H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är"

Solveig Larsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definiion. En irkel är mängden v de punker i plne vrs vsånd ill en given punk är konsn.. Cirkelns ekvion Cirkeln med enrum i, oh rdien hr ekvionen Cirkelns ekvion på prmeerform: p os q sin, där 0 * Anmärkning : Med hjälp v "rigonomerisk en " ser vi punker definierde med * uppfller p q os sin dvs p q som är ekvionen för irkeln med rdien oh enrum i punken p,q. Anmärkning : Cirkelns ekvion definierr vå eplii funkioner oh därmed vå funkionskurvor som vi får genom lös u ur ovnsående ekvion: q p q p Övre hlvirkeln ges v q p medn q p är ekvionen för nedre hlvn Härledning v irkelns ekvion: Lå P, vr en punk på irkeln med enrum i, oh rdien. Efersom vsånde melln P oh C är lik med hr vi: p q. Om vi kvdrerr åd leden får vi p q. v 3

H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi Anmärkning 3.

2 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi Anmärkning 3. Ends en punk 0,0 sisfier ekvionen 0 Anmärkning. Ingenn punk sisfierr ekvionen. De inre punker med rndpunker uppfllerr villkore För de re punker med rndpunker gäller Uppgif. Ri irkeln. Lösning: Vi kvdrkompleerr 9 Om vi jämför med irkelns ekvionen, ser vi,, 9 eller,, 3 Allså C, är enrum oh =3 är irkelns rdie. =3 C-,, - O Uppgif. Ri följnde punkmängd i plne v 3

3 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi A= {, Svr: R : + 9 } ===========================================================. ELLIPS Definiion. En ellips är mängden v de punker i plne vrs vsånd ill vå givn punker, rännpunkern, hr en konsn summ. Ellipsen med enrum i origo 0,0 oh hlvlrn, hr ekvionen. Om 0 får vi. Om 0 får vi. Aren v en ellips vrs hlvlr är oh är A. Om F,0 oh F,0 är ellipsens rännpunker då gäller 3 v 3

4 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi v 3 Anmärkning 5: Ellipsen med enrum i origo,, kn nges med vå ekvioner på prmeer form: os sin, där 0 ** Med hjälp v "rigonomerisk en " ser vi sin os dvs punker som uppfller ** sisfierr ellipsens ekvion Anmärkning 6: Ekvionen definierr vå eplii funkioner: + eken för övre hlvn Härledning v ellipsens ekvion: Vi erkr en ellips som hr rännpunkern F, 0 oh F, 0 som esår v de punker vrs smmnlgd vsånd ill vå rännpunkern, hr en konsn summ d + d =. Lå P, vr en punk på ellipsen. Från d + d = hr vi Vi flr en ro ill den vänsr sidn oh kvdrerr åd sidor : Efer förenkling hr vi Vi delr med oh igen kvdrerr åd leden för eliminer roen oh därefer förenklr ekvionen :

5 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi 5 v 3 ] [ ] [ Vi inför eekningen oh får ellipsens ekvion Om vi delr med hr vi ellipsens ekvion på formen. Därmed hr vi härle ellipsens ekvion. Anmärkning 7: E sä få ekvion för en ellips är i irkelns ekvion gör vriele /, / med ndr ord ändrr vi skln på respekive eln. Vi får. Anmärkning 8: Om ellipsens enrum ligger i punken Cp,q då hr ellipsen följnde. Smm ellipsen kn skrivs på prmeerform: p os q sin, där 0 *** Med hjälp v "rigonomerisk en " ser vi sin os q p dvs punker som uppfller *** sisfierr ellipsens ekvion q p Anmärkning 9: Ends en punk0,0 sisfierr ekvionen 0 Anmärkning 0: Ingen punk sisfierr ekvionen. Uppgif. En ellips hr den horisonell hlveln 5 oh rännpunker 3,0 F oh 3,0 F. Besäms ellipsens ekvion.

6 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi Lösning: Från smnde hr vi Ellipsens ekvion lir då 5 6 Svr: 5 6 Uppgif 3. Ri elipsen vrs ekvion är 3 Lösning: För skriv ellipsen på formen delr vi med ekvionen 3 oh får 3 som vi kn skriv på följnde sä / 3 Om vi jämför med får vi: oh / 3 / 3 Allså hr ellipsen hlvlrn oh / Uppgif. Besäm ngenen ill elipsen vrs ekvion är 3 i punken P=, där >0. Lösning: Vi susiuerr = i ellipsens ekvion: 3. Efersom, enlig ngnde >0 r vi. Vi deriverr åd leden i implii definierde funkionen 3 oh får 6 v 3

7 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi 0. I punken P=, hr vi P. Tngenens ekvion lir: eller efer förenkling 3. Svr: 3 Uppgif 5. Vis ellipsen hr ren A. Lösning: Från får vi vå eplii funkioner. Vi esämmer ren v fjärde delen v ellipsen som ligger i förs kvdrnen. A / 0 / 0 0 d sin osv osv dv v osv dv Susiuionen sin v där 0 v ger d os vdv Gränser: 0 sin v 0 v 0 sin v sin v v / 0 os / v dv 0 osv sinv dv [ v ] sin sin0 / 0. / 0 / Från A hr vi A vilke skulle eviss. 7 v 3

8 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi Uppgif 6. Ri följnde punkmängd i plne M {, R : } Svr: Område egränss v ellipsen. Från oh får vi hlvlrn oh. Uppgif 7. Ri följnde punkmängder i plne M {, R : } M {, R : } M 3 {, R : } d M {, R :, 0} e M 5 {, R :, 0} f M 6 {, R :, 0} Svr: Rndpunker illhör ine mängden M 8 v 3

9 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi d B o C A e B o C f B o C A A ================================================================ 3.HYPERBEL Definiion. En hperel är mängden v de punker i plne vrs vsånd ill vå givn punker, rännpunker hr en konsn skillnd. Ekvionen för en hperel härleder vi på liknnde sä som för en ellips. Två of förekomnde är följnde ekvioner: hr skärningspunker med eln oh. hr skärningspunker med eln Anmärkning : Ekvionen definierr vå eplii funkioner: + eken för övre hlvn. Härv får vi definiionsmängden 0 dvs, ] [, oh vå sned smpoer enlig formlern: T e för oh hr vi 9 v 3

H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi k

lim 0 nämnrenn går mo, äljren = Därmed är 0

På smm sä får vi är en vänser smpo ill då.

vänser respekive höger ill nedre delen v

Om F,0 oh F e,0 är hperelns rännpunker då

10 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi k lim f lim lim n lim f k lim lim lim lim konsn. lim 0 nämnrenn går mo, äljren = Därmed är 0 en sned smpo ill d då. På smm sä får vi är en vänser smpo ill då. På liknnde sä visr vi oh är sned smpoer vänser respekive höger ill nedre delen v hpereln. Om F,0 oh F e,0 är hperelns rännpunker då gäller Anmärkning. Ekvionen 0 kn fkorisers oh skrivs som 0. oh därmed punker som sisfierr ekvionen ligger på vå linjer 0 v 3

H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi 0 0. Uppgif 8.

Lösning: För esämm oh skriver vi ekvionen på formen.

11 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi 0 0. Uppgif 8. Ri hpereln 8 8. Lösning: För esämm oh skriver vi ekvionen på formen. Vi delr ekvionen 8 8 med 8 oh får. Därför är hperelns smpoer. Vi rir smpoer oh, med hjälp v en rekngel se ilden, skisserrr vi hpereln. ======= =========== =========== =========== ========== ========== =========. PARABLER Här är vå of förekomnde ekvioner: Eempel 3. där 0 oh där 0 ======= =========== =========== =========== ========== ========= v 3

12 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi Definiion. En prel är mängden v de punker i plne vrs vsånd ill en given linje, srlinje direkris oh en given punk rännpunk är lik. Anmärkning 3: Prelns vere, oppunk ligger i mien v vinkelrä sräkn från rännpunken ill direkrisen. Den red linjen i figuren ovn är prelns srlinje, F eeknr rännpunk fokus oh V är prelns vere oppunk Uppgif 9. Besäm ekvionen för den prel vrs vsånd ill linjen är lik. oh punken F, 0 Lösning: Q-, P, -,0 O F,0 Lå P, vr en punk på preln. Avsånde melln P oh direkrisen srlinjen är d medn vsånde melln P oh rännpunken är d. Från d d kvdrer åd leden v 3

13 H009, Inrodukionskurs i memik Armin Hlilovi Svr: Uppgif 8. Besäm ekvionen för den prel som hr rännpunken F,5 oh vere V.6. Lösning: Genom rännpunken F,5 oh vere V.6 går prelns smmerilinje medn direkrisen srlinjen skär vinkelrä smmerilinjen i den punk D som uppfller krve vsånde melln D oh V är lik med vsånde melln V oh F. Direkrisens ekvion är därmed 7. Se figuren. För en punk P, på preln hr vi d d 7 5 kvdrer åd leden 7 9 Svr: v 3

Relevanta dokument

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt