Reglerteknik 7. Kapitel 11. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist

Transkript

1 Reglerteknik 7 Kapitel Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln

2 Föreläsning 7 kap Dimensionering av analoga reglersystem. Tumregelmetoder Bodediagram (Kompenseringsfilter) Simulering MATLAB-programmet Simulink

3

4 Ziegler-Nichols svängningsmetod R + G R G P Y K T I T D G R är en PID-regulator. Börja med bara K dvs. T I och T D 0. Öka K stegvis till det värde K 0 då Y börjar svänga. Mät periodtiden T 0. T 0

5 Ziegler-Nichols svängningsmetod R + G R G P Y K T I T D Ställ in regulatorn med dessa tumregelvärden: T 0 P : PI : PID : K 0,5 K 0,6 K 0 0,45 K 0 0 T I 0,85 T 0,5 T 0 0 T D 0,25 T 0

6 Ziegler-Nichols svängningsmetod R + G R K T I T D G P Y Tidkonstant+dödtid Ke Ls + Ts Z-N-metoden är tänkt för en process av typen tidkonstant+dödtid, men den fungerar många gånger även för andra överföringsfunktioner eftersom dödtiden i modellen gör att den kan anpassas till processens fasvridning oavsett dennas orsak. Metoden ger åtminstone startvärden inför den vidare intrimningsprocessen. Ziegler-Nichols metoden är från 940, ett senare framtaget parameterval är 0,35 K 0 0,77 T 0 0,9 T 0. Många andra varianter förekommer också.

7 Ziegler-Nichols med börvärdessteg G P ( s) Ls Ke + Ts Stegsvaret vid börvärdesändring får som syns en ganska kraftig översväng med Z-N-inställningen. ( Här har vi antagit att processen är av precis den typ som metoden förutsätter. )

8 Tumregelmetoderna är för att man ska ha några parametrar att börja med annars har man ingen aning om vad man ska använda för värden!

9 Chrien-Hrones-Reswick stegsvarsmetod Vad ska man göra om man inte vågar försätta processen i självsvängning? Eller om processen inte kan bli instabil? G P Y Då mäter man upp processens stegsvar i stället.

10 Chrien-Hrones-Reswick stegsvarsmetod Två tidkonstanter K ( + T s)( + T2 Tidkonstant+dödtid s Ke Ls + Ts ) En modell med två tidkonstanter liknar en modell med en dödtid L och en tidkonstant. Med dödtiden kan man i viss mån anpassa modellen till den verkliga processens fasvridning.

11 Chrien-Hrones-Reswick stegsvarsmetod P : K 0,3/ a T I T D PI : 0,35/ a,2 T PID : 0,6 / a T 0,5 L Frekvensmetoderna är oftast bättre än stegsvarsmetoderna.

12

13 .4 a ex. PID-Stegsvarsmetod

14 .4 a lösn. PID-Stegsvarsmetod a 2,5 P : PI : PID : K 0,3/ a 0,35/ a 0,6 / a T I,2 T T T D 0,5 L L 3,3 T 4 K T D 0,6 2,5 0,24 T 0,5 3,3,65 I 4

15 λ-metoden Stegsvarsmetod PI 00% 63% Y K S U L T λ p M M max{ L, T} < p < 3 ( speed p stability) Y S T S S K I steg K T S T (λ + L) Not rocket science

16

17 Dimensionering med Bodediagram s T s T K G PID s T K G PI K G P D I R I R R : : : Open loop

18 PI-regulatorns Bodediagram ω b T I G R K + TI s ω C Lämpligt att placera PIkurvan över processens ω c här måttlig försämring av fasmarginalen.

19 PI-regulatorns Bodediagram G R K + TI s K + TI s TI s ) Rita Bodediagram för processen G P. 2) Välj K som ger processen önskad fasmarginal +. 3) Bestäm processens ω c. 4) Lämplig PI-brytfrekvens är ω b 0,2ω c T I 0,2ω Regulatorn fasvrider med - så nu blir fasmarginalen den önskade. c

20

21 Ex. PI-regulator G R( PI ) K + T s I G P 2,5 ( + 2s)( + 0,5s) Önskad fasmarginal 45. Dimensionera med fasmarginal eftersom PI-regulatorn fasvrider. Φ 56 m

22 Processens Bode-diagram Ex. PI-regulator, process 2,5 G P ( + 2s)( + 0,5s)

23 Ex. PI-regulator, process K Bestäm ω c ur fasmarginalen. Bestäm K. K 2 5 K 2,5 K 2 ω c 2,2 Φ 56 m

24 Ex. PI-regulatorn, ω b G R ( ) PI K + ωb 0,2 ωc 0,2 2,2 TI s 0,44 K 2 ω b 0,44 ω c 2,2 Bestäm ω b ur ω c.

25 Ex. PI-regulatorn, faskurvan K 2 ω b 0,44 ω c 2,2 0, 44 R ( ) 2 + s G PI T I ω b ϕ( ω c ) 0,44 2,27

26 K 2 5 Ex. PI-Totalkurva bode(g) ω b 0,44 ω c 2, ,44 2,5 s ( + 2s)( + 0,5s) Φ 45 m 35 80

27 Återkopplat PI-Totalkurva bode(feedback(r*p,,-))

28

29 PD-regulatorns Bodediagram G K( R ( PD) + TDs ) PD-regulatorn ger positiv fasvridning man kan ha högre förstärkning K utan instabilitet.

30 PD-regulatorns Bodediagram G K( T s) T ) Rita Bodediagram för ω R( PD) + D D 4) Man kan nu öka K och återgå till den ursprungliga fasmarginalen. b processen G P. 2) Välj K som ger processen önskad fasmarginal. 3) Bestäm processens ω c och ω π. Välj ω b, ω c < ω b < ω π (eventuellt kan även ω b > ω π användas eftersom PD förbättrar stabiliteten) T D ω b

31

32 PID-regulatorer + + s T s T K G D I PID R ) ( K T I s T D s Teoretisk: s T s T s T s T K G f D I I PID R ) ( K s T s T I I + Praktisk (PI PD): s T s T f D + + LP-filter begränsar bruset. f T D T 0,

33 PID-regulatorer 2 Ts I + + TT I Ds D Ts I Ts I GR( PID) K + + Ts K + Ts I + TDs ( + Ts I )( + TDs) GR( PID) K K Ts I Tfs Ts I ( Tfs) + + T D är mindre än T I Den praktiska (PI PD)- 2 + Ts D + Ts I + TTs I D regulatorn har således nästan K Ts I ( + Tfs) samma överföringsfunktion som den matematiska. extra brusreducering

34 PID-regulatorns Bodediagram Integrering e 0 0 LP-filter brusreducering Derivering stabilisering

35 D I PID-regulator P PID-regulatorn kan vara uppbyggd av mekaniska komponenter tex. för tryckluftutrustningar, men det vanliga är att programmera en regulator med några rader kod i en mikroprocessor.

36 ( Kompenseringsfilter Lag ) Phase-Lag. Fasretarderande filter. Användes förr för att förbättra statisk noggrannhet och störningsdämpning till priset av ett ostabilare system. + Ts G R ( Lag ) a a > + ats Elektronikkomponenter är visserligen billiga men några rader processorkod är ändå billigare.

37 ( Kompenseringsfilter Lead ) Phase-Lead. Fasavancerande. Användes förr för att öka snabbhet och stabilitet. bts + b Ts + G R ( Lead ) > Elektronikkomponenter är visserligen billiga men några rader processorkod är ändå billigare.

38 ( PID-regulator filter ) En PID-regulator kan kanske liknas vid stereons tonkontroller! Bas integrering Diskant derivering

39 ( Varför inte en equalizer? )

40 ( Varför inte equalizer? ) Örat är okänsligt för fasvridning. Därför är equalizern ljudteknikerns bästa verktyg. Reglerteknikern måste hela tiden hålla reda på fasvridningen för att undvika instabilitet! Equalizern ändrar fasvridning helt kaotiskt när man ställer in amplitudkurvan. Equalizerns fasvridning varierar mycket med inställningarna! Kursavsnitten om digitala regulatorer kommer att ge dig förbättrade verktyg för regulatorkonstruktion.

41 Simuleringar Simulink De olika kraven som finns på en process är motstridiga. Förbättring av någon parameter köps på bekostnad av någon annan. Det naturliga arbetsättet för att ställa in en regulator är att simulera systemet och prova olika kombinationer. Det verkliga systemet bjuder sedan på nya överraskningar som inte fanns med i det simulerade systemet!

42

43 .7 P-regulator Bodediagram Φ 50 m ω 0, A,6 ϕ 0 0, ,4 2,2 40 0,625 2,7 65 0,8 2 80,3 97,6 0,5 30 2,5 0, ,05 90

44 .7 lösn. P-reg. Bodediagram Φ 50 m

45 .7 lösn. P-reg. Bodediagram 3, 2, 6 ω C,6 Φ 50 m

46 .7 lösn. P-reg. Bodediagram 3, 2, 6 ω C, 6 t r,4,6 0,9 K 2 e + 3,2 0 0,24 Φ 50 m

47

48 .8 Stabilt med K R 2? Processens stegsvar: Ls Ke P GP GR KP + Ts 2? Vem vet?

49 .8 lösn. Stabilt med K R 2? Identifiera processens parametrar G P,5s 3e + 3s L,5 T 3

50 .8 lösn. Stabilt med K R 2? K R 6 3 2? 2 GP G P,5s 3e + 3s K R 2 går ej! Φ m!

51

52 .9 P, I -regulatorer G P 2 ( + s) G K G R( P) 2 R( I ) T s I a) P-regulator. Bestäm K för Φ m 45. b) I-regulator. Bestäm T I för Φ m 45. c) Beräkna och jämför ω C och t r för a) och b).

53 .9 a lösn. P-regulator 2K 2K GP GR( P) G( ω) φω ( ) 2arctan( ω) 2 2 ( + s) + ω π Φ m 45 : ( ) 2 arctan( ωm) ωm K + 2, 4 G( ωm) : K 3, 4 + ω 2 m 2 Med K 3,4 blir ω C 2,4 och Φ m 45.

54 .9 b lösn. I-regulator G P G R 2 2 π ( I ) G( ω) φ( ω) 2arctan( ω) 2 2 T s( + s) T ω( + ω ) 2 I I π π Φm 45 : ( ) 2arctan( ωm) ωm G( ωm) : T 4,2 2 I 2 T ω ( + ω ) 0,4( + 0,4 ) I m m 0,4 Med T I 4,2 blir ω C 0,4 och Φ m 45.

55 .9 c lösn. Jämför P och I P : ω C I : ω C 2, 4, 4 tr 0,58 2, 4 0,4, 4 tr 3,4 0, 4 Sex ggr. Snabbare!

56

57 . a PI-regulator Φ 45 m

58 . a lösn. PI-regulator, K 2,5 4,4 K,8 ω C Φ 45 m,7 Φ

59 . a lösn. nu PI-regulator, T I 2,5 4,4 K,8 ω C,7 Φ 45 m ω b 0,2 ω C 0,34 T J I V 0,2ω TI K C 2,9,8 2,9,63 Φ 45

60 Rolling ruler För länge sedan hade ingenjören en rolling ruler för att rita parallella linjer Bode-diagram för hand: Parallella linjer ritar man enklast med två vinkelhakar.

61

62 Arbetsgång:.4 PD-regulator G 4 P GR PD K + ( + s) 3 ( ) ( T s) P: Bestäm K för Φ m 60. PD: Välj T D. Bestäm nytt högre K för Φ m 60. D

63 .4 lösn. PD-regulator, K Process: 4 GP ( + s) 3 4 GP( ω) φ ( ) 3arctan( ) 2 2 P ω ω ( + ω ) + ω π Φ m 60 : (80 60 ) 3arctan( ωm) ωm 0,84 80

64 .4 lösn. PD-regulator, K 4 K Med P-regulator: K G P 3 ( + s) ω m 0,84 4K K GP( ωm) : ( + ω ) + ω 2 2 m m 2 2 ( + 0,84 ) + 0,84 K 0,56 4 Med K 0,56 blir ω C 0,84 och Φ m 60. Det behövdes dämpning!

65 .4 lösn. PD-regulator, ω π, T D ϕ ( ω) 3arctan( ω) P ϕ ( ω ) π 3arctan( ω ) P π π ω π,73 ω T C D < ω b,5 T D 0,67 < ω π 0,84 < ω <,73 b Välj ( guess ): ω,5 ( Eftersom deriveringen förbättrar stabiliteten skulle även ω b kunna väljas något högre än ω π ). b

66 .4 lösn. PD-regulator, nytt K ( ) ( ) 0,86,39 0,67 4,39 ),39 ( ) ( 4,39 ) 3arctan( ) arctan(0,67 80 ) ( ) 3arctan( ) arctan( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K T K T T K G s s T K G G G s T K G s G PD m PD m PD m D PD m PD m PD m D D D PD R P D PD R P ω ω ω ω ω ω π ω ω ω ϕ ω ω ω ω

67 4 Process.4 PD visualisering Matlab bode(g) G 4 P ( + s ) 3 ω m 0,84 Φ 60 m 20 80

68 2,24 P-reg.4 PD visualisering Matlab Dämpning. bode(g) 2,24 0,56 G P ( + s) ω 3 C ω b ω π ωc 0,82 ω,5 b ω π,7 Φ 60 m 20 80

69 .4 PD visualisering Matlab 3,44 PD-reg nytt K bode(g) ω C,39 Mindre dämpning. G R( PD) G P 0,86 ( + 0,67s) 4 3 ( + s) Φ 60 m 20 80

70 Jobbigt att läsa av marginalerna i Bodediagrammet? margin(g) G R( PD) G P 0,86 ( + 0,67s) 4 3 ( + s) Låt MATLAB göra jobbet!

71

72 3.5 Stegsvar för reglersystem Kommer Du ihåg? Figuren visar stegsvaret för ett helt reglersystem vid börvärdesändring. Bestäm stigtiden t r och insvängningstiden t s5% (till ±5%) och översvängen M (räknat i %).

73 3.5 Facit: Stegsvar för reglersystem M 60% Overshoot ± 5% 90% 00% 0% t r 5 [s] Risetime t s5 % 33[s] Settlingtime (5%)

74 >> Gtf([],[ ]) Transfer function: s^2 + s + Matlab stegsvar Stegsvarsinfo till Matlab, från överföringsfunktionen eller från en simulering. >> [Y,T]step(G); Skaffa stegsvarsvärden från simulink eller Matlab step() [Y,T]

75 Matlab stegsvar plot(t,y)

76 Matlab stepinfo >> S stepinfo(y,t,'settlingtimethreshold',0.05) S RiseTime:.6493 SettlingTime: SettlingMin: SettlingMax:.629 Overshoot: Undershoot: 0 Peak:.629 PeakTime: 3.672

77