Reliability analysis in engineering applications

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Reliability analysis in engineering applications"

Jan Nyberg
för 7 år sedan
Visningar:

1 Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1

2 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q 1 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Δ 1 Δ2 Δ3 Δ 4 Δ 5 Δ6 Time Referensperiod Structurl Engineering - Lund University 2

3 Etremvärdesfördelningr 1 F Q (), F q () q: klls ögonblicksfördelning, prent distribution. Q: är m fördelningen, beskriver hur de miml värden v q är fördelde under en given referensperiod. Structurl Engineering - Lund University 3

4 Etremvärdesfördelningr Referensperiod är den tid som lstens mvärde bestäms under, vnligen 1 år. Anledning till tt del in i referensperioder är: 1. Klimtrelterde lster såsom snö eller vind kn bäst beskrivs som en stokstisk process, tt del in lstern i referensperioder innebär tt de blir sttionär. 2. Lsten blir då den indels i referensperioder oberoende melln olik referensperioder, te. snö. 3. Längden på referensperioden är strkt koppld till lsters krkteristisk värden och säkerhetsinde. Structurl Engineering - Lund University 4

5 Etremvärdesfördelningr Eempel: Låt säg tt ögonblicksfördelningen för sjulig fordon är normlfördeld med medelvärde 40 ton och cov15%. Hur ser då fördelningsfunktionen ut för årsmimum v sjulig fordon under förutsättningen tt det kommer resp sjulig fordon under ett år? Structurl Engineering - Lund University 5

Etremväderfördelningr Ögonblicksfördelning M fördelning 20000

6 Etremväderfördelningr Ögonblicksfördelning M fördelning fordon/år M fördelning fordon/år Structurl Engineering - Lund University 6

7 Etremvärdesfördelningr Return period, Återkomstperiod Krkteristisk värden för vribl lster är definierde som 98% frktilen v årsmimumfördelningen Referens perioden är lltså 1 år. Det innebär tt snnolikheten tt överskrid det krkteristisk värdet är 2 % vrje år. Structurl Engineering - Lund University 7

8 Etremvärdesfördelningr Return period, Återkomstperiod Återkomstperioden, T är för den krkteristisk lsten 50 år. Dett skll tolks som tt lster större än det krkteristisk värdet uppkommer i medeltl en gång på 50 år. T 1 (1 F ( )) X Structurl Engineering - Lund University 8

9 Klssisk etremvärdes teori Den klssisk etremvärdes teorin härstmmr från en fördelning, M n enligt nedn: { X, X X n} M n m Där X 1, X 2,.X n är likfördelde och oberoende stokstisk vribler från en fördelning X. X klls prent distribution. Structurl Engineering - Lund University 9

10 Klssisk etremvärdes teori Antg tt X är stndrd normlfördeld N(0,1) och tt M n m(x n ). 1,6 1,4 n1000 n ,2 1 n100 fx() n 0,8 n10 0,6 0,4 N(0,1) 0, Structurl Engineering - Lund University 10

11 Klssisk etremvärdes teori 4 3 men vlue 2 1 st ndrd devit ion log( n) Då n ökr, ökr medelvärdet medn spridningen minskr. Structurl Engineering - Lund University 11

12 Klssisk etremvärdes teori Vd hr då M n för fördelningsfunktion? M [ F ( ] n F n ( ) ) X Där F X är fördelningsfunktionen för den ursprunglig stokstisk vribeln X. Det visr sig tt ekvtionen ovn konvergerr mot en symptotisk fördelning då n går mot oändligheten. Structurl Engineering - Lund University 12

13 Structurl Engineering - Lund University 13 Klssisk etremvärdes teori Det finns tre sådn symptotisk mfördelningr: ( ) b G ep ep ( ) ( ) b b G b G > α ep 0 ( ) ( ) b G b b G > 1 ep α Typ 1, Gumbel Typ 2, Fréchet Typ 3, Weibull, b och k är skl-, läges- respektive formprmeter

14 Den generell etremvärdes fördelningen, GEV De tre mfördelningrn kn slås smmn till en fördelning klld den generell etremvärdesfördelningen med fördelningsfunktion enligt nedn. F X (, k,, b) 1/ k ep( (1 k( b) / ) ) ep( ep( ( b) / )) if if k k 0 0 k ( b) < > 0, b och k är fördelningens prmetrr. Structurl Engineering - Lund University 14

15 Den generell etremvärdesfördelningen, GEV Prmetern k klls etremvärde inde 0,25 0,2 k0,5 Om k0, Gumbel fx() 0,15 0,1 k-0,5 Om k>0, Weibull, m b+(/k) k0 0, Om k<0, Fréchet Structurl Engineering - Lund University 15

16 Den generell etremvärdesfördelningen, GEV Mimum v GEV fördelde vribler är stbil under mimum formtion. Om X 1, X 2,.X n är likfördelde och oberoende GEV fördelde vribler och M n m{x 1, X 2,.X n }. Så är M n också GEV fördeld med prmetrr enligt nedn. k 0 k0 b n k n k k n n b + (1 n k k ) b n n b + ln(n) Structurl Engineering - Lund University 16

17 Den generell etremvärdesfördelningen, GEV Krkteristisk värden k b + (1 ( ln( FX ( ))) k b ln( ln( FX ( ))) k ) för k för k 0 0 Structurl Engineering - Lund University 17

18 Structurl Engineering - Lund University 18 Etremvärdesfördelningr Två specilfll: Mimum v n likfördelde norml- eller eponentilfördelde vribler kommer båd bli Gumbel fördelde med fördelningsfunktionen: b e X e F ) ( Eponentilfördeld och b är Gumbel fördelningens prmetrr Normlfördeld m X e F 1 ) ( ln(n) m b m ( )n b f n F b X X F X och f X är normlfördelningens fördelningsfunktion respektive täthetsfunktion

19 Peks Over Thresholds, (POT) En metod tt uppsktt kvntiler utnför uppmätt dt. Fältmoment generert v fordon i en fritt upplgd blk med spännvidden 30 m Moment [knm] Number of les Structurl Engineering - Lund University 19

20 Peks Over Thresholds, (POT) FX Empirisk fördelningsfunktion för momentet 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Moment [knm] Structurl Engineering - Lund University 20

21 Peks Over Thresholds, (POT) Moment större än tröskelvärdet, u Anpssning v (moment-u) till eponentilfördelning Moment [knm] FX 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Events Fitted dist Number of les Moment-u [knm] Structurl Engineering - Lund University 21

22 Peks Over Thresholds, (POT) Om ntlet händelser som överskrider en viss nivå under referensperioden är Poisson fördelt och differensen melln händelsern som överskrider nivån och nivån är eponentilfördeld går det tt vis tt de överskridnde händelsern är Gumbel fördelde med prmetrrn och b enligt nedn. b m u + m ln( λ u ) m: prmetern i den npssde eponentilfördelningen. u: tröskelvärdet λ u : intensiteten v händelser som överskrider den vld nivån, tröskeln. Structurl Engineering - Lund University 22

23 Peks Over Thresholds, (POT) Den Generell Preto fördelningen F X (, k, ) GPD GPD 1 1 k GPD GPD 1 k GPD k b GEV GEV GEV k λ GPD u GPD k GPD GEV k GPD GPD u och λ är tröskelvärdet respektive det förväntde ntlet händelser som överskrider tröskelvärdet. Structurl Engineering - Lund University 23

24 Etremvärde Etremvärdesfördelningr kn också bestämms genom etrpoltion och simulering. Structurl Engineering - Lund University 24

Relevanta dokument

Diskreta stokastiska variabler

Diskreta stokastiska variabler Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt