100318/Thomas Munther IDE-sektionen/Högskolan i Halmstad. Formelsamling Reglerteknik

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "100318/Thomas Munther IDE-sektionen/Högskolan i Halmstad. Formelsamling Reglerteknik"

Pernilla Jakobsson
för 8 år sedan
Visningar:

1 38/Thoms Munther IDE-sektionen/Högskoln i Hlmstd Formelsmling Reglerteknik

2 Smbnd melln stegsvr och överföringsfunktion ( insignlen u är nedn ett steg med mplitud = som pplicers vid t=, där är llmänt y/ u) Process med P-verkn: Process med en tidskonstnt: G(s) = T Process med två tidskonstnter: G(s) = + Ts T + T G(s) = + T s)(+ T ) ( s

.8.6.4. 3 4 5 6 7 8 9 Process med en tidskonstnt: G(s) =.5.63.

3 Process med en integrtion: Process med en integrtion + en tidskonstnt: G(s) = s T T+ Process v ndr ordningen (underdämpt system): G(s) = s( + Ts) Process med en tidskonstnt + dödtid: ω G(s) = s + ςω s+ ω L L+T G(s) = e sl + Ts 3

(underdämpt system): G(s) = s( + Ts).6.4.

4 Process med en integrtion + dödtid: G(s) = Process v först ordningen med dominnt nollställe N>T e s sl N/T G(s)= + Ns + Ts Process med två tidskonstnter och dominnt nollställe N >mx{t, T } Process med två tidskonstnter och nollställe HHP G(s)= + Ns ( + T s)( + T s ) G(s)= Ns ( + T s)( + T s ) 4

5 Tumregelmetoder för PID-regultorer Prmeterinställning v PID-regultor enligt Ziegler-Nichols självsvängningsmetod. Regultor\prmeter Ti Td P-reg.5o - - PI_reg.45o To/. - PID-reg.6o To/ To/8 To är periodtiden för självsvängning, o förstärkningen vid denn. Prmeterinställning v PID-regultor enligt Ziegler-Nichols stegsvrsmetod. Regultor\prmeter Ti Td P-reg T/( p L) - - PI_reg.9T/( p L) 3L - PID-reg. T/( p L) L L/ p förstärkning hos process smt T och L prmetrr i stegsvret. Prmeterinställning v PID-regultor enligt Chien, Hrones & Reswicks stegsvrsmetod. Regultor\prmeter Ti Td P-reg.3/ - - PI_reg.35/.T - PID-reg.6/ T L/ Prmeter vläses i stegsvret enligt nedn. T och L är vnlig prmetrr i stegsvret L L+T Stegsvr som nvänds för tt vläs enligt Chien, Hrones & Reswicks stegsvrsmetod. Noter tt vläses m h en tngent i en punkt där derivtn är mximl. pe Lmbdmetoden bsers också på ett stegsvr och en process: G(s) = + Ts. λ= p*m, där < p < 3 och M= mx(l,t). Noter tt p är processförstärkningen. Regultor Ti PI-reg T/( p (λ+l)) T sl 5

$Regultor\prmeter Ti Td P-reg.3/ - - PI_reg.35/.T - PID-reg.6/ T L/ Prmeter vläses i stegsvret enligt nedn. T och L är vnlig prmetrr i stegsvret..5.5 -.$

6 Sttisk (kvrstående) fel, e ss i återkopplde reglersystem. Noter följnde: m är typtlet i reglersystemet. onstntern, och är LFförstärkningen hos kretsöverföringen. m= m= m= Steg /(+o) Rmp / Prbel / Slutvärdestsen: lim f(t) = lim s F(s) t -> s-> Process v ndr ordningen (underdämpt system): G(s) = s + ςω s+ ω Stigtid: t r =.6ς+.6 ω, där.3 < <.6 Insvängningstid (5%): t s ln( ) = ςω ς Insvängningstid (%): t s = ςω π Pektiden: t p = ω ς 4 ω Mximl översväng (y mx - y ss)/ y ss : M= e ςπ ς Dämpd egensvängning: ω d = ω ς Resonnsfrekvens: ω = ω p ς Resonnstopp: M p = ς ς, < ζ < M p =, ζ > 6

m= m= m= Steg /(+o) Rmp / Prbel / Slutvärdestsen: lim f(t) = lim s F(s) t -> s-> Process v ndr ordningen (underdämpt system): G(s) = s + ςω s+ ω

7 Process med två tidskonstnter: G(s) = ( + Ts)( + Ts) t / 3 T = P(+ ), noter tt prmetrr P och vläses ur digrm och digrm. t / 3 Q= t / 3, noter tt t /3 och t /3 är tider som vläses ur stegsvret. Process med tre tidskonstnter: G(s) = (+ Ts)(+ Ts)(+ Ts) t / 3 t / 3 T = P(+ + ) Q= t / 3.9 n=3 n= Digrm Q Digrm.4 n=3 n= P Q 7

t / 3 Q= t / 3, noter tt t /3 och t /3 är tider som vläses ur stegsvret.

8 Meknisk system: d x( Newtons II: lg F = M Fjäder: F =k x, x- förskjutningen från jämviktsläge [m]. k- fjäderkonstnt [N/m] F = b dx dt Dämpre: b- dämpkonstnt [Ns/m] dx dt - hstighetsförändring från sitt jämviktsläge [m/s] dt t) Bodedigrm med grundfktorer Decibel (db) = log G ( jω) Oktv = frekvenskvot : eller : Dekd = frekvenskvot : eller : Lutning= + m*db/dekd, där m är ett heltl. Frekvensfunktionen: G( jω) = G ( jω) G ( jω) Fsfunktionen: rg {G(jω) } = rg {G (jω) } + rg {G (jω) } Amplitudfunktionen: G jω) = G ( jω) G ( j ) eller ( ω log G ( jω) = log G ( jω) + log G ( j ω) Följnde grundfktorer förekommer hos en linjär överföringsfunktion: s /s ( + Ts) e -Ls /(+Ts) eller /( + ζst + s T ) Nedn kommer viss respektive Bodedigrm. Integrtion: G(s) = /s Amplitudfunktion: G ( ω ) = / ω Fsfunktion: rg{g(ω)}= -9 8

frekvenskvot : eller : Dekd = frekvenskvot : eller : Lutning= + m*db/dekd, där m är ett heltl.

9 Bode Digrm 5 Mgnitude (db) Phse (deg) Frequency (rd/sec) Derivering: G(s)=s Amplitudfunktion: G ( ω ) = ω Fsfunktion: rg{g(ω)}=9 Bode Digrm Mgnitude (db) Phse (deg) Frequency (rd/sec) Dödtidsfktor: G(s)=e -sl Amplitudfunktion: G ( ω) = Fsfunktion: rg{g(ω)}= - ωl 8 /π onstnt förstärkningsfktor: G(s)= Amplitudfunktion: G (ω ) = Fsfunktion: rg{g(ω)}= 9

Bode Digrm Mgnitude (db) - - 9 Phse (deg) 9.5 9 89.

10 Förstgrdsfktor i nämnren: G(s) = /(+Ts) Amplitudfunktion: G( ω) = + ( Tω) Fsfunktion: rg{g(ω)}= -rctn(tω) Mgnitude (db) db -3dB Bode Digrm -db/dekd -4 Phse (deg) /T Frequency (rd/sec) Förstgrdsfktor i täljren: G(s) = +Ts Amplitudfunktion: G ( ω) + ω = ( T ) Fsfunktion: rg{g(ω)}= rctn(tω) 4 Bode Digrm Mgnitude (db) db/dekd 5 3dB db 9 9 /T Phse (deg) /T Frequency (rd/sec)

(rd/sec) Förstgrdsfktor i täljren: G(s) = +Ts Amplitudfunktion: G ( ω) + ω = ( T ) Fsfunktion:

11 Andrgrdsfktor i täljren: G(s)= + ς Ts+T s G( ω) Amplitudfunktion: ω ς ω = ( T ) + ( T ) Fsfunktion: rg{g(ω)}= -rctn ςtω ( ), för ω< /T T ω rg{g(ω)}= -rctn ςtω ( ) -8, för ω>/t T ω Bode Digrm Mgnitude (db) db dB /dekd -8 Phse (deg) Frequency (rd/sec) urvorn ovn är ritde för ζ=.,.5 och Routh-Hurwitz stbilitetskriterium: utgår från krkteristisk ekvtionen i form v ett polynom. s n + s n- + s n- + 3 s n s n = oefficientern förs in i en tbell enligt nedn: Först kolumnen utvärders för tt bestämm stbiliteten s n 4 6 s n s n- c c c c 3 s n-3 d d d d 3... s c = c 3 d = c c 4 5, c = c5 c c, d = 6 7, c =,, o s v smm procedur tills vi hr nått sist rden.

5 och Routh-Hurwitz stbilitetskriterium: utgår från krkteristisk ekvtionen i form v ett polynom. s n + s n- + s n- + 3 s n-3 + 4 s n-4 +.

12 Anlog PID-regultor: Regultor Funktion Överföringsfunktion G(s) Idel PIDregultor u(t) = ( e( t) + e( τ ) dτ + T t d dt t de( ) ) G(s) = ( + T s ) T I s + d

13 POLPLACERINGSREGULATOR och POLPLACERINGSMETODEN Vl v ordningstl hos krkteristiskt polynom: grd(p) = grd(a) + grd(b) - ( icke-integrernde regultor ) grd(p) = grd(a) + grd(b) ( integrernde regultor ) Vl v ordningstl hos regultorpolynom: grd(c) = grd(b) - grd(d) = grd(a) - Vl v ordningstl hos regultorpolynom: grd(c) = grd(b) grd(d) = grd(a) ( icke-integrernde regultor) ( integrernde regultor) rkteristisk ekvtion: P(z) = A(z)C(z) + B(z)D(z) där P(z)=(-q z - ) (-q z - ) (-q 3 z - ).. q, q, q 3 är vår polplceringr Polplceringsregultor: polynomen C(z) = + c z - + c z - + c 3 z -3 + D(z) = d + d z - + d z - + d 3 z -3 + C(z) = (- z - ) ( + c z - + c z - + c 3 z -3 + ) - vid integrernde regultor Börvärdesfktor, som ger korrekt sttisk förstärkning C() P() r = H() + D ( ) = B( ) 3

integrernde regultor) rkteristisk ekvtion: P(z) = A(z)C(z) + B(z)D(z) där P(z)=(-q z - ) (-q z - ) (-q 3 z - ).

14 Tbell för diskretisering v kontinuerlig processer Förutsättning är tt insignlen till vår process är styckvis konstnt med ett smplingsintervll h. ontinuerlig process G(s) s Ls e + Ts, L är dödtiden Diskretiserd process H(z) h = hz z z n z ( e z e, där n= L/h h / T) h / T = ( e e h / T h / T h/ T h/ T ( e + h/ T) z + ( e (+ h/ T)) z s ( + Ts ) T h/ T h / T ( + e ) z + e z z ) z Tidsdiskret PID-regultor: Funktion Regultor Idel PIDregultor u[k]= ( h e[ k ] e[ k ] e[ k] T e[ i] + T i d h ) h = smplingsintervllet = förstärkningen T i = integrtionstid T d = deriveringstid k + i= 4

T h/ T h/ T ( e + h/ T) z + ( e (+ h/ T)) z s ( + Ts ) T h/ T h / T ( + e ) z + e z z ) z Tidsdiskret PID-regultor: Funktion Regultor Idel

15 Någr viktig Lplcetrnsformer Lplcetrnsform - F(s) Tidsfunktion f(t) för t > Impulsfunktion δ(t) /s Stegfunktion θ(t) /s Rmpfunktion t /s 3 Prbel t / /(s+) e -t /(s(s+)) - e -t /(s(s+)(sb+)) - e -t/ /(-b) - be -t/b /(b-) e -Ls /s Fördröjd stegfunktion- θ(t-l) sf(s)- f() f (t) förstderivtn v en funktion s F(s) sf() - f () f (t) ndrderivtn v en funktion s 3 F(s) s f() - sf () - f () Aω/(s + ω ) As/(s + ω ) F (s) + bf (s) F(s)/s f (3) (t) tredjederivtn ---II--- Asin(ωt) Acos(ωt) f (t) + bf (t) - superposition t f ( t) dt Någr viktig Z-trnsformer Slutvärdesstsen: f( )=lim f(k) = lim (z-)f(z) k-> z-> Begynnelsevärdesstsen: f()=lim f(k) = lim F(z) k-> z-> Givetvis kn ingen v dess stser nvänds villkorslöst utn det finns viss förbehåll. Tidsdiskret funktion - f(k) z-trnsform F(z) enhetspuls enhetssteg - u[k] /(-z - ) enhetsrmp k z - /(-z - ) k /(-z - ) fördröjd enhetspuls (L smpel) z -L fördröjt enhetssteg (L smpel ) - u[k-l] z -L /(-z - ) sin(ωk) z - sinω / (- (cosω) z - + z - ) cos(ωk) z - (- z - cosω) / (- (cosω) z - + z - ) 5

As/(s + ω ) F (s) + bf (s) F(s)/s f (3) (t) tredjederivtn ---II--- Asin(ωt) Acos(ωt) f (t) + bf (t) - superposition t f ( t) dt Någr viktig Z-trnsformer Slutvärdesstsen: f( )=lim f(k) = lim (z-)f(z)

Relevanta dokument

Reglerteknik M3, 5p. Tentamen 2008-08-27

Reglerteknik M3, 5p. Tentamen 2008-08-27 Reglerteknik M3, 5p Tentamen 2008-08-27 Tid: 08:30 12:30 Lokal: M-huset Kurskod: ERE031/ERE032/ERE033 Lärare: Knut Åkesson, tel 0701-749525 Läraren besöker tentamenssalen vid två tillfällen för att svara