Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Transkript

1 Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

2 Så lycks d med det ntionell proet För tt få t så mycket som möjligt källens mttekonent ill i ppmntr dig tt ställ mång frågor till olontärern. De finns på plts idg för din skll och de ill hjälp till Själklrt kn d ställ ilk mttefrågor d ill; de ehöer inte hndl om en specifik ppgift på öningsproet. Här följer någr plggtips från oss på Mttecentrm: Rit pp prolemet: Inget förklrr ett prolem så r som en figr och det mest går tt rit. Sk d räkn t måtten på en hge? Rit hgen Sk d lös en trigonometrisk ektion? Rit enhetscirkeln T prolemet steg för steg: De flest oss kn inte håll mssor steg i hdet smtidigt så h för n tt lltid skri ner ll delr i din träkning så lir det färre slrfel och åde d, lärren och olontärern kn lättre följ med i hr d hr tänkt. Jo med grndteknikern: Inom mtemtiken ygger de mer ncerde metodern oft på grndtekniker som mn hr lärt sig i tidigre mttekrser eller kpitel så se till tt ö lite etr på eempelis prioriteringsreglern, ektionslösning och ndr grndtekniker om de mer ncerde metodern känns knepig. Prt mtte: Hjälp dig själ och ndr genom tt diskter prolemen tillsmmns. Genom tt prt mtte ör d på llt möjligt: din egen förståelse, hr prolem kn ttckers på fler olik sätt, ditt mtemtisk språk och ditt mttesjälförtroende. Kn d förklr en metod för en kompis så et d tt d själ ehärskr den. Prtr d mtte ör och förereder d dig äen inför det mntlig ntionell proet Klitet istället för kntitet: Tänk klitet istället för kntitet. Ägn hellre en hel lektion åt tt erkligen försök förstå Pytghors sts än tt räkn t hypotensn i 30 olik tringlr tn tt förstå d d fktiskt gör.

3 Tips för tt lös en specifik ppgift Läs ppgiften noggrnt Förstår d ppgiften? Vd frågs det efter egentligen? Det kn r något som sk räkns t eller något som sk ställs pp för tt sedn räkns t. Om inte, d är det d inte förstår? Är det iss ord i ppgiften eller är det ett räknesätt som ppgiften er dig tt nänd? Koll pp de delr som d inte förstår genom tt slå pp orden, äddr kåt i oken för tt fräsch pp minnet eller fråg en olontär 3 Innn d örjr lös ppgiften, ställ dig frågn: Förstår jg ilken metod som sk nänds för tt lös ppgiften? Om inte, koll pp liknnde ppgifter och titt på hr lösningsmetodern är där. När d et ilken metod som sk nänds till den ppgift d sitter med kn d ställ dig själ följnde frågor: Förstår jg metoden som nänds? Förstår jg rför jst denn metod nänds till denn typ prolem? Om inte, gå tillk till snittet med den metoden i oken och fräch pp minnet eller fråg en olontär. Räknt klrt och sret är glet? Då sk d felsök sret Gå noggrnt igenom träkningrn för tt se om d gjorde någr räknefel och ställ dig än en gång frågorn i de först tå pnktern för tt försäkr dig om tt d erkligen hr förstått frågn och nänt rätt räkneopertioner. Känns träkningen och metoden fortfrnde rätt, räkn om ppgiften på en helt ny sid tn tt tjkik på den gml träkningen Fortfrnde fel sr och sret är detsmm som d fick först gången d räknde? Då hr d troligtis inte gjort ett slrfel, tn nänder fel metod. Gå tillk och koll hr liknnde ppgifter hr lösts. Känner d tt d ändå inte kommer idre på egen hnd, fråg en olontär Läs mer ingående tips på mtteoken.se

4 (8) Formler till ntionellt pro i mtemtik, krs 5 Alger Regler )( )( )( 33)( 333 ( )( ) 33 ( )( ) 33 ( )( ) Andrgrdsektioner p q 0 c 0 pp 4c q Binomilstsen n n n kknn n n n n n n n )(... k 0 n k 0 Aritmetik Prefi T G M k h d c m n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Potenser yy y y y y )( n n )( 0 Logritmer 0 lg yy e ln yy lg lg lg y lg lg y lg p lg lg p y Asoltelopp om 0 om Skolerket

5 (8) Fnktioner Rät linjen Andrgrdsfnktioner y k m k y y y c 0 y c 0, där inte åde och är noll Potensfnktioner y C Eponentilfnktioner y C 0 och Sttistik och snnolikhet Stndrdikelse för ett stickpro ( ) ( n s )... ( n ) Lådgrm Normlfördelning Täthetsfnktion för normlfördelning f ( ) e Skolerket

6 3(8) Differentil- och integrlklkyl Deritns definition f ( ) lim h0 f ( h) h f ( ) lim f ( ) f ( ) Deritor Fnktion Derit n där n är ett reellt tl n n ( > 0) ln ln ( 0 ) e k e e k k e tn tn k f () k f () f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( ( ) 0) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g ( g( )) Kedjeregeln Om y f ( z) och z g( ) är tå derierr fnktioner så gäller för y f ( g( )) tt dy dy dz y f ( g( )) g( ) eller d dz d Skolerket

7 4(8) Primiti fnktioner Fnktion k n ( n ) Primiti fnktioner k C n C n ln C ( 0) e e C k e e C k k ( 0, ) C ln C C Komple tl Representtion i z iy re r( i ) där i Argment rg z tn y Asoltelopp z r y Konjgt Om z iy så z iy Räknelgr zz r r (( ) i( )) z z r (( ) i( )) r de Moires formel n n n z ( r( i )) r ( n i n) Skolerket

8 5(8) Geometri Tringel h A Prllellogrm A h Prllelltrpets h( ) A Cirkel A πr d π 4 O πr πd Cirkelsektor πr 360 r A πr 360 Prism V Bh Cylinder V πr h Mntelre A πrh Pyrmid Bh V 3 Kon Klot πr h V 3 Mntelre A πrs 4πr 3 V 3 A 4πr Likformighet Skl Tringlrn ABC och DEF är likformig. d e c f Areskln = (Längdskln) Volymskln = (Längdskln) Skolerket

9 6(8) Topptringel- och trnserslstsen Om DE är prllell med AB gäller Bisektrisstsen AD BD AC BC DE CD CE och AB AC BC CD CE AD BE Vinklr 80 Sidoinklr w Vertiklinklr L skär tå prllell linjer L och L 3 w Likelägn inklr w Alterntinklr Kordstsen Rndinkelstsen cd Pythgors sts c Aståndsformeln d ) ( y ) ( y Mittpnktsformeln m y y och ym Skolerket

10 7(8) Skolerket Trigonometri Definitioner c c tn Enhetscirkeln y y tn Sinsstsen c C B A Cosstsen A c c Arestsen C T Trigonometrisk formler ) ( ) ( ) ( ) ( (3) () () ) ( c där c och tn Cirkelns ektion ) ( ) ( r y

11 8(8) Ekt ärden Vinkel (grder) (rdiner) 0 π π π π π 3π 5π π tn 0 3 Ej def Mängdlär A B A och B A B Aeller B A \ B Aoch B A C G och A Tlteori Kongrens (mod c) om differensen är delr med c Om (mod c) och (mod c) gäller tt. (mod c). (mod ) c Om (mod c) gäller tt 3. m m (mod c) för ll heltl m 4. n n (modc) för ll heltl n 0 Aritmetisk n s smm n n där ( n ) d n n Geometrisk k s smm k n där n k n Komintorik Permttioner Komintioner n P( n, k) n ( n ) ( n )... ( n k ) där 0 k n ( n k) n P( n, k) n C( n, k) där 0 k n k k k( n k) Skolerket

12 KrsproMtte5 DethärproetärgjortMttecentrmpågrndttdennkrsärsånyttinggmlkrsprofinns.Därför reflekterrinnehålletintenödändigtishrdetriktigproetlirttset. Seiställetdettsomenmöjlighetttrepeterochpptäcktddehöertränmerpå.Ingpoängärtstt.Istället ärissppgifter,somknsketrmertidänndr,mrkerdemed(#). Lyck&till& Uppgift )Angelldelretilltlet30. )Vilkdessärtriildelre? c)vilktlenärprimtl? Uppgift Bestämdetminstntrligtletsomppfyller '()*+'5) Uppgift3(#) Beis,medhjälpindktion,ttsmmndeförstddtlenärlikmed..Medndrordtt: =. Uppgift4 LåtmängdenArdefinierdsom4 = N 7: 7 5. MängdenNrepresenterrmängdenllntrligtl0,,,3,4,5, Angesntellerflsktförföljndepåståenden: ). 4 > ){,3} 4 c) 4 d) 4 = 5 e) 4 ()

13 Uppgift5 Lottoärettspeldärdskälj7tl35.Omdfårllrätt(deehöerinterinågonspecifikordning)inner dhögstinsten. A. Hrmångoliklottorderfinnsdet? Påstryktipsetskdiställetälj,för3mtcher,omdesltrmed:ttlgAinner,ttlgBinner,elleromdetlir ogjort.trelterntiförrjemtch.härspelrlltsåordningenroll. B. Ärdetstörstsnnolikhetttfå7rättpålottoeller3rättpåstryktipset? Uppgift6 Förklrdsommensmedföljndegrfteoretiskegrepp: A. Vndring B. Väg C. Eleräg D. Stig E. Hmiltonstig F. Hmiltoncykel Uppgift7 Ritengrfmedminst5nodersomhrenElerkrets. Uppgift8 Lösdifferentilektionen DE = 37 + medillkoretg(0) =. Uppgift9(#) DF HittdenllmännlösningentilldeninhomogendifferentilektionenG H 8G = 67.Srekt. Uppgift0 Nednfinnstårekrsitdefinierdetlföljder.Beräknnågrelementiföljdenochgöromdetärenritmetisk ellergeometrisktlföljd.beräknsednsmmnde0försttlen. )K L =,''''''K M = K MNL + 3 )K L = 3,''''''K M = K MNL ()

14 Uppgift Förttseometttlärdelrtmed6räckerdetmedttekräftttdetärdelrtmedoch3.Förklrrfördetär så. Uppgift OmK 3'()*+'4),ochO '()*+'4),estämminstpositiheltlsomppfyller: KO' '()*+'4) Uppgift3(#) Beistt > 'ärdelrtmed3förll N. Uppgift4(#) Antttentj,somförsökerknäckdittFceook\lösenord,kntest00000oliklösenordrjeseknd. A. Omdittlösenordrestårsiffrorn0\9,hrlångtmåstedetrförtttjeninteskknnhinn testllmöjligheterinomenrimligtid?ensäker rimligtid kntilleempelr0årellerlängre. B. Omlösenordetfåreståsiffror,år9storokstäerochår9småokstäer,hrlångtehöerdå lösenordetrförtttjeninteskhinntestllmöjligheterinomenrimligtid? Ensäker rimligtid kntilleempelr0årellerlängre. Uppgift5 Enmänniskhrmelln0och00000hårstrånpåhdet.FörklrdDirichletslådprincipär,ochnänddenför tteisttminsttåpersonerpåjordenhrlikmånghårstrånpåhdet. Uppgift6 Bestämenprtiklärlösningtilldifferentilektionen G H + '7G = ()

15 Uppgift7(#) Newtonsslningslgsertsomföljer: +U +V = W(U U 0) DärUärettföremålstempertrefterVminter,U X äromginingenstempertrochwärenkonstnt.låtidethär flletw = 0,07. A. Enpizztstrgnenochärdå75grder.Denställspåettordiettgrderrmtrm.Hrlång tidtrdetinnnpizznär75grderrm? B. Antttrmmetlltidhrsmmtempertr.Förklriorddttrycketetyder: lim ](V) = U 0 V Uppgift8(#) Enrtfåglrärtrotningshotdeochiologerärdärförintresserdettförsökförståhrmångdenfågelrten somkommerfinnsifrmtiden. A. Enkeltttrycktosererrdeföljnde:jflerfåglrsomfinns,destoflerföds.Alltsåärtilläthstigheten proportionellmotntletfåglr.ställppendifferentilektionsomeskrierdett. B. Bestämdenllmännlösningentillonstående(homogen)differentilektion. C. LåttidsrielnVrepresenterntlårefter004.UtgåfråntidenV = 0år004,dådetfnns30fåglr.År 04fnnsdet00dessfåglr.Bestämenlösningtilldifferentilektionensomppfyllerdessillkor. D. Enligtdennmodell,hrmångfåglrkommerdetfinnsår04? E. Enligtdennmodellkommerdetår04finns] 00 = 955'677'95'73'4'736,lltsånästnen triljon,fåglr.ärdetrimligt?vrför/rförinte? Uppgift9 Utecklttrycket 7 + G _ medhjälpinomilstsen. Uppgift0 Tlethrdelrn,, 3, 4, 6,.Smmnlldelretilletttlknskrismedfnktionen`()somttls sigmn.idethärflletär ` = = 8 Viserlltsått` >. A. Förklrrfördetlltidgällertt`. B. Detärintelltidsnttt`.Hittettmoteempelsomisrdet. 4()

16 Lösningsförslgochfcit Uppgift'' A. Delrnär:,, 3, 5, 6, 0, 5, 30 B. Triildelreärochtletsjält,lltså:, 30 C., 3, 5.(Komihågttinteärettprimtl.) Uppgift'' Viknräknttt37 '()*+'5),såiknskrippgiftensom: '()*+'5) Ochfrån + 4'()*+'5)'seritt =. Uppgift'3' Vårtsfllär =,förilketifår =. Vårindktionshypotes:Antttpåståendetärsntförettheltl = c: de f = (c ) = c. = ge f Indktionssteget( = c + ): de fhl = c + c + = c ge fhl = c +. = c. + c + f i + (c + )' Frånindktionshypotesenetitt: de fhl = c. + (c + ) Vilketjärprecislikmedge fhl.alltsåärpåståendeteistförllheltl. Uppgift'4' Mängden4 = {0,,,3,4,5}. A. Flskt,4innehållerendstheltl. B. Snt,{,3}ärendelmängd. C. Flskt,4innehålleringnegtitl. D. Flskt,detfinns6elementi4. E. Snt,dentommmängdenärendelmängdtillllmängder. 5()

17 Uppgift'5' )AntletmöjligLottorderärenkomintion7tlfrån35möjlig: )Antletmöjligstryktipsrder:3 L> = '594'33. Eftersom67450' > '59433etyderdet: k e*vv*lmnv = < = k pvqgwvmcnlmnv Såsnnolikhetenärstörrettinnpåstryktipset. >_ j = 6'74'50 Desstom,eftersomdetfinnsmerinformtiontillgängligidstryktipsetsmtcher(informtionomlgen,spelrn, derssenstemtcheretc.)såknoddsenrännättre.ilottofinngensådninformtiontttillgå. Uppgift'6' A. Vndring:Enförflyttningiengrffrånhörntillhörnlängsenellerflerknter. B. Väg:Enndringdäringenkntpssersmeränengång. C. Eleräg:Enägsompsserrrochenknternigrfenektengång. D. Stig:Enndringdäringethörnpssersmeränengång. E. Hmiltonstig:Enstigdärrjehörnigrfenesöksektengång. F. Hmiltoncykel:EnHmiltonstigsompåörjsochsltsismmhörn. Uppgift'7' EnElerkretsärenElerägsomörjrochsltrismmhörn.Häräretteempelmedsehörnhämttfrån mtteoken.se,mendetfinnsoändligtmångmöjligheter: Detiktigsteärttllhörnhrjämngrd. 6()

18 Uppgift'8' Genomttintegrerådsidorfåri G 7 = ' = 37. Sednknieräkn: G 0 = r = r r EftersomietG 0 = etilltsåttr = ochsretär: G 7 = Uppgift'9' DenhomogenlösningenärG t = r F. AnsättprtiklärlösningentillG f = 47 + w,deritnlirdåg f = 4.Insättningiektionenger: w = w = 67 Vilketgerföljndetåektioner: 84 = 6 4 8w = 0 Dettger4 = N> N> ochw = y >. Fllständigllmänlösninggesdå: G = G t + G f = r F därrärenkonstnt. Uppgift'0' A.Dettärenritmetisktlföljd,eftersomdifferensenmellnrjeelementtillnästärkonstnt3. Förstelementet:K L =. Förttfåfrmärdetpåettelementkninändföljndeformel:K M = K L + ( )+ Tiondeelementetärdå:K LX = = 9 Smmnenritmetisktlföljdfåsföljndeformel: n M = M { h{ }. n LX = K L + K LX = 0( + 9) = 55 7()

19 B.Dettärengeometrisktlföljd,eftersomkotenmellnrjeelementochdetföregåendeärkonstnt. Förstelementet:K L = 3. Koten:W =. Smmnengeometrisktlföljdfåsföljndeformel: n M = K L(W M ) W n LX = K L(W M ) W = 3(LX ) = 3069 Uppgift'' Etttlsomärdelrtmedoch3ärocksådelrtmed 3 = 6. Viknocksåskridetmermtemtiskttförligtsåhär: Omtletärdelrtmedetyderdetttärenmltipel,lltså = KförnågottlK. Påsmmsätt,omärdelrtmed3,etyderdettt = Kärenmltipel3.Eftersomsjälklrtinteärdelrt med3,måstedetrksomärdelrtmed3,ochknskrisk = 3OförnågottlO. Alltsåkniskritletsom: = 3 O = 6O Dettärenmltipel6ochdärförärdelrtmed6,medndrord: 0'()*+'6) Uppgift'' Enligträknereglernförkongrenserkniskri: K O 3 '()*+'4) Viknräknt3 = 43: KO 43'()*+'4) Eftersom43 3'()*+'4)ärrättsr = 3. Uppgift'3' Vieisrdettmedindktion.Uppenrligenär > = = 0delrtmed3,eftersom0ärdelrtmedll tl.dettgörårindktionss. Indktionshypotes:Antttpåståendetgällerförnågottl = c: 3' 'c > c Indktionssteg:Låt = c + ochförenklprentesern: 8()

20 c + > c + = c > + 3c. + 3c + c Termern+och trtrndr,ochgenomttflyttomtermernfåri: c > c + 3c. + 3c Frånindktionshypotesenetittc > cärdelrtmed3.desstomärdendrtermernmltipler3och därmedocksådelrmed3. Alltså,eftersomrjetermärdelrmed3,ärhelttrycketdelrtmed3,ochpåståendetäreistförllheltl. Uppgift'4' Rimligtid låterihärrminst0år,lltså = 35'360'000seknder. ViknlåtU()renfnktionsomgertidenUeroendelängdenpålösenordet,lltsåntltecken,. )Idethärflletär U = 0M 00'000 = 0M 0 _ = 0MN_ ViillhittsåttU > 35'360'000: 0 MN_ > 35'360'000 5 > log'(35'360'000) > log 35'360' ,5 Alltsåehöerlösenordetrminst4teckenlångt. )Idethärflletfinnsdet = 68möjligtecken,såihr U = 68M 0 _ Medsmmolikhet,U > 35'360'000fåriträkningen: 68 M 0 _ > 35'360'000 ' log 68 > log'(35'360'000 0 _ ) > log'(35'360'000 0_ ) log 68 = 7,4 Alltsåehöerlösenordetnendstrminst8teckenlångt. (Attdettrminst0årtttestllmöjligheteretyderdockintettlösenordetnödändigtisärsäkert,förmodligen ehöerintellmöjlighetertestnndittlösenordkommerpp.) 9()

21 Uppgift'5' Dirichletslådprincip:Om)föremålskplcersilådor,och) >,såkommerminstenlådttinnehållmerän ettföremål. Idethärfllettgörs lådorn ntlethårstrånpåhdet.detfinnslltså = 00'000lådor. Föremålen är lltsåntletmänniskor,somär) 7 0 Å.Eftersom) > måstedetfinnsminstettntlhårstrånsomfler människorhr. Uppgift'6' Enkorrektnsättningär:G f = w 7 + r förkonstnter4, w, r.dessderitär:g f = 4 7 w 7 Insättningidifferentilektionenger: 4 7 w w 7 + r = w w 7 + 7r = w w 7 + 7r = Genomttmtchkoefficienteriänster\ochhögerledfåriföljndeektioner: 74 w = 4 + 7w = ' 7r = ' Vilketgerföljndelösningr: 4 = 4 5 ''''w = 3 5 '''r = 7 ' Enprtiklärlösningärlltså: G f = Uppgift'7' )VihrttU X = ochw = 0,07ochsätterinärdenidifferentilektionen: +U = 0,07(U ) +V Förenklingger: U H + 0,07U =,54 EnkorrektnsättningtillprtiklärlösningenärU f = 4,ochderitnärU f = 0.Insättningiektionenger: =,54 0()

22 Medlösningen: 4 = DenhomogenlösningenärU t = r NX,XjÇ.Lösningenlirlltså: U V = r NX,XjÇ + VillkoretU 0 = 75gerr = 53. VisklösU V = 75: 53 NX,XjÇ + = 75 NX,XjÇ = V = É ,07 5 Sr:Dettrcirk5minterförpizznttslntill75grder. )Närtidengårmotoändlighetensåkommerpizznstempertrnärmreochnärmreomginingenstempertr. Uppgift'8' Idethärflletrepresenterr](V)ntletfåglridtidenVochrärenkonstnt. ) DÑ DÇ = r ](V) )Ektionenonskrisomtill] H V r] V = 0ilketärenlinjärhomogendifferentilektionförst ordningenochdärförhrlösningen] V = w ÖÇ förkonstnterwochr. c)dendtihrärlltså] 0 = 30och] 0 = 00: ] 0 = w Ö X = w = 30 ] 0 = 30 Ö LX = 00 Ö LX = r = ln' ,9 Lösningenär: ] V = 30 X,LÅÇ d)år04är0årefter004,ochdärmedskieräkn] 0 : ] 0 = 30 X,LÅ.X 34 e)nej,detärinterimligt.enmtemtiskmodellsomgällerförissomständigheterochtidssklorehöerintelltid gäll.förmodligenörjrdetliontommtfördessenormtmångfåglrdåisåfllfödsdetnogintelikmång.en nnndifferentilektion,enmersofistikerdmodell,ehös. ()

23 Uppgift'9' Enligtinomilstsenärtecklingen: _ G X y G L > G G > ' L G y X G _ = 7 _ G X y G L > G G > L G y + 7 X G _ = 37 _ y G > 4G G > G y + 3G _ = 37 _ y G > G G > + 607G y + 3G _ Uppgift'0' )Eftersomochärdelretillrjetl,såärsmmnlldelreåtminstone + ilketärstörreän. )Ettprimtlcärrdelrtmedochc,såifår:` c c = + c c = ilketdefinititärmindreänc.detfinnsocksågottommoteempelsominteärprimtl,tilleempel6: ` 6 6 = = 5 6 (Symolen tläses intestörreänellerlikmed ) ()