är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system."

Håkan Karlsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter DETERMINANTER A Determiter v r orige Determite v e mtris A följe är ett tl som etes eta eller Eempel: 6. oh efiiers eligt Motiverig: Determiter utveles i sm me lösigsmetoer för vrtis lijär sstem. Betrt ett vrtist lijärt sstem me två evtioer oh två oet. ss som vi sriv på mtrisforme AXB, är A, X oh B. Vi vill uersö för vil väre på oeffiieter sstemet hr preis e lösig. Om ll oeffiieter ij är så hr sstemet uppert tige oäligt måg eller ige lösig. At tt t e. Vi lös sstemet me sustitutiosmetoe. Frå först evtioe hr vi * som vi sustituerr i r evtioe oh får multiplier me oh förel ** Om oh est om for vi preis e lösig för som efter sustitutioe i * oh förelig ger preis e lösig. Alltså hr sstemet ss preis e lösig om oh est om. Uttret som estämmer etermierr om sstemet hr et e lösig lls etermite oh etes eta eller. Därme hr sstemet preis e lösig om oh est om et A. Si v

2 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter Uppgift. Berä följe etermiter: e f g h Svr: 8 6 e f g h Uppgift. Lös följe evtioer me vseee på 6 Lösig:, Svr:,, Uppgift. Lös följe evtio me vseee på Svr:,, Uppgift. För vil väre på hr evtiossstemet me vseee på, oh 7 A e etig lösig vs et e lösig e ui lösig preis e lösig B oäligt måg lösigr C ige lösig Lösig: Koeffiietmtrise är A oh motsvre etermit et A. et A eller. i Om et A, vs oh hr sstemet et e lösig. Si v

3 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter Vi lserr me Gussmetoe tlet lösigr i fll eller. 7 ii Om får vi sstemet vs ige lösig i ett fll. 7 iii Om får vi sstemet 7 vs ige lösig 8 i ett fll. Svr: A e etig lösig om oh B Fllet oäligt måg lösigr ite föreomm i e uppgift C ige lösig om eller. B Determiter v treje orige Utvelig efter först re Utvelig efter e r eller e olo. Låt D. För tt erä etermite vi vä e v följe metoer:. Utvelig efter r ummer i i i i D A A A i i i i i i. Utvelig efter ollo ummer A A D A I ess utveligr är Ai ueretermite m p pltse i, som vi får om vi tr ort r ummer i oh olo ummer frå etermite D. Teeshem för i. Uppgift. Berä följe etermiter: Lösig Si v

4 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter Vi väer oh jämför två metoer, utvelig efter r oh utvelig efter olo. Meto Utvelig efter r. 6 Meto Utvelig efter olo är vi hr två elemet. 6 Det är elst tt utvel e etermit efter e r eller ollo me fler elemet. Svr: C Determiter v :te orige. D Utvelig efter e r eller e olo. Låt D. För tt erä etermite vi vä e v följe metoer:. Utvelig efter r ummer i i i i D A A A i i i i. Utvelig efter ollo ummer D A A I ess utveligr är Ai ueretermite m p pltse i, som vi får om vi tr ort r ummer i oh olo ummer frå etermite D. i i A Teeshem för i. El egesper hos etermiter: E. Väret v e etermit ärs ite om rer görs till oloer oh vie vers. eta T eta. Si v

5 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter Bevis för etermiter v r orige: Låt A oh ärme A T. Då gäller et A et A T T Alltså et A et A för mtriser. T På lie sätt visr vi tt et A et A för mtriser et A efter förelig oh et A T efter förelig. T Alltså hr vi vist tt et A et A för mtriser. Eempel:. E. Om ll elemet i e r eller e olo är så är etermites väre. Eempel: E. Om e etermit hr två li rer oloer så är etermites väre. Om e etermit hr två proportioell rer oloer så är etermites väre. Om e r olo är e lijär omitio v r rer så är etermites väre. Bevis för ele oh etermiter v r orige: D På lie sätt visr vi stse för etermiter v treje eller högre orige At tt D är e etermit v treje orige me två li rer, t e r r. Si v

6 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 6 Determiter f g e g e f D e f g. f g e g e f e f g Eempel: två li rer 8 8 eftersom r r r 8 E. Om m låter två rer eller två oloer i e etermit t plts så ter etermite tee. Bevis för etermiter: Låt D. Om vi ter plts på först oh r re å får vi D D. På lie sätt visr m tt stse gäller för etermiter v treje eller högre orige. Eempel: Om vi låter r oh r t plts å får vi E. M får rt ut e gemesm ftor ur e r eller e olo. Eempel: Bevis för etermiter v r orige. Vi visr t e tt. Si 6 v

7 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 7 Determiter Västerleet högerleet På lie sätt visr m tt stse gäller för etermiter v treje eller högre orige. Eempel: I eståee eempel rter vi ut ur r re oh ur treje re. 6 Ovståee meto vi vä om etermite iehåller e eller fler rå. Eempel: I eståee eempel sriver vi rå i e r me gemesm ämre. Därefter rter vi ut ur motsvre r ftor /ämre. / 6 / / / / 6 / 6 / / 6 / / 6 / 6 6 E. Spltig uppelig lägs e r eller e olo Ett eempel me e etermit v r orige: * Ett eempel me e etermit v treje orige: Vi evisr * VL HL VL. ** E6. VIKTIGT!!! Väret v e etermit ärs ite om m till e r eller e olo err e r /olo multiplier me ett tl. Vi evisr följe fll: VL spltig lägs r Si 7 v

8 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 8 Determiter oh r är proportioell HL V.S.V oter tt e r etermite är eftersom r Eempel 6.. Berä etermite D. 7 Lösig: Vi väer egespe E6 för tt få två elemet i först olo. D r r 7 r r Svr: D Eempel 6.. Berä etermite D Lösig: Vi hr re två elemet i olo ummer oh me hjälp v egespe E6 får vi ett elemet till i smm olo. D r r För tt utvel D efter olo väer vi följe teeshem: oh får D r r 8 utvelig efter r Si 8 v

9 9 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter Svr: D 6 Eempel 6.. Vis tt. Vermoes etermit Lösig: [ ]. ftoriserig r r r r D Eempel 6.. Berä följe etermiter etermite D D D D e D f 6 D Lösig olo olo D r utvelig efter 6 utvelig efter r Si 9 v

10 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter Svr D D D D e D 8 f 6 D 9 Eempel 6.. Vis tt etermite är elrt me. Lösig: Kolo lägger vi till olo oh rter ut : Eempel 6.6. Vis tt etermite är elrt me. Lösig: Rer oh lägger vi till r oh rter ut : E7 Determite v e igol mtris är proute v igolelemete. Vi upprepr tt mtrise lls igol om ll elemet som ligger utför mtrises HUVUD DIAGONAL år li me. Dett ses geom tt m utvelr efter först r eller olo fler gåger. Eempel 7.,, Eempel 7. Berä följe etermit lägg märe till tt etermite ite är igol Si v

11 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter i ii Låsig: Vi eelt erä iret me hjälp v utvelig efter e r eller olo me vi väljer tt t pltser på rer oh få e igol mtris. Vi vrje rte ärs etermites tee : i vi ter plts på r oh r ii vi ter plts på r oh r vi ter plts på r oh r. E7 Determite v e trigulär mtris är proute v igolelemete. Dett ses geom tt m utvelr efter först r eller olo fler gåger. Eempel 7. Berä etermiter 8 Svr: E8 Proutregler: i Låt A vr e vrtis mtris v tp oh ett tl. Då gäller et etaa ii Låt A oh B vr två vrtis mtriser v smm tp. Då gäller etaabb etaa etbb Eempel 8. i Avä mtriser A oh A ii Avä mtriser A oh B 7 för tt test regel i för tt test regel ii Si v

12 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter Eempel 8. Låt A vr e vrtis mtris v tp oh eta. Avä E8 för tt erä etaa et A Lösig: et etaa etaa 6 Svr: 8 6 Eempel 8. Låt A vr e vrtis mtris v tp oh eta. Berä et A Lösig: et etaa etaa 99 eta Svr: Determiter oh iverterrhet. Låt A vr e vrtis mtris v tp. eta. A är iverterr.. rga. Då ör följe påståee evivlet: Me r or: A är iverterr om oh est om eta. Eempel 9. För vil väre på e reell prmeter är mtrise A iverterr om i A ii A Lösig: i eta. Härv et A eller. Mtrise är iverterr om oh. ii et A 6 Alltså, et A 6. Mtrise är iverterr om. Eempel 9. Låt A vr e iverterr vrtis mtris. Vis tt eta et A. Tips: Avä egespe etaaaa etaa etbb Lösig: Vi väer egespe Si v

13 Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Eftersom A AI me hjälp v regel etaaaa etaa etbb får vi Determiter eta AetI eta eta eta et A VSB Eempel 9. Låt A oh B vr två similär mtriser. Vis tt ers etermiter är li. Lösig: Eligt efiitioe två mtriser är similär om oh est om et fis e iverterr mtris P så tt A PBP. Därför eta et PBP et PetB etp et PetB etb et P Alltså eta etb vilet sulle eviss Si v

Relevanta dokument

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser KVDRISK MRISER, DIGONLMRISER, MRISENS SPÅR, RINGULÄR MRISER, ENHESMRISER, INVERS MRISER KVDRISK MRISER Defiitio E mtris me rer oh oloer, lls vrtis typ Defiitio