1 Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på nodparet a-b i nedanstående krets.

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "1 Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på nodparet a-b i nedanstående krets."

Viktor Berglund
för 7 år sedan
Visningar:

1 (9) 2 oktoer 2008 Institutionen för elektro- och informtionsteknik Dniel Sjöerg ETE5 Ellär och elektronik, tentmen oktoer 2008 Tillåtn hjälpmedel: formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Théveninekvivlenten med vseende på nodpret - i nednstående krets. i v 0 αi 2 För tt minsk det elektrisk fältet kring innerledren i en koxilkel, kn mn omge den med ett dielektriskt skikt. Låt innerledren h rdie och ytterledren h rdie c. Området melln ledrn hr reltiv permittivitet ε r för < r c < och ε r2 för < r c < c. Tvärsnittsgeometrin är lltså som nedn. c ε r ε r2 ) Om lddningen per längdenhet på innerledren är, hur stort är då det elektrisk fältet lldeles intill innerledren? ) Beräkn kpcitns per längdenhet för koxilkeln. Postdress Box 8, LUND Besöksdress Ole ömers väg 3, Lund Levernsdress Ole ömers väg 3, LUND Internpost Hämtställe 7 Telefon växel Fx E-post Internet

2 2(9) 3 Strömrytren i figuren nedn hr vrit öppen en lång tid, och kpcitnsen är upplddd till lddningen q. Vid tiden t = 0 stängs strömrytren. v C q C t = 0 i L L ) Vd är v C och i L då t = 0 (dvs strx innn t = 0) respektive då t? ) Formuler en differentilekvtion där v C är den end oeknt vrieln (du ehöver inte lös den). c) Lösningen till differentilekvtionen kn skrivs på formen v C (t) = A e s t B e s 2t. Vd är s och s 2 uttryckt i kretsprmetrrn i figuren? d) Hur mycket energi utveckls i resistnsen för t > 0? 4 65 Bode digrm Mgnitude (db) Phse (degrees) Frequency (Hz) Ovnstående Bode-digrm vspeglr impednsen för ett nätverk estående v en resistns, en kpcitns C och en induktns L. Amplitudskln är definierd genom Z db = 20 log 0 ( Z / Ω), dvs om vi vläser värdet 60 på Mgnitude etyder det tt Z = Ω 0 60/20 = 0 3 Ω. ) it ett kretsschem som visr hur kretselementen är kopplde smt melln vilk nslutningspunkter som impednsen kn mäts. Beräkn impednsen och pek på hur ditt uttryck stämmer med Bode-digrmmet. ) Bestäm och produkten LC sert på informtion från digrmmet.

3 3(9) 5 En signlgenertor kn ilnd ge ifrån sig hrmonier, dvs om genertorn är inställd på tt ge en tidshrmonisk signl med frekvens ω 0, så ger den också ifrån sig frekvensern 2ω 0, 3ω 0 osv. För tt undertryck åtminstone någr v dess, kn mn nvänd sig v ett filter som kn relisers med hjälp v en trnsmissionsledning. Z Z V in Z in (l) V ut V in V ut Z 0 z = 0 z = l Spänningskälln V in och impednsen Z är en modell v genertorn, medn Z in (l) är den impedns som syns vid en änden v en förlustfri trnsmissionsledning med krkteristisk impedns Z 0 och längd l, då den är kortsluten i den ndr änden. Vågtlet för ledningen kn skrivs β = 2π/λ = ω/c, där c är ljusfrten i vkuum. ) Bestäm Z in (l) för godtyckligt l. ) Välj en längd l så tt utsignlen är lik med insignlen på frekvensen ω 0, dvs V ut (ω 0 ) = V in (ω 0 ), medn på först hrmonin 2ω 0 gäller V ut (2ω 0 ) = 0. Längden sk uttrycks i ω 0.

4 4(9) 6 En diod koppls in i en krets enligt nedn. V styr C C 2 v in (t) L v ut (t) ) it småsignlschem, där kpcitnsern kn nts vr kortslutningr för småsignlen. Beräkn v ut. ) Antg nu tt dioden är en tunneldiod med följnde krkteristik. i [ma] 20 i v v [V] Antg tt du kn välj retspunkt fritt i dett digrm, och tt och L kn nts vr oändlig i jämförelse med småsignlresistnsen för dioden. Hur sk retspunkten för dioden (V Q,I Q ) och resistnsen väljs för tt utsignlen v ut sk h större mplitud än insignlen, dvs så tt vi kn nvänd kretsen som en förstärkre? Ange ungefärlig siffervärden sert på digrmmet.

5 5(9) Lösningsförslg Théveninekvivlenten estäms v tomgångsspänning respektive kortslutningsström. Tomgångsspänningen v t estäms genom nodnlys, i v v 0 αi v t där vi infört en referenspotentil och en nodpotentil v. Kirchhoffs strömlg i noden med potentil v är 0 = v v 0 v 0 αi = v v 0 v αv v 0 v = α 2 α v 0 Dett är också tomgångsspänningen v t = v eftersom det inte går någon ström genom den sist resistnsen. Kortslutningsströmmen i 0 fås från följnde digrm i v v 0 αi i 0 Strömlgen ger här 0 = v v 0 v 0 αiv 0 = v v 0 2 v αv v 0 Kortslutningsströmmen är v = α 3 α v 0 i 0 = v = α v 0 3 α t = v t = 3 α i 0 2 α och vi hr Théveninekvivlenten

6 6(9) t v t med v t = α 2α v 0 och t = 3α 2α. 2 Tvärsnittsgeometri och fältild i tvärsnittet är enligt nedn. c ε r ε r2 Den elektrisk flödestätheten pekr i cylinderrdiens riktning och kn r ero på cylinderrdien r c = x 2 y 2. Mtemtiskt skriver vi dett D(r) = D(r c )e rc Vi omsluter innerledren med ett cirkulärcylindriskt skl med rdie r c = r och längd l, där < r < c. Guss sts ger tt om vi integrerr flödet över denn yt får vi den inneslutn lddningen, dvs q innesluten = l = D e n ds = D(r c )e rc e rc ds Eftersom r är godtyckligt, får vi nu S mntelytn D(r c ) = 2πr c = D(r) ) Storleken på det elektrisk fältet intill innerledren är E(r c = ) = D() ε r ε 0 = 2πε r ε 0 r c=r 0<z<l ds = D(r)2πrl

7 7(9) och vi ser tt storleken på E-fältet kn kontrollers med hjälp v ε r. ) Kpcitnsen per längdenhet estäms v kvoten melln lddning per längdenhet och spänning. Spänningen ges v en linjeintegrl v det elektrisk fältet, v v c = c r c= E(r) dr = = 2πε r ε 0 [ln r c ] Kpcitnsen per längdenhet är då 3 C/l = 2πr c ε r ε 0 dr c c 2πε r2 ε 0 [ln r c ] c = 2πε 0 v v c = 2πε 0 ε r ln ε r2 ln c dr c 2πr c ε r2 ε 0 ( ln ε r ln c ε r2 ) Både v C och i L är kontinuerlig funktioner v tiden t, så det spelr ingen roll på vilken sid v t = 0 vi eräknr egynnelsevärden. Vi får v C (0) = q/c v C ( ) = 0 i L (0) = 0 i L ( ) = 0 vilket inses från tt kpcitnsen är lddd vid t = 0 och strömmen genom induktnsen är noll för negtiv tider, smt tt för stor tider hr ll energi omvndlts genom resistnsen, så åde spänning och ström måste vr noll. ) Kirchhoffs strömlg i den övre noden ger C dv C dt v C i L = 0 Om vi deriverr denn ekvtion, nvänder v L = L di L / dt och dividerr med C erhålls d 2 v C dv C dt 2 C dt v C LC = 0 vilket är den sökt differentilekvtionen. c) En nsts v C = V 0 e st omvndlr differentilekvtionen till en ndrgrdsekvtion för frekvensen s, s 2 s C LC = 0 med lösningr ( s,2 = ) 2 2C ± 2C LC d) Den energi som utveckls i resistnsen måste svr mot den energi som fnns upplgrd i systemet vid t = 0, dvs w = 2 Cv C(0) 2 = q 2 2 C )

8 8(9) 4 ) Impednsen hr tydligen stor mplitud för åde låg och hög frekvenser. En krets som uppfyller dess krv är en seriekoppling v elementen, C L med impednsen Z = jωc jωl Dett stämmer även med fsen, som lir 90 för låg frekvenser (då kpcitnsen dominerr) och 90 för hög frekvenser (då induktnsen dominerr). ) Impednsen lir reell, dvs hr fs 0, då jω 0 C jω 0L = 0 ω 0 = LC Denn punkt svrr mot frekvensen f 0 = 0 3 Hz, vilket ger LC = ω 2 0 = (2π 0 3 ) 2[s2 ] = 06 4π 2 [s2 ] [s 2 ] Vid denn frekvens är Z =, och vi läser v Z db = 40 db, vilket ger 5 = Ω 0 40/20 = 00 Ω ) En trnsmissionsledning vslutd med en kortslutning kn ersätts med en impedns enligt nedn, Z 0 Z in (l) z = 0 z = l Formelsmlingen ger tt impednsen är (en kortslutning svrr mot Z L = 0) där β = 2π/λ = ω/c. Z in (l) = Z 0 Z L cos(βl) jz 0 sin(βl) Z 0 cos(βl) jz L sin(βl) = jz 0 tn(βl) ) Utsignlen eräkns genom spänningsdelning V ut = Z in(l) Z in (l) Z V in

9 9(9) Utsignlen är lik med insignlen om Z in (l) = ±j, vilket inträffr då βl = π/2 nπ. Om vi väljer n = 0 får vi l = π 2β = πc 2ω 0 Återstår tt kontroller vd som händer på dul frekvensen. Då hr vi β 2ω0 l = 2ω 0 c l = π, vilket ger Z in(l) = 0 på denn frekvens, precis som sig ör. 6 ) Småsignlschemt är (ersätt kopplingskpcitnser med kortslutningr och likspänningsmtning med jord) v in (t) r d v ut (t) L Utspänningen ges v spänningsdelning v ut = / /r d / L / /r d / L v in = / /r d / L v in ) Om och L kn nts vr oändlig i förhållnde till r d får vi v ut = /r d v in Utsignlens mplitud lir större än insignlens om nämnrens solutelopp är mindre än, dvs /r d <, vilket också kn skrivs 2 < r d < 0 Vi sk välj retspunkt så tt dett kn uppfylls, vilket kräver en negtiv småsignlresistns r d. Vi väljer en spänning över dioden som ligger ungefär mitt i dett område, V Q 0.3 V. Strömmen är då I Q 0 ma, och kurvns lutning är c (utgående från punktern (v,i) (0.2 V, 9 ma) och (v,i) (0.4 V, 6 ma)) r d v i = kω = kω 5 Ω För tt uppfyll krvet på krävs tt < 2 r d = 2 5 Ω = 30 Ω. Svr: Aretspunkt (V Q,I Q ) (0.3 V, 0 ma), resistns < 2 r d 30 Ω.

Relevanta dokument

1 Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på nodparet a-b i nedanstående krets.

1 Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på nodparet a-b i nedanstående krets. (7) 9 jnuri 009 Institutionen för elektro och informtionsteknik Dniel Sjöerg ETE5 Ellär och elektronik, tentmen jnuri 009 Tillåtn hjälpmedel: formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde