KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER"

Eva Sandström
för 5 år sedan
Visningar:

1 rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser KVDRISK MRISER, DIGONLMRISER, MRISENS SPÅR, RINGULÄR MRISER, ENHESMRISER, INVERS MRISER KVDRISK MRISER Defiitio E mtris me rer oh oloer, lls vrtis typ Defiitio Elemet i e vrtis mtris me riexoloiex,,,,, säges ligg på igole eller huvuigole E igolmtris är e vrtis mtris är ll elemet utför igole är ollor Exempel Någr igolmtriser,, C, D 9 Defiitio Summ v ll igolelemet i e vrtis mtris lls mtrises spår oh etes tr frå egelss tre Exempel Låt Då är tr 7 Defiitio E vrtis mtris är e trigulär mtris om mtrise hr est ollor på e si v igole E mtris sägs vr övertrigulär uppåt trigulär högertrigulär om ll tl uer igole är oh evetuell ollsil tl ligger på eller ovför igole E mtris sägs vr uertrigulär eåt trigulär västertrigulär om ll tl ovför igole är oh evetuell ollsil tl ligger på eller uer igole Exempel Neståee mtris är övertrigulär ollsil elemet fis est ovför oh på igole, me mtrise är uertrigulär: 8, 8 Defiitio E ehetsmtris är e vrtis mtris är ll igolelemet är ettor oh ll elemet utför igole är ollor E ehetsmtris etes oft me I eller E Exempel Någr ehetsmtriser

2 rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser I, I, I Defiitio E vrtis mtris M är e ilpotet mtris om M för ågot positivt heltl Exempel,, C oh D är ilpotet mtriser Kotroller tt,, C oh D DEERMINN V EN KVDRISK MRIS Determiter v r orige Determite v e vrtis mtris et eller oh efiiers eligt följe: är ett tl som etes Exempel 6 Exempel 6 erä följe etermiter: e f x x g x x x h Svr: 8 e f x x g x x h Determiter v treje orige

3 rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser Determite v e mtris är ett tl som etes et eller oh eräs me hjälp v Lpleutvelig " Utvelig efter e r vile som helst eller e olo vile som helst : Utvelig efter först re Utvelig efter e r eller e olo Låt D För tt erä etermite vi vä e v följe metoer: Utvelig efter r ummer i i i i D i i i i i i Utvelig efter ollo ummer D I ess utveligr är i ueretermite m p pltse i, som vi får om vi tr ort r ummer i oh olo ummer frå etermite D eeshem för i Exempel 7 erä följe etermiter: Lösig: Vi väer oh jämför två metoer, utvelig efter r oh utvelig efter olo Meto Utvelig efter r

4 rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser Meto Utvelig efter olo är vi hr två -elemet 6 6 Det är elst tt utvel e etermit efter e r eller ollo me fler -elemet Svr - C Determiter v :te orige D Utvelig efter e r eller e olo Låt D För tt erä etermite vi vä e v följe metoer: Utvelig efter r ummer i i i i D i i i i Utvelig efter ollo ummer D I ess utveligr är i ueretermite m p pltse i, som vi får om vi tr ort r ummer i oh olo ummer frå etermite D i i eeshem för i

5 rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR INVERS MRISER v Ivers mtriser Defiitio 6 Låt vr e vrtis mtris v typ Mtrise är iverterr om et fis e vrtis mtris, v smm typ så tt I, är I är ehetsmtrise v typ E så mtris lls e ivers mtris till De ivers mtrise etes me lltså om mtrise hr iverse å gäller I oh SS OM INVERERR MRISER Låt vr e KVDRISK mtris v typ Följe påståee är evivlet är iverterr Rg Mtrises reuere trppstegsform är I är Iehetsmtrise typ Mtrise hr oeroee rer Mtrise hr oeroee oloer 6 et 7 evtiossystemet X hr preis e lösig för vrje Då är lösige X 8 evtiossystemet X hr preis e lösig, e trivil lösige, X Exempel 8 Uersö om mtrise är iverterr e 6 f 6 Svr: Mtrise är iverterr eftersom et Mtrise är INE iverterr eftersom et iverterr reguljär iverterr e Ej iverterr sigulär f Ej iverterr eräig v iverse för e mtris Låt

6 6 v rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR Ivers mtriser Mtrise är iverterr om et vs Iverse eräs me följe formel: et Exempel 9 evis formel et evis: Låt et Vi ehöver vis tt I oh I Vi erär I et På smm sätt får vi tt I Därme hr vi evist tt et är iverse till Exempel erä e ivers mtrise för eståee mtriser C D Svr: et, så är mtrise iverterr / / / / C D

7 7 v rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR Ivers mtriser eräig v iverse för e mtris Guss-Jor meto lls oså Jois meto för mtrisiverterig Låt vr e iverterr vrtis mtris et v typ oh I ehetsmtrise v smm typ Vi plerr ehetsmtrise till höger om oh ilr e mtris I v typ Me elemetär r opertioer omilr vi I till I Om I ~I, så är - märig: Om mtrise ite är iverterr så är et omöjligt tt omil I till I Exempel erä e ivers mtrise för eståee mtriser C D e E Svr: I Vi elr r me oh r me / / ~ vå elemeter ropertioer: r*-r, r*-r / / ~

8 rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR 8 v Ivers mtriser / Härv / / / / C / Mtrise D är INE iverterr e Mtrise E är INE iverterr För tt evis tt är iverse till räer et tt vis tt I, som vi väer i eståee exempel Exempel EVIS: Om är e iverterr mtris oh λ ett tl sil frå å är t evis: t t I Dett meför tt t t t t Exempel EVIS: Om är e iverterr mtris å är evis: Vi väer räelge P Q QP I I Dett meför tt t Exempel EVIS: Om e mtris är e prout v två iverterr mtriser, PQ, å är iverterr oh Q P evis: Vi ehöver est vis tt Q P I Dett får vi eelt frå Q P PQQ P PIP PP I Exempel är e vrtis mtris som stisfierr I O I O Vis tt är iverterr oh estäm Lösig I O I I I lltså, et fis e mtris I så tt I Därför är iverterr oh I Svr I Exempel 6 Om är e vrtis mtris så tt vis tt I är iverterr oh t I I Lösig:

9 rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR 9 v märig: Om vi, för e mtris P, visr tt et fis Q så tt PQI etyer ett eligt efiitioe för iversmtris tt P är iverterr oh tt Q är iverse till P Vi multiplierr I I I I eftersom I Därme hr vi vist tt I är iverterr oh t Ivers mtriser I I Exempel 7 KS 8 Mtrise X stisfierr evtioe X X I är e give mtris v typ så tt oh I existerr estäm mtrise X Om är e vrtis mtris så tt I vis tt är iverterr oh estäm Om C är e vrtis mtris så tt C vis tt I C är iverterr oh estäm I C Lösig: Vi multiplierr evtioe X X I frå väster me som existerr eligt tge oh får X X X I De sist evtioe multiplierr vi frå höger me I existerr eligt tge oh får X I I I I I Dett visr tt är iverterr oh I Eftersom C hr vi I I C I C I I C C lltså I I C I C C Därför är I C är iverterr oh I C I C C Exempel 8 Om är e vrtis mtris så tt vis tt I är iverterr oh estäm I Svr: I I

10 rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser Exempel 9 Om är e iverterr mtris EVIS tt om oh est om evis: i Vi tr först tt vi multiplierr me frå höger oh väer I u multiplierr vi me frå väster oh väer I lltså vi hr evist implitioe * ii Nu tr vi tt vi multiplierr me frå höger vi multiplierr me frå väster Nu hr vi evist ** De två implitioer, * oh ** ger tillsmms evivlese Exempel EVIS: Om är iverterr å är å eller å sigulär ie iverterr oh I iverterr evis: i Först tr vi tt är iverterr Då gäller I Vi hr srivit istället för I I * * Visr tt vi hr srivit I som e prout v två iverterr eligt tge i mtriser oh ärför är I oså iverterr Vi äve erä iverse I [ ] ii Nu tr vi tt I är iverterr Då gäller I I lltså srivs som e prout v två iverterr eligt tge ii mtriser oh ärför är oså iverterr Vi hr geom i oh ii evist tt är iverterr om oh est om I är iverterr Me r or: Mtriser oh I är tige å iverterr eller å sigulär ie iverterr

11 v rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR Ivers mtriser Exempel t tt giv iverser existerr oh evis följe lihet: evis: Meto Vi evisr påståeet geom e följ v evivlet liheter: Vi iverterr å lee iverser fis eligt tget först multiplierr vi frå höger me I vi multiplierr frå väster me * De sist lihete * är s oh eftersom e först lihete är evivlet me e sist, hr vi evist vår påståee Vi evis smm påståee iret me, e här gåge, får vi mer omplier eräig me iret metoe Meto Vi evisr påståeet iret geom tt vis tt högerleet är iverse till Vi multiplierr I Vi ersätter I me I I Därför v sulle eviss

Relevanta dokument

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system. Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter DETERMINANTER A Determiter v r orige Determite v e mtris A följe är ett tl som etes eta eller Eempel: 6. oh efiiers eligt Motiverig: Determiter utveles i sm me lösigsmetoer