SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH"

Transkript

1 SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr nu en Lplcetrnsform för h(t) enligt H(s) L[h(t)] h(t)e iωt. h(t)e st där s kn nt ll komplex värden. När s iω så ser vi tt Lplcetrnsformen smmnfller med Fouriertrnsformen. Lplcetrnsformen är lltså generellre än Fouriertrnsformen. För viss s kn det händ tt integrlen ovn inte konvergerr, så vi definierr konvergensområdet till en Lplcetrnsformerd funktion H(s) som de värden på s σ + iω där H(s) är ändlig, dvs för de s-värden där integrlen konvergerr. Exempel. Beräkn Lplcetrnsformen till Dircpulsen δ(t) och bestäm trnsformens konvergensområde. Lösning. δ(t). δ(t)e st δ(t) δ(t)e s Integrlen konvergerr för ll s, så konvergensområdet är hel plnet. Exempel 2. Beräkn Lplcetrnsformen till Hevisidefunktionen u(t) om t, om t < och bestäm trnsformens konvergensområde. Typeset by AMS-TEX

2 Lösning. u(t) [ e st s u(t)e st ] om Re s >, s odefiniert om Re s. e st Integrlen blir odefinierd eftersom uttrycket e st går mot då t går mot om Re s <. Om s så delr vi med noll, också otillåtet. Så konvergensområdet blir Re s >. Exempel 3. Beräkn Lplcetrnsformen till x(t) e t u(t) där är reelt och bestäm trnsformens konvergensområde. Lösning. Vi hr e t u(t) e t u(t)e st [ ] e (s+)t (s + ) om Re{s + } >, s + odefiniert om Re{s + }. e (s+)t Integrlen blir odefinierd eftersom uttrycket e (s+)t går mot då t går mot om Re{s + }. Så konvergensområdet blir Re{s} >. Exempel O.W. 9..e. Beräkn Lplcetrnsformen till x(t) e 5t och bestäm trnsformens konvergensområde. Lösning. e 5t e st + x(t) X(s) e 5t e st. e 5t e st Den först integrlen konvergerr om Re{s} < 5, den ndr om Re{s} > 5, till respektive s 5 och s+5. Konvergensområdet för summn s+5 + s 5 s 2 25 blir 5 < Re{s} < 5. O.W () Bestäm Lplcetrnsformen till x(t) e 5t u(t ). (b) Bestäm A och t så tt g(t) Ae 5t u( t t ) hr smm Lplcetrnsform som x(t). 2

3 Lösning. () x(t) e 5t u(t )e st e (s+5)t ] [ e (s+5)t (s + 5) om Re{s + 5} ; e (s+5) s + 5 om Re{s + 5} >. (b) g(t) A Ae 5t u( t t )e st t e (s+5)t ] t [ e (s+5)t A (s + 5) om Re{s + 5} ; A e(s+5)t s + 5 om Re{s + 5} <, dett ger tt A och t. Det finns lltså två funktioner med smm Lplcetrnsform, de skiljer sig åt på konvergensområdet. O.W Låt x(t) e 5t u(t)+e βt u(t), och låt X(s) vr Lplcetrnsformen till x(t). Om konvergensområdet till X(s) uppfyller Re{s} > 3, vd måste då gäll för β? Absolutintegrbl funtktioner. En funktion x(t) klls bsolutintegrbel om x(t) <. En bsolutintegrbel funktion hr Re{s} i sitt konvergensområde, ty H(iω) när s iω, dvs Re{s}. h(t)e iωt h(t) e iωt h(t) < Funktioner med ändligt definitionsområde. En funktion x(t) sägs h ändligt definitionsområde om x(t) för t utnför ett intervll [, b] fön någr, b. 3

4 En bsolutintegrbel funktion x(t) med ändligt definitionsområde hr hel plnet i sitt konvergensområde: x(t) X(s) dvs integrlen konvergerr lltid. x(t)e st x(t) e st mx{ e s, e sb } x(t)e st x(t) < Höger- och vänstersidig funktion. En funktion x(t) sägs vr högersidig om x(t) för t < T, och vänstersidig om x(t) för t > T, för någr T och T. En högersidig funktion med Re{s} σ i konvergensområdet hr Re{s} > σ i konvergensområdet. En vänstersidig funktion med Re{s} σ i konvergensområdet hr Re{s} < σ i konvergensområdet. Det vill säg, en högersidig funktion hr konvergensområde ett höger hlvpln, en vänstersidig ett vänster hlvpln. Vrje funktion x(t) kn skriv som en summ v en högersidig funktion x H (t) och en vänstersidig funktion x V (t); dett kn underlätt Lplcetrnsformering. Lplcetrnsformen v x(t) konvergerr där Lplcetrnsformen v både x H (t) och x V (t) konvergerr. En funktion med ändligt definitionsområde är både vänstersidig och högersidig. O.W Antg tt x(t) är bsolutintegrbel med en pol för Lplcetrnsformen vid s 2. () Kn x(t) h ändlig utsträckning? (b) Kn x(t) vr vänstersidig? (c) Kn x(t) vr högersidig? (d) Kn x(t) vr dubbelsidig? Lösning. () Vi vet tt X(s) hr en pol vid s, dvs X(2) x(t)e 2t. Men om x(t) då t ligger utnför [, b], så måste och x(t)e 2t x(t)e 2t < e 2b x(t) < e 2b x(t). Alltså måste x(t) och x(t), så då är inte x(t) bsolutintegrbel. Alltså kn inte x(t) h ändlig utsträckning. Svr: nej. är en sådn. (c) Nej, för x(t) är bsolutintegrbel, så då är imginärxeln med i konvergensområdet, och då skll llt höger om denn också vr i konvergensområdet: men då kn det inte finns en pol i s 2. (d) J, för en vänstersidig funktion kn ses som en dubbelsidig som råkr vr noll åt höger. (b) J, e 2t u( t) s 2 4

5 Poler och nollställen för rtionell funktioner. En funktion X(s) är rtionell om den kn skrivs som en kvot X(s) N(s) D(s) där N(s) och D(s) är polynom. Nollställen till N(s) klls nollställen till X(s), och nollställen till D(s) klls poler till X(s) (det är där X(s) går mot oändligheten). Om X(s) går mot noll då s går mot oändligheten, så sägs X(s) h ett nollställe vid oändligheten, om X(s) går mot oändligheten då s går mot oändligheten, så sägs X(s) h en pol vid oändligheten. En rtionell funktion hr ing poler i sitt konvergensområde. O.W Bestäm ntlet noller för ändlig s, och ntlet nollor vid oändligheten. () s+ + s+3 (b) s+ (c) s 2 s 3 s 2 +s+. Lösning. () s+ + s+3 2s+4 (s+)(s+3) som är noll då s 2, och går mot noll då s går mot oändligheten. (b) s+ s 2 s+ (s+)(s ) s som inte är noll för någr ändlig s, då s går mot oändligheten går uttrycket dock mot noll. (c) s 3 s 2 +s+ (s )(s2 +s+) s 2 +s+ s, noll vid s, ingen noll vid oändligheten. Lineritet. Om x (t) hr Lplcetrnsform X (s) med konvergensområde R och x 2 (t) hr Lplcetrnsform X 2 (s) med konvergensområde R 2, så är x (t) + bx 2 (t) X (s) + bx 2 (s) med ett konvergensområde som innehåller R R 2. Bevis. x (t) + bx 2 (t) (x (t) + bx 2 (t))e st x (t)e st + b x 2 (t)e st X (s) + bx 2 (s), där den först integrlen konvergerr i R och den ndr i R 2, så summn konvergerr åtminstone i R R 2. Tidsskift. Om x(t) hr Lplcetrnsform X(s) med konvergensområde R, så är x(t t ) e st X(s) med konvergensområde R. 5

6 Bevis. x(t t ) x(t t )e st e st x(t )e s(t +t ) e st X(s), x(t )e st där integrlen konvergerr för smm s som för X(s), dvs R. Tidssklning. Om x(t) hr Lplcetrnsform X(s) med konvergensområde R, så är x(t) X( s ) med konvergensområde R. Bevis. x(t) x(t)e st x(t)e s (t) X( s ), x(t )e s t med vribelbytet t t. Integrlen konvergerr för s så tt s R, dvs s R. Inverstrnsform. Antg tt x(t) hr Lplcetrnsform X(s) med k.o. R, och tt Res σ ligger i R. Vi hr tt X(σ + iω) x(t)e σ t e iωt F [ x(t)e σ t ] dvs x(t)e σt hr Fouriertrnsform X(σ + iω). Vi kn nu nvänd inversfouriertrnsformen till tt få x(t)e σ t F [X(σ + iω)] 2πi och multiplicerr vi på bägge sidor med e σ t så får vi dvs x(t) 2πi X(σ + iω)e σ t e iωt dω x(t) σ +i X(s)e st ds. 2πi sσ i X(σ + iω)e iωt dω Dett sist är således Inverstrnsformen till lplcetrnsformen. 6

7 Differentiering. Om x(t) hr lplcetrnsform X(s) med konvergensområde R, så är dx(t) sx(s) med ett konvergensområde som innehåller R. Bevis. Med hjälp v inverstrnsformen får vi tt dx(t) d 2πi 2πi 2πi 2πi σ +i sσ i σ +i sσ i σ +i sσ i σ +i sσ i X(s)e st ds X(s) d est ds X(s)se st ds (sx(s))e st ds och dett sist är inverstrnsformen v en funktion som hr sx(s) som lplcetrnsform, dvs dx(t) sx(s). Fltning. Om x (t) hr lplcetrnsform X (s) med konvergensområde R och x 2 (t) hr lplcetrnsform X 2 (s) med konvergensområde R 2, så är x (t) x 2 (t) x (τ)x 2 (t τ)dτ X (s) X 2 (s) med ett konvergensområde som innehåller R R 2. Integrtion. Om x(t) hr lplcetrnsform X(s) med konvergensområde R, så är t x(τ)dτ s X(s) med ett konvergensområde som innehåller R. Bevis. Dett följer v tt u(t) s x(t) X(s) t x(τ)dτ enligt fltningsregeln ovn. x(τ)u(t τ)dτ x(t) u(t) s X(s) 7

8 Ytterligre övningr. O.W O.W O.W Vi vet tt e t u(t) s + Re{s} > Re{ }. Bestäm inverstrnsformen till Lösning. Vi hr tt X(s) 2(s + 2) s 2 ; Re{s} > s + 2 2(s + 2) s 2 + 7s + 2 2(s + 2) (s + 3)(s + 4) A s B s + 3 där A(s + 4) + B(s + 3) 2s + 4 dvs A 2 och B 4. Så X(s) 2 s s + 4. Nu nänder vi lineritet och formeln ovn för tt ur få 2e 3t u(t) + 4e 4t u(t) e t u(t) ; Re{s} > Re{ } s + e 3t u(t) ; Re{s} > 3 s + 3 2e 3t u(t) 2 ; Re{s} > 3 s + 3 e 4t u(t) ; Re{s} > 4. s + 4 4e 4t u(t) 4 ; Re{s} > 4. s s ; Re{s} > 3 och Re{s} > 4 s + 4 så konvergensområdet blir Re{s} > 3 och ursprungsfunktionen blir 2e 3t u(t) + 4e 4t u(t). O.W Låt och g(t) x(t) + αx( t) x(t) βe t u(t) 8

9 och nt tt lplcetrnsformen v g(t) är Bestäm α och β. Lösning. dvs X(s) β s+ G(s) x(t) X(s) s s 2 ; < Re{s} <. β β s + x(t)e st βe t u(t)e st e (s+)t om Re{s + } > fö r Re{s} >. Ur tidssklning får vi tt x( t) x(( )t) X( s ) X( s) β s + β s, med konvergensområde ( ) (Re{s} >, dvs Re{s} <. Nu är g(t) x(t) + αx( t) så lplcetrnsformerr vi dett får vi G(s) L[x(t)] + αl[x( t)] X(s) + αx( s) β ( s + + α β ) s β(s ) αβ(s + ) (s )(s + ) med konvergensområde snittet v konvergensområden till summndern, dvs < Re{s} <. Dett är lik med G(s) om β(s ) αβ(s+) s så tt α och β 2. s s 2 s (s )(s+) O.W Betrkt de två kopplde högersidig signlern dx(t) 2y(t) + δ(t) dy(t) 2x(t). Bestäm X(s) och Y (s) smt konvergensområden. Lösning. Vi lplcetrnsformerr och nvänder deriveringsregeln till tt få [ ] dx(t) L L [ 2y(t)] + L [δ(t)] [ ] dy(t) L L [2x(t)]. 9

10 och sx(s) 2Y (s) + sy (s) 2X(s). Så X(s) s 2Y (s) och in i först ekvtionen ger och s 2 Y (s) 2Y (s) + 2 s Y (s) 2 Y (s) 2 s X(s) s 2 Y (s) s s Både X(s) och Y (s) hr poler vid s 2i, s 2i, så konvergensområdet blir Re{s} > då funktionern vr högersidig. O.W O.W O.W KTH, S- 44 STOCKHOLM, Sweden E-mil ddress: fredrik@mth.kth.se

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs

Läs mer

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur. Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Tentamen i EITF90 Ellära och elektronik, 28/8 2018

Tentamen i EITF90 Ellära och elektronik, 28/8 2018 Tentmen i EITF9 Ellär och elektronik, 8/8 8 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten

Läs mer

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba. Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017 KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Mat Grundkurs i matematik 1, del III Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Diskreta stokastiska variabler

Diskreta stokastiska variabler Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE. GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Sammanfattning, Dag 9

Sammanfattning, Dag 9 Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell

Läs mer

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i

Läs mer

Reliability analysis in engineering applications

Reliability analysis in engineering applications Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q

Läs mer

TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter

TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter Erik G. Larsson ISY/Kommunikationssystem december, 2008 P. Ett LTI system har impulssvaret och matas med insignalen ht) = e 2t ut) xt) = e 3t ut) + cosπt +

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Tentamen ETE115 Ellära och elektronik för F och N,

Tentamen ETE115 Ellära och elektronik för F och N, Tentmen ETE5 Ellär och elektronik för F och N, 009 087 Tillåtn hjälpmedel: formelsmling i kretsteori och elektronik. Oserver tt uppgiftern inte är ordnde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT. Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild

Läs mer

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär

Läs mer

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015 Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Ï x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

Ï x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1 Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell

Läs mer

Reglerteknik I: F2. Överföringsfunktionen, poler och stabilitet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

Reglerteknik I: F2. Överföringsfunktionen, poler och stabilitet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik Reglerteknik I: F2 Överföringsfunktionen, poler och stabilitet Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 16 Linjära systemmodeller Linjära tidsinvarianta modeller är användbara

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B. Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier

Läs mer

IE1204 Digital Design

IE1204 Digital Design IE1204 Digitl Design F1 F3 F2 F4 Ö1 Booles lgebr, Grindr MOS-teknologi, minimering F5 F6 Ö2 Aritmetik Ö3 KK1 LAB1 Kombintorisk kretsr F7 F8 Ö4 F9 Ö5 Multipleor KK2 LAB2 Låskretsr, vippor, FSM F10 F11 Ö6

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 3/6 2017

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 3/6 2017 Tentmen i ETE115 Ellär och elektronik, 3/6 17 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. 1 8 V

Läs mer

Tavelpresentation grupp 5E

Tavelpresentation grupp 5E Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri 2017 1 Multipelintegrler Frmställningen för definitionen

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1

Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1 Lektion 1 Kursinnehåll - kursprogram - schema Det praktiska - boken - idag sid 71-101 Mattebakgrund - Spannes Blixtkurs Laplacetransform AK 17 Koppling till tillståndsbeskrivning AK 18 Betoning av transienter

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl Tentmen i Mtemtik, HF9 tisdg 8 jnui, kl 8.. Hjälpmedel: ndst fomelbld miniäkne ä inte tillåten Fö godkänt kävs poäng v 4 möjlig poäng betgsskl ä,,c,d,,f,f. Den som uppnått 9 poäng få betget F och h ätt

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t.

= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t. Löningförlg till tentmenkrivning i SF16 Differentilekvtioner I Tidgen den 8 jnuri 1, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mthemtic Hndbook Redovi löningrn på ett ådnt ätt tt beräkningr och reonemng är lätt tt följ

Läs mer

Matris invers, invers linjär transformation.

Matris invers, invers linjär transformation. Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

13 Generaliserade dubbelintegraler

13 Generaliserade dubbelintegraler Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska

Läs mer

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1 Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger

Läs mer

R S T. k a fp n a f s a f a f LAPLACETRANSFORMEN. (Enkelsidig) laplacetransform, forts. z. Antag. xt dt. Följaktligen existerar.

R S T. k a fp n a f s a f a f LAPLACETRANSFORMEN. (Enkelsidig) laplacetransform, forts. z. Antag. xt dt. Följaktligen existerar. Atg Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 1 LAPLACETRANSFORMEN Låt ~x t xt e t, där R, såd tt z ~x t dt< ågot 0 > 0 R S T xt z < 0 0 xt dt Fölktlge exsterr F F l l ~ q xt q xt (el. grudde.) Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c) Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner

Läs mer

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

Föreläsning 1 Reglerteknik AK Föreläsning 1 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KTH 29 augusti, 2016 2 Introduktion Example (Temperaturreglering) Hur reglerar vi temperaturen i ett hus? u Modell: Betrakta en

Läs mer

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00 Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:

Läs mer

Reglerteknik, TSIU61. Föreläsning 2: Laplacetransformen

Reglerteknik, TSIU61. Föreläsning 2: Laplacetransformen Reglerteknik, TSIU61 Föreläsning 2: Laplacetransformen Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Innehåll 2(13) 1. Sammanfattning av föreläsning 1 2. Hur löser man differentialekvationer på ett arbetsbesparande

Läs mer

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång

Läs mer

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fnktioner =bildningr Beteckningr och grndbegrepp Definition En fnktion eller bildning från en mängd till en mängd B är en regel som

Läs mer

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 10/1 2015

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 10/1 2015 Tentmen i ETE Ellär och elektronik, 0/ 20 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Observer tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. g 2 v in

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på

Läs mer

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008 Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y (för Y och D) (TSRT) 008-06-0. (a) Vi har systemet G(s) (s3)(s) samt insignalen u(t) sin(t). Systemet är stabilt ty det har sina poler i s 3 samt s. Vi kan

Läs mer