine går in på här. Vi klrr oss med änk på δ() som en funkion med lie ovnlig egenskper. Räkneregler för δ: θ = δ δ( )d = f()δ( ) = f()δ( ) f()δ( )d = f() Följnde exempel visr uräkningr kn förenkls krfig om vi nvänder oss v dess pproximioner. Exempel: Hsigheen v() hos en bil som rullr på frigång uppfyller differenilekvionen mv +cv = f, där f är bromskrfen, m mssn och c dämpningskonsnen. Vi nr m = c = och f ges v en enhespunkkrf vi e smp på bromspedlen vid iden = (> ). Lösningen ill differenilekvionen besäms med inegrernde fkor och den kn skrivs som v() = v()e e e τ f(τ)dτ. Med f(τ) = δ(τ ) kn inegrnden förenkls: e τ δ(τ ) = e δ(τ ). De följer v() = v()e e e δ(τ )dτ = v()e e e [ ] θ(τ ) = e v() e ( ) θ( )). Om vi ine hde pproximer punkkrfen med en delfunkion skulle vi få svår beräkn inegrlen. v()

3 Exempel: I e slue rör, med längd L, diffunderr e gifig ämne. Från börjn vr ll gif sml i mipunken. Besäm koncenrionen u(x,). Modell för < x < L, > : Sndrdlösningen är där k = L L u Du xx = u x(,) = u x(l,) = u(x,) = Cδ(x L ) u(x,) = + k= k e Dk π L cos kπ L x Cδ(x L )cos kπ L xdx = C L cos kπ, k =,,3,..., och = C L x Språngfunkioner kn skrivs med hjälp v θ. Om y = f() är en godycklig funkion så kn e vsni v den skrivs som y = f()(θ( ) θ( b)). b Derivn v en språngfunkion kommer innehåll δ. y () = f ()(θ( ) θ( b))+f()(δ( ) δ( b)) = = f ()(θ( ) θ( b))+f()δ( ) f(b)δ( b). 3

4 Den förs ermen är den vnlig derivn, dvs luningen, men så illkommer språngsorlek gånger delfunkion för vrje språng! Exempel:, < < Funkionen f() =, < <, för övrig kn dels upp i vå språngfunkioner: f = + f() = (θ() θ( ))+( )(θ( ) θ( )) Deerivorn f och f kn beräkns genom derivion men de är läre ri figurer och änk på luning och bidrg från sprången. f f δ() δ( ) δ( ) Övningr. Beräkn ) e (+) δ()d, b) e δ( )d.. Ri funkionen, deriver den grfisk och deriver den enlig derivionsreglern. ) e θ(), b) θ() θ( ). 3. Skriv med hjälp v segfunkioner ) b) 3 4. En vägg v jocklek L hr vid x = L/ e un skik med värmeslingor. Båd sidorn hålls hel iden vid noll grder och begynnelseemperuren är också noll grder. Besäm emperuruvecklingen i väggen. Räkn endimensionell. 5. E gifig ämne diffunderr i e slue rör, x L. Från börjn vr ll gif sml i en end punk x =. Besäm koncenrionen i punken x vid iden. 4

5 Svr. ) e b) e 4. ) f() = e θ() b) f() = θ() θ( ) e f () = e θ()+δ() f () = δ() δ( ) δ() δ() e δ( ) 3. ) (θ() θ( )) + θ( ) b) (θ() θ( ))+(θ( ) θ( ))+(3 )(θ( ) θ( 3)) 4. Modell: Lösning: u(x,) = u u xx = Cδ(x L ), < x < L, > u(,) = u(l,) = u(x,) = k= C sin(kπ/) Lk Ω ( e k Ω )sinkωx, Ω = π L 5. Modell: u Du xx =, < x < L, > u x (,) = u x (L,) = u(x,) = Cδ(x ) Lösning: u(x,) = C L + k= CcoskΩ e Dk Ω coskωx, Ω = π L L 5

Relevanta dokument

3. Om matematisk beskrivning av signaler

3. Om matematisk beskrivning av signaler Aresmeril, Signler&Sysem I, 003/E.P. 3.. Informell inledning 3. Om memisk eskrivning v signler En signl är för oss e smlingsnmn på någon mär sorhe som vrierr med iden. Exempelvis: [] e vriernde lufryk